Schließen Rechenmodell und Bedienung Projekt und Methodik: Prof. Dr.-Ing. Ralph Wystup
Schnelleinstieg Manuskript Mathematisches Rohrmodell Volumenströme Zusatzdokument · Filterung und Agent Stufe 3 · Belag und überlagerte KI Aufgabe ist der sichtbare numerische Abgleich eines räumlichen Rohrmodells mit einem diskreten elektrischen Netzwerk. Referenz und Netzwerk lösen die linearen eindimensionalen akustischen Gleichungen. Mittlere Luftströmung, nichtlineare Klappenkennlinien und ein vermessenes Lüfterkennfeld sind hier noch nicht enthalten.
Mathematisches Referenz-Rohrmodell
Die Referenz ist eine räumliche Rechnung der linearen, eindimensionalen Rohrakustik , nicht eine vorgegebene Echokurve. Ihre Unbekannten sind zwei gegenläufige Druckwellen. Das elektrische Netzwerk wird getrennt aus Druckknoten, Trägheiten und Widerständen aufgebaut. Beide Verfahren beschreiben dieselben physikalischen Grundgleichungen; sie sind numerisch unterschiedlich, aber keine voneinander unabhängigen physikalischen Theorien. FEMM wird hier nicht verwendet.
Die folgenden Gleichungen beschreiben den tatsächlich eingebetteten Rechenkern pipe_engine.js, mit Volumenstromauswertung Stand 10.09.2026. Die Abschnitte lassen sich einzeln aufklappen. Sämtliche Formeln sind offline in dieser HTML-Datei enthalten.
1 · Erhaltungsgrößen und Herleitung der partiellen DGL
In jedem geraden Rohrabschnitt sei x die Längskoordinate, A der konstante freie Querschnitt und ρ₀ die Ruhedichte. Der kleine Schalldruck p(x,t) ist die Abweichung vom Ruhedruck, nicht der absolute Luftdruck. u(x,t) bezeichnet die Teilchengeschwindigkeit; Q(x,t) = A u(x,t) ist der akustische Volumenstrom. Er kann sein Vorzeichen wechseln und ist nicht der stationäre Fördervolumenstrom eines Lüfters.
Aus der Massenerhaltung folgt nach Linearisierung um ruhende Luft und bei konstantem Querschnitt:
∂ρ′/∂t + ρ₀ ∂u/∂x = 0
Mit der linearen Zustandsgleichung p = c²ρ′ und u = Q/A ergibt sich:
∂p/∂t = −(ρ₀c²/A) ∂Q/∂x. (1)
Die lineare Impulsbilanz enthält hier zusätzlich eine angenommene, örtliche Geschwindigkeitsdämpfung β ≥ 0:
ρ₀ ∂u/∂t = −∂p/∂x − ρ₀βu
Multiplikation mit A/ρ₀ liefert die zweite Entwicklungsgleichung:
∂Q/∂t = −(A/ρ₀) ∂p/∂x − βQ. (2)
Bei abschnittsweise konstanten Koeffizienten: Gleichung (1) nach t ableiten, Gleichung (2) nach x ableiten und einsetzen:
∂²p/∂t² = −(ρ₀c²/A) ∂/∂x [−(A/ρ₀) ∂p/∂x − βQ]
Damit lautet die gedämpfte Wellengleichung, auch eine Form der Telegraphengleichung:
∂²p/∂t² + β ∂p/∂t − c² ∂²p/∂x² = 0. (3)
Gelöst wird nicht nur diese einzelne Druckgleichung, sondern das zugehörige gekoppelte System für Druck und Volumenstrom. Querschnittssprünge und Abzweige erhalten eigene Kopplungsbedingungen. Die konstante Dämpfung β = 6 s⁻¹ ist eine Modellannahme; sie ersetzt keine frequenzabhängige thermoviskose Wandverlustrechnung.
Größen und feste Grunddaten des Demonstrators Größe Bedeutung / Standardwert
p; Q Schalldruck in Pa; akustischer Volumenstrom in m³/s ρ₀; c 1,2 kg/m³; Referenz: 343 m/s D; A 0,1 m; A = πD²/4 ≈ 0,007854 m² ℓ; ℓᵦ Hauptrohr 6 m; angeschlossenes Seitenrohr 2 m xⱼ; r = Aᵦ/A Im Standardfall 3 m; 0,55. Beide sind an der Referenz einstellbar.
2 · Zerlegung in hin- und rücklaufende Wellen
Mit der auf Volumenstrom bezogenen, verlustlosen Kennimpedanz Z₀ = ρ₀c/A werden die Druckkomponenten definiert:
w⁺ = (p + Z₀Q)/2; w⁻ = (p − Z₀Q)/2
(4)
Durch Einsetzen von (1) und (2) folgt:
∂w⁺/∂t + c ∂w⁺/∂x = −(β/2)(w⁺ − w⁻)
(5)
Ohne Dämpfung ist w⁺ entlang x − ct = konstant und w⁻ entlang x + ct = konstant. So entstehen Laufzeiten aus der räumlichen Ausbreitung. Mit Dämpfung koppeln die rechten Seiten beide Komponenten. Z₀ ist dabei die verwendete charakteristische Skalierung, nicht die exakte komplexe Impedanz einer beliebig verlustbehafteten realen Leitung.
Hintergrund zur akustischen Impedanz und ihrer elektrischen Analogie: UNSW – Acoustic compliance, inertance and impedance .
3 · Tatsächliche Anregung, Quellenrand und Anfangszustand
Es wird kein idealer Diracstoß eingespeist. Ein zeitlich begrenztes Rechenfenster enthält einen Gauß-Sollimpuls U mit Maximum 20 Pa bei t₀ = 5 ms und Breite σ = 1,2 ms:
U(t) = 20 Pa · exp[−½ ((t − t₀)/σ)²].
Eine Quellen-Trägheit soll näherungsweise τ dE/dt + E = U erfüllen. Tatsächlich implementiert ist folgende diskrete Filterrekursion, also eine Abtastnäherung an die glatte Anregung:
f = 1 − exp(−Δt/τ), E₋₁ = 0
(6)
Der Gaußimpuls besitzt einen kleinen, nicht exakt nullen Anfangswert. Das erste E₀ ist deshalb bereits fU(0). Das ist kein behaupteter analytischer Nullstart der Filtergleichung. Die Laufzeitfelder beider Modelle starten dagegen mit null Druck und null Volumenstrom.
Am Eingangsport gilt eine Druckquelle mit reellem Serienwiderstand Zₛ = Z₀:
p(0,t) + Zₛ Q(0,t) = E(t)
Port = E/2 + w⁻; QPort = (E/2 − w⁻)/Z₀. (7)
Die rücklaufende Komponente erzeugt an diesem idealisierten Quellenrand keine zusätzliche zurückgesendete Welle. Beide Löser erhalten denselben Verlauf Eₖ; Zₛ wird jeweils aus dem eigenen c berechnet. Das Modell enthält damit eine angenommene Anpassung, keine vermessene Lüfterimpedanz. Ob ein realer Lüfter den Impuls senden und über seine Stellgröße empfangen kann, bleibt experimentell zu klären.
4 · Rohrabschluss, Reflexion und Seitenabzweig
Am Rohrende ist der nach außen gerichtete Volumenstrom positiv. Für den reellen Lastwiderstand ZL gilt p = ZL Q. Einsetzen von (4) ergibt:
w⁻ = γw⁺, γ = (ZL − Z₀)/(ZL + Z₀)
L = Z₀(1 + γ)/(1 − γ). (8)
Der Hauptabschluss hat in der Referenz γ = 0,5, also ZL = 3Z₀. Der Seitenabschluss hat γᵦ = −0,5, also ZLᵦ = Z₀ᵦ/3 und Z₀ᵦ = Z₀/r. Das Seitenende ist somit kein ideal druckfreies Ende; jenes hätte γ = −1. Eine reale frequenzabhängige Abstrahlungsimpedanz ist nicht enthalten. Allgemeiner Hintergrund: COMSOL – Randbedingungen der Rohrakustik .
Der ideale Abzweig hat kein eigenes Punktvolumen. Für jeden angeschlossenen Rohrport j sei aⱼ die zum Abzweig laufende und bⱼ die vom Abzweig weglaufende Druckkomponente. Alle Ports haben denselben Druck pJ . Aus Druckgleichheit und Volumenstrombilanz:
pJ = aⱼ + bⱼ, Qaus,j = (bⱼ − aⱼ)/Zⱼ
aus,j = 0
J Σⱼ(1/Zⱼ) = 2Σⱼ(aⱼ/Zⱼ)
J = 2Σⱼ(aⱼ/Zⱼ) / Σⱼ(1/Zⱼ), bⱼ = pJ − aⱼ. (9)
Die beiden Hauptrohrports haben Zⱼ = Z₀, der Seitenport Z₀/r. Deshalb verwendet das Programm exakt:
pJ = 2(a₁ + a₂ + ra₃)/(2 + r). (10)
Trifft zunächst nur aus dem vorderen Rohr ein Impuls ein, ist die erste Druckreflexion −r/(2+r). Bei r = 0,55 beträgt sie −0,215686… . Die erste Hin-/Rücklaufzeit zum Abzweig ist 2xⱼ/c, zum Hauptabschluss 2ℓ/c. Spätere Mehrfachreflexionen entstehen durch wiederholten Transport und Anwendung derselben Randbedingungen, nicht durch eine vorgefertigte Liste von Echos.
„Klappe geschlossen“ entfernt das Seitenrohr unmittelbar am Abzweig vollständig. „Geöffnet“ verbindet das ganze Seitenrohr mit seinem Abschluss. Es gibt weder einen verbleibenden geschlossenen Rohrstutzen noch ein Modell für Teilöffnung, mechanische Klappenbewegung während des Impulses oder Strömungsdruckverluste einer realen Klappe.
5 · Räumliches Gitter und tatsächlich ausgeführte Zeitschritte
Die Funktion reference() verwendet eine Charakteristikenrechnung mit Courant-Zahl cΔt/Δx = 1. Das Ausgabezeitgitter wird durch source() festgelegt:
Δt = ℓ/(Nref · 343 m/s), Nref = 240
ref Δt; nⱼ = max(2, round(ℓⱼ/Δx))
(11)
Hier bezeichnet cref die im Referenzmodell eingestellte Schallgeschwindigkeit, im Dashboard 343 m/s. Im Standardfall sind Δt ≈ 72,886 µs und Δx = 25 mm. Das gerade Rohr hat 240 Transportzellen. Beim mittigen Abzweig entstehen 120 + 120 + 80 Zellen für Vorderrohr, Hinterrohr und Seitenrohr. Die effektiv diskretisierten Längen stehen im Export unter reference.actualLengths; bei nicht gitterpassenden Vorgaben können sie durch Rundung von den Wunschlängen abweichen.
Pro Schritt werden zunächst die aktuellen Portsignale ausgelesen und die Randwerte berechnet. Dann werden w⁺ um eine Zelle nach rechts und w⁻ um eine Zelle nach links transportiert. An einem Rand tritt der eben berechnete Quellen-, Reflexions- oder Abzweigwert ein. Bezeichnen a* und b* diese transportierten Komponenten, folgt der lokale Dämpfungsschritt:
η = exp(−βΔt)
neu = ½[(a* + b*) + η(a* − b*)]
neu = ½[(a* + b*) − η(a* − b*)]. (12)
Damit bleibt p im lokalen Dämpfungsschritt unverändert, während Q mit η multipliziert wird. Dieser Teil löst ∂Q/∂t = −βQ exakt. Die Abfolge „Transport, dann Dämpfung“ ist jedoch eine Operatoraufspaltung erster Ordnung, keine exakte Lösung der vollständigen gedämpften PDE. Gitter-, Rand- und Aufspaltungsfehler bleiben zu prüfen. Der verlustlose Transport auf diesem passenden Gitter ist dagegen bis auf Rundungsfehler exakt.
Die Zeitschleife umfasst ceil(85 ms/Δt) + 1 Ausgabepunkte. Jeder vierte Druckzustand wird für die Animation gespeichert; die Portsignale werden in jedem Schritt berechnet. Die Zeitlupe spielt diese Zustände ab. Sie verlangsamt weder die physikalische Schallgeschwindigkeit noch die berechneten Echozeiten.
6 · Empfangssignal, Korrelation und Zielfunktion
Die Referenz gibt die am Eingang ankommende Welle yref = w⁻ aus. Im Netzwerk wird derselbe Anteil aus ynet = pPort − E/2 bestimmt. Optional kommt ausschließlich zum synthetischen Messsignal ein reproduzierbares Gaußrauschen hinzu:
ymess,k = yref,k + εₖ
% .
Eine Reglereinstellung von 0,5 % bedeutet somit 0,05 Pa Standardabweichung, bezogen auf 10 Pa. Das rauschfreie Ergebnis bleibt separat gespeichert. Der feste Zufallsstartwert beträgt 23091.
Für jeden Parametersatz θ wird das gesamte Netzwerk neu über die Zeit integriert. Der Abgleich minimiert die Fehlerquadratsumme, ohne Zeitverschiebung oder Amplitudennormierung der Modellkurve:
SSE(θ) = Σₖ [ymess,k − ynet,k (θ)]²
mess,k ²]. (13)
Summiert wird vom Index floor(12 ms/Δt) bis zum letzten Sample. Die als 12–85 ms bezeichnete Echoauswertung beginnt also am unmittelbar vorhergehenden Gitterpunkt und endet am ersten Gitterpunkt bei oder nach 85 ms. Der feste Beginn reduziert den Einfluss des diskreten Quellenport-Einschwingens; das vollständige Zeitdiagramm bleibt sichtbar. Für verschwindende Nenner enthält der Code eine kleine numerische Schutzschwelle.
Die angezeigte prozentuale Korrelation ist die zentrierte Pearson-Korrelation der beiden Rückläufe bei unveränderter Zeitlage im selben Fenster. Das eigene Sende-/Empfangsdiagramm zeigt dagegen:
K(j) = Σᵢ [(Eᵢ/2) yᵢ₊ⱼ] / Σᵢ(Eᵢ/2)², Verzögerung = jΔt. (14)
Dabei laufen nur gültige überlappende Samples in die Zählersumme ein; angezeigt werden positive Verzögerungen bis ungefähr 60 ms. Diese Kreuzkorrelation unterstützt die Laufzeitanalyse. Sie ist nicht die Zielfunktion des Fits und garantiert keine Rauschunterdrückung oder eindeutige Rekonstruktion.
7 · Bezug zur dynamischen Netzwerkmatrix und Aussagekraft
Die Schreibweise der Grundgleichungen als Leitungsgleichungen ergibt direkt:
∂p/∂x = −L′ ∂Q/∂t − R′Q, ∂Q/∂x = −C′ ∂p/∂t
(15)
Für jedes Netzwerkelement der Länge h gilt L = L′h, R = R′h und C = C′h. L und R liegen auf der Verbindung zwischen zwei Druckknoten; C/2 wird jeweils gegen den Bezugsdruck an beide Endknoten gestempelt. Die akustischen Einheiten sind L: Pa·s²/m³, R: Pa·s/m³ und C: m³/Pa. Es handelt sich um eine elektrische Analogie mit Druck als Spannung und Volumenstrom als Strom, nicht um unskalierte Henry-, Ohm- und Farad-Angaben.
Mit B als Inzidenzmatrix (+1 am Anfang, −1 am Ende einer orientierten Kante), diagonalen Speichermatrizen C und L, Kantenwiderständen R und den Quellen-/Abschlussleitwerten G entsteht:
C ṗ = −B Q − Gp + iₛ
(16)
Hier ist iₛ nur am Quellenknoten ungleich null und beträgt E/Zₛ. Am Abzweig summieren sich die Kapazitätsbeiträge der angrenzenden halben Rohrzellen. Anders als beim idealen volumenlosen Referenzpunkt besitzt das diskrete Kontrollvolumen dort deshalb einen Speicherterm. Ein gemeinsamer Druckknoten verbindet weiterhin drei verteilte RL/C-Leitungen; es sind nicht drei konzentrierte RLC-Reihenschwingkreise.
Das Netzwerk verwendet RK4-Zeitintegration mit internen Schritten Δtint ≤ 0,24 min(h)/c. Seine Quelle wird zwischen Ausgabesamples linear interpoliert. Intern wird Q mit einem festen Bezugswiderstand skaliert; dadurch ändern sich weder Gleichungen noch physikalische Einheiten der exportierten Portgrößen. Bei jeder Modellbewertung werden Matrixkoeffizienten und Zustandsantwort neu berechnet. Es gibt keine Übernahme der Referenz-Druckverteilung in den Netzwerklöser.
Das Modell besitzt im geraden Standardfall 121 Druck- und 120 Strömungszustände, also Ordnung 241. Mit dem mittigen Seitenrohr sind es 161 Druck- und 160 Strömungszustände, also Ordnung 321. Der räumlich kontinuierliche Rohransatz selbst ist kein System mit nur drei dynamischen Freiheitsgraden.
Als Gegenprüfungen dienen die analytischen verlustlosen Reflexionen und die Gitterverfeinerung. Ohne Parameteranpassung fällt der Echo-RMS-Unterschied bei gleichen physikalischen Daten im geraden Rohr von 15,7325 % bei 40 Netzwerkzellen auf 0,4572 % bei 240 Zellen. Das sind Diskretisierungsabweichungen, kein pauschales „numerisches Rauschen“.
Grenze der Aussage: Zwei getrennte Löser für dieselben vereinfachten Gleichungen prüfen die numerische Umsetzung. Ihre Übereinstimmung beweist noch nicht, dass Lüfteranregung, reale Klappen, Leckortung oder stationäre Auslassvolumenströme unter Versuchsbedingungen ausreichend erfasst sind. Der jetzige Fit wählt nur zwischen geradem Rohr und genau einem Seitenrohr; er rekonstruiert keine beliebige Rohrnetztopologie. Ein gemeinsamer Fehler in den physikalischen Annahmen kann von beiden Verfahren geteilt werden.
Angezeigte Volumenströme beider Modelle
Für jedes Modell werden Einlass, Hauptauslass und – falls vorhanden – Seitenrohrauslass ausgewertet. Die Werte stammen aus den eigenen berechneten Zuständen des jeweiligen Modells. Einlass positiv ins System, Auslässe positiv aus dem System:
Referenz: Qein = (w⁺ − w⁻)/Z₀;
aus = (1 − γ)w⁺Ende /Z₀.
ein = (E − pPort )/Zₛ;
aus = pEnde /RLast .
Am Seitenrohr werden dessen eigener Querschnitt, Kennwiderstand und Abschluss verwendet. Diese Auswertung ändert keine DGL, Randbedingung oder Fit-Zielfunktion. In der Übersicht werden die drei Orte nebeneinander verglichen; das zusätzliche Diagramm zeigt ihren wählbaren Zeitverlauf. Bei der Iterationsrückschau gehören die Netzwerkströme zum damals geprüften Parametersatz, nicht zum späteren Endergebnis.
Die Tabellenwerte sind echte Zeitsamples: Ausgewählt wird der letzte berechnete Zeitpunkt bei oder vor der Position des Zeitreglers; der genaue Zeitpunkt wird genannt. Die Anzeige rechnet m³/s in L/s um (Faktor 1000). Im JSON bleiben flow für den Einlass, outletFlow für den Hauptauslass und branchFlow für den Seitenrohrauslass in m³/s erhalten. Bei nicht vorhandenem Seitenrohr ist dessen Beitrag in den Daten null; die Oberfläche zeigt „kein Seitenrohr“ statt einer angeblichen Messung.
Die Ströme sind akustische Wechselgrößen um den ruhenden Ausgangszustand. Während eines Impulses speichert die kompressible Luft Masse; deshalb müssen der zeitgleiche Einlassstrom und die Summe der Auslassströme nicht gleich sein. Ein stationärer Lüfter-Förderstrom oder ein bereits messgerätefreier Dauerbetrieb wird damit nicht nachgewiesen. Dafür fehlen weiterhin das mittlere Strömungsmodell sowie kalibrierte Lüfter-, Klappen- und Auslasskennlinien.
Netzwerkverfahren Fortführung des Kanten-/Knotenrezepts aus Ritz_Verfahren / ANLEITUNG_Netzwerk_statt_FEM , Abschnitte 2–3: Welle → L auf Kanten, C gegen K0; Dämpfung → R in Reihe. Für jedes Rohrelement: L = ρ Δx/A, R = β L, C = A Δx/(ρc²). Jede Elementkapazität wird hälftig an die beiden Endknoten gestempelt. Am Systemabzweig werden die Beiträge der angeschlossenen Elemente addiert. Die ideal druckgleiche Verbindungsstelle lässt sich durch einen gemeinsamen Netzwerkknoten koppeln; zusätzliche Knoten in den Rohrabschnitten bleiben erhalten. Die Schaltung ist eine RL-Längskette mit Quer-C. Der gezeigte Ausschnitt enthält tatsächliche Elemente der aktuellen Netzliste.
Anregung und Messung Ein Gaußimpuls mit σ = 1,2 ms wird durch einen Tiefpass mit der eingestellten Zeitkonstante τ verformt. Das ist eine einstellbare Quellenannahme, keine gemessene Lüfterkennlinie. Der gleiche Spannungsquellenverlauf E(t) treibt beide Modelle. Die Quellenimpedanz ist an Z₀ = ρc/A angepasst. Am Eingangsport wird der Rücklauf als p − E/2 bestimmt. Referenz-Schalldruck und Netzwerk-Schalldruck werden separat berechnet. Der Echoabgleich verwendet das fest ausgewiesene Fenster 12–85 ms; so beeinflusst der lokale Einschaltfehler der diskreten Quellenkapazität den Echo-Fit weniger. Im ganzen Zeitdiagramm wird nichts ausgeblendet.
Automatischer Abgleich Jeder Versuch löst das Netzwerk erneut. Zunächst werden Laufzeit und Abschluss des geraden Rohrs gesucht. Reicht der Fehler nicht aus, werden Kandidaten für einen Seitenzweig geprüft; anschließend optimiert Nelder–Mead dessen Position und Querschnitt gemeinsam mit c und dem Abschluss. Ein zusätzlicher Zweig wird nur bei deutlicher Fehlerreduktion (mindestens 20 % SSE) und kleinerem BIC gewählt. Laufzeiten allein bestimmen nicht sämtliche Bauteile eindeutig. Daher sind Hauptrohrlänge 6 m, Durchmesser 0,1 m, ρ = 1,2 kg/m³, Seitenrohrlänge 2 m, β = 6 s⁻¹ sowie dessen Abschluss Rᵦ/Z₀ᵦ = 1/3 hier bekannte Daten. Die Netzwerkelemente ändern sich aus den optimierten physikalischen Größen. Es erfolgt keine Skalierung oder Verschiebung der ausgegebenen Kurven.
Kreuzkorrelation Senden/Empfangen wird als eigene Laufzeitauswertung gezeigt. Der Optimierer minimiert die quadratische Abweichung der unveränderten Rücklaufsignale. Rauschen, Gitterfehler und mangelnde Identifizierbarkeit können einen Restfehler hinterlassen. „Rechenende“ bedeutet deshalb nicht automatisch „Ziel erreicht“. Die Genauigkeit auf synthetischen Daten ist kein experimenteller Ortsgenauigkeitsnachweis. Volumenströme im Export sind akustische Wechselgrößen, keine stationären Auslassvolumenströme.
Stufe 3 · Belag in der Referenzanlage und überlagerte KI
Die Referenzanlage kann einen Belag tragen: eine örtlich begrenzte Verengung mit glattem Profil um das Belagzentrum xc , halbe Länge b = 0,6 m, Querschnittsminderung d im Zentrum. Wirksamer Querschnitt A(x) = A₀·[1 − d·w(x)] mit w(x) = ½·[1 + cos(π(x − xc )/b)] innerhalb |x − xc | < b, Dämpfung β(x) = β₀·[1 + 3·d·w(x)] für die rauere Oberfläche. Die Referenz rechnet das Profil in acht Abschnitten auf dem 25-mm-Raster mit der Charakteristikenmethode auf einem Rohrgraphen; bei d = 0 entsteht exakt die Rechnung der Version 2.1.
Unterlagerte Ebene (Edge): der unveränderte Abgleich mit seinen vier Größen c, γ, Position und Querschnitt. Er läuft in jedem Zyklus, erkennt die Klappe selbst und kennt keinen Belag. Sein Zwilling kann jedoch ein Korrekturpaket tragen: Belaggröße und Belagort werden als feste Zellen mit vermindertem Querschnitt und erhöhter Dämpfung in die RL/C-Kette eingebaut (L = ρΔx/(A·f), C = A·f·Δx/(ρc²), R = β·L mit f = 1 − d·w). Die Edge optimiert weiterhin nur ihre vier Größen. Ohne Korrektur ist dieser Zwilling bitgenau der Zwilling der Version 2.1.
Überlagerte Ebene (KI): Sie erhält nach jedem Zyklus das Ergebnispaket der Edge (Restfehler, Topologie, vier Parameter, Rechnungen) und greift nur ein, wenn der Restfehler in zwei aufeinanderfolgenden Zyklen über dem Ziel liegt, einmal mehr als das Dreifache des Ziels erreicht oder über vier Zyklen stetig ansteigt. Dann fordert sie das Signalpaket an und schlägt eine Korrektur vor: entweder mit einem kleinen neuronalen Netz (128 Eingänge aus dem gemittelten Rücklauf, 32 verdeckte Neuronen, Ausgänge Klappe, Position, Querschnitt, Abschluss, Belaggröße, Belagort; eingelernt in dieser Datei aus eigenen Referenzfällen zufälliger Anlagen, Vorgabe 1500, mit einem Fünftel so vielen getrennten Kalibrierfällen; gerade Rohre und Seitenrohre an verschiedenen Stellen, Belag bis zur eingestellten Größe an Orten im eingestellten Bereich); sein Vorschlag ist ein gelernter Startpunkt, der mit höchstens 16 sichtbaren physikalischen Rechnungen (Nelder–Mead über d und xc bei festgehaltenen Edge-Parametern, Phase „Netzvorschlag verfeinern“) nachgeschärft wird. Zum Vergleich steht eine klassische Belagsuche ohne Startpunkt (acht sichtbare Rasterkandidaten, dann dasselbe Nelder–Mead-Verfahren bis 60 Rechnungen). Übergeben wird in beiden Fällen nur Belaggröße und Belagort.
Prüfung vor Übergabe: Die Edge rechnet einmal mit dem vorgeschlagenen Paket, sichtbar als Phase „KI-Korrektur prüfen“. Ein kleines Paket (unter 10 %) wird bei bestehender Korrektur zusätzlich gegen „kein Belag“ geprüft, damit ein verschwundener Belag die alte Korrektur wieder aufhebt. Nur wenn sich die Fehlerquadratsumme mindestens halbiert oder das Ziel erreicht wird, übernimmt der Zwilling das bessere der geprüften Pakete; sonst bleibt er unverändert, und die Ursache gilt als außerhalb des Belagmodells. Nach einer übernommenen Korrektur beginnt die Trendbeobachtung neu. Ein Netzvorschlag außerhalb des Lernbereichs wird nicht geprüft, sondern zurückgewiesen. Vor jedem Zyklus schätzt die überlagerte Ebene den Rauschboden allein aus der Messung (Streuung im Fenster vor dem ersten möglichen Echo, bezogen auf die Signalleistung). Auslöser, Zielerreichung und Übernahme beziehen sich auf den rauschbereinigten Modellfehler, die Wurzel aus Gesamtfehler² minus Rauschboden², gegen das eingestellte Ziel; als erreicht gilt außerdem ein Gesamtfehler unter dem 1,25-Fachen des Bodens. Ein Paket wird übernommen, wenn sich dieser Modellfehler im Quadrat mindestens halbiert oder das Ziel erreicht ist. So behält das Ziel seine Bedeutung als Modellfehler, und Rauschen allein löst keine Eingriffe aus; Gesamtfehler, Rauschboden und Modellfehler stehen nebeneinander im Protokoll und in der Tabelle. Rückfallweg: Das Netz ist für Quellen-Trägheiten von 0,3 bis 3 ms eingelernt (Lernfälle mit zufälliger Trägheit in diesem Bereich). Meldet es eine Messung als außerhalb seines Lernbereichs, oder sieht es keinen Belag, obwohl die Edge das Ziel verfehlt und keine Korrektur trägt, übernimmt die klassische Belagsuche den Vorschlag; die Edge prüft ihn wie jeden anderen. Die Tabelle nennt den Weg, über den das Paket entstand.
Impulsmittelung und Nachweisgrenze: Mehrere Impulse je Messung (Regler „Impulse je Messung“) werden gemittelt; die Anlage ändert sich innerhalb einer Messung nicht, der Rauschboden sinkt mit der Wurzel der Impulszahl. Ein Belag ist eine sanfte Verengung über 1,2 m und wirft bei träger Quelle (langer Wellenlänge) nur wenig zurück, das Seitenrohr als abrupter Knoten dagegen kräftig; deshalb bleibt die Klappe bei Rauschen erkennbar, während der Belag im Rauschen verschwinden kann. Die Seite berechnet dafür die Nachweisgrenze: den kleinsten Belag, dessen Echoänderung das 1,5-Fache des vorhergesagten Rauschbodens übersteigt, aus Quellen-Trägheit, Rauschen und Impulszahl. Liegt sie über dem größten eingelernten Belag, startet die KI nicht und nennt die nötige Impulszahl. Im Dauerbetrieb plant die KI die Messung selbst (Fall B des Prüfkonzepts): Wird ein Eingriff verworfen, während der Rauschboden mehr als 40 % des Restfehlers ausmacht, verdoppelt sie die Impulse für die nächste Messung bis höchstens 16; bei klarem Befund kehrt sie zur eingestellten Zahl zurück. Zyklen, deren wahrer Belag unter der Nachweisgrenze liegt, sind in der Tabelle als solche gekennzeichnet.
Fairer Vergleich: Netz und klassische Belagsuche liefern dasselbe Paket, werden von derselben Edge geprüft und mit denselben Rechnungen gezählt. Der Vorteil des Netzes ist ein gelernter Startpunkt: wenige Verfeinerungsrechnungen statt einer Rastersuche, kein neues Erkennungsvermögen; die Klappe erkennt in beiden Fällen die Edge. Referenz und Zwilling teilen dieselbe vereinfachte Akustik; der Nachweis gilt für das Verfahren, nicht für die reale Anlage. Dort ersetzt ein gemessenes Sende- und Empfangssignal die Referenzrechnung, die Quellenübertragungsfunktion, Temperatur, Dämpfung und die tatsächliche Belagform müssen bestimmt und das Netz mit dem angepassten Zwilling neu eingelernt werden.
Dauerbetrieb: Mit eingeschalteter KI verändert sich die Referenzanlage von Zyklus zu Zyklus von selbst. Der Belag wächst und geht wieder zurück (zufällige Richtungswechsel, Schrittweite je Zyklus einstellbar, Obergrenze der eingelernte Belag); ist er verschwunden, kann der nächste an anderer Stelle im eingelernten Bereich entstehen. Das Seitenrohr öffnet und schließt unabhängig davon mit einstellbarer Wahrscheinlichkeit, jeweils an zufälliger Position (Raster 0,25 m) mit zufälligem Querschnitt (Raster 5 %). Ein neuer Zustand folgt erst, wenn die Rechnung des vorigen abgeschlossen ist, wahlweise mit Pause; die Zyklen sind Zeitraffer. Jeder Zyklus ist ein vollständiger sichtbarer Abgleich; Tabelle und Diagramme halten Referenz, Edge-Ergebnis, KI-Eingriff, Paket, Entscheidung und Rechnungen fest. Verschwindet der Belag, schlägt die KI die Aufhebung der Korrektur vor, und die Edge prüft auch das.
Zusatzdokument · Adaptive Signalverarbeitung und Agentensteuerung
Projekt und Methodik: Prof. Dr.-Ing. Ralph Wystup
Dieser Abschnitt greift eine weitergehende Anforderung auf. Ihr Kern ist ein iterativer Lernprozess: Ein zunächst grober Netzwerkzwilling soll die Übertragungsfunktion der Strecke liefern, damit Signalverarbeitung und weitere Versuche gezielter werden und die Modellschätzung verbessert werden kann. Dieser nächste Entwicklungsschritt wird hier beschrieben; er ist noch nicht als adaptive Filterschleife im Simulator implementiert.
Die folgende fachliche Einordnung trennt Vorschläge, Grenzen und bereits nachgerechnete Funktionen.
Umsetzungsstand des Zusatzdokuments
Inhalt Stand dieser HTML
Verformter Sendeimpuls und echte Reflexionen Berechnet: angenommener Quellen-Tiefpass, räumlicher Wellentransport und getrennte Netzwerkantwort. Kreuzkorrelation und Modellanpassung Berechnet: Korrelation zur Laufzeitauswertung; Optimierung anhand der unveränderten Rücklauf-Zeitreihen. Geänderte Rohrstruktur erkennen Berechnet: Auswahl zwischen geradem Rohr und einem Seitenrohr. Kein beliebiges Rohrnetz und keine KI-Agentensteuerung. Übertragungsfunktion aus dem Zwilling Aus der Zustandsmatrix ableitbar; eine entsprechende Frequenzgang-Auswertung ist noch nicht eingebaut. Wiener-/Tikhonov-Entfaltung, Vorverzerrung, Chirps Als Erweiterung dokumentiert; nicht im aktuellen Rechenlauf enthalten. Agent wählt Modell, Filter und nächste Anregung Vorgeschlagene Architektur, noch nicht implementiert oder experimentell bestätigt. Kleines neuronales Netz für Struktur und Startwerte Als einfachere erste KI-Stufe vorgeschlagen; noch nicht trainiert oder eingebaut.
Übertragungsfunktion aus der dynamischen Knotenmatrix
Für eine festgehaltene Topologie und feste Parameter θ besitzt das lineare Netzwerk die Form Mż = K(θ)z + b(θ)E. Hier enthält z die Druck- und Volumenstromzustände, M die Speicherkoeffizienten und K die Kopplungs-, Verlust- und Abschlussglieder. Bei verschwindenden Anfangszuständen folgt durch Laplace-Transformation:
[sM − K(θ)]Z(s) = b(θ)E(s)
Wählt der Zeilenvektor dᵀ den Quelldruckknoten aus, ist der im Dashboard verwendete Rücklauf y = dᵀz − E/2. Seine modellierte Übertragungsfunktion lautet daher:
Hθ (s) = Y(s)/E(s)
Das ist eine Ableitung aus demselben Netzwerk, keine frei gewählte Glättung einer Messkurve. Für die Auswertung wäre für jeden Frequenzpunkt s = iω ein lineares Gleichungssystem zu lösen; eine volle inverse Matrix muss nicht gebildet werden. Der Quellen-Tiefpass von U nach E und ein später gemessener Sensorfrequenzgang sind davon getrennte Übertragungsfunktionen. Sie dürfen nicht mehrfach eingerechnet werden. Bei einer Topologieänderung muss auch H neu bestimmt werden.
Was eine adaptive Filterung leisten kann – und was nicht
Eine regulierte Entfaltung ist grundsätzlich plausibel. Für eine klar definierte Messkette Y(ω) = H(ω)X(ω) + N(ω) kann beispielsweise die Tikhonov-Lösung mit Identitäts-Regularisierung verwendet werden:
X̂ = arg minX (|HX − Y|² + λ|X|²)
Der Stern bezeichnet komplexe Konjugation. Die Regularisierung begrenzt die Verstärkung bei schwachem H; λ muss zur Rauschstärke und Skalierung passen. Ein Wienerfilter benötigt entsprechende Signal-/Rauschspektren. Das allgemeine Prinzip ist etwa in der Dokumentation zur Wiener–Hunt-Entfaltung beschrieben; deren Bildbeispiele sind kein Validierungsnachweis für diesen Rohrversuch.
Vor der Umsetzung ist festzulegen, was entfaltet werden soll: Quelle, Sensor oder Strecke. Die komplette Echo-Übertragungsfunktion des bereits angenommenen Rohrmodells blind zu invertieren, kann gerade die diagnostisch gesuchten Reflexionen unterdrücken und die eigene Annahme bestätigen. Die Rohmessung bleibt deshalb unverändert erhalten; die Modellgüte muss weiterhin gegen diese Daten und zusätzlich gegen unabhängige Prüfversuche beurteilt werden.
Vorverzerrung ist nur innerhalb der zulässigen Lüfteransteuerung, Signalbandbreite und Amplitude sinnvoll. Ein Chirp kann über längere Sendezeit mehr Energie in die nutzbare Bandbreite bringen. Seine Kreuzkorrelation beziehungsweise sein Matched-Filter kann eine schmalere Antwort als die lange Sendewellenform liefern. Das Grundprinzip zeigen Beispiele zur Pulskompression in Radar und Sonar ; hier müsste es mit der akustischen Quellen- und Sensorkette geprüft werden.
Keine dieser Maßnahmen stellt nicht vorhandene Bandbreite oder im Rauschen verlorene Information beliebig wieder her. Eine garantierte millimetergenaue Ortung, vollständige Rauschbeseitigung oder ein Überwinden physikalischer Grenzen folgt daraus nicht. Die elektrische Kabelanalogie des Zusatzdokuments ist eine methodische Anregung; MHz-/Nanosekundenbeispiele sind keine Betriebsdaten des Luftrohrs.
Vorgesehene iterative Untersuchung und Aufgaben des Agenten
Reale beziehungsweise unabhängig simulierte Sende- und Empfangssignale ungefiltert speichern, einschließlich Zeitbasis und Betriebspunkt.
Ein erstes Netzwerk anhand dieser Signale identifizieren; dabei Parameterunsicherheit und alternative Topologien festhalten.
Aus dem Netzwerk den Frequenzgang bestimmen. Quellen- und Sensoranteile getrennt kalibrieren; nutzbare Bandbreite und Rauschen abschätzen.
Begrenzte Filterung oder eine bessere nächste Anregung auswählen. Dieselbe Verarbeitung auf verglichene Signale anwenden und Filterparameter protokollieren.
Das Netzwerk erneut anpassen und mit unveränderten Rohdaten sowie nicht zum Fit verwendeten Prüfimpulsen vergleichen. Eine Verbesserung der gefilterten Kurven allein genügt nicht.
Nur nachgewiesene Verbesserungen übernehmen. Bei unklarer Struktur mehrere Hypothesen behalten, einen weiteren Versuch auslösen oder die Unsicherheit ausweisen.
Ein späterer Agent kann diesen Ablauf koordinieren: Versuchsfolge wählen, Rechenprogramme aufrufen, Modellwechsel vorschlagen und Grenzen überwachen. Die deterministischen Feld-/Netzwerklöser und die Messdaten liefern dabei weiterhin die Ergebnisse. Ein Sprachmodell ersetzt weder Erhaltungsgleichungen noch eine numerische Prüfung. Das heutige Nelder–Mead-Verfahren mit begrenzter Topologiesuche ist kein bereits eingebauter KI-Agent.
Auch klassische Identifikationsverfahren können mit Modellbanken, Umschaltlogik oder Neustarts auf Struktursprünge reagieren. Ein KI-Vorteil muss gegen solche Vergleichsverfahren gemessen werden; er ist nicht durch die Architekturbezeichnung bewiesen. Erkennungszeiten, Ortsgenauigkeit, Rechenlast auf einem Edge-Gerät und laufende Kosten bleiben Prüfgrößen.
Langfristiges Projektziel bleibt ein sich anpassender digitaler Zwilling zur Diagnose und zur Abschätzung von Auslassvolumenströmen mit reduzierter Dauersensorik. Die aktuelle Akustiksimulation allein liefert noch keine stationären Fördervolumenströme und keinen Nachweis, dass ein einziger Sensor oder eine reine Motor-Stellgrößenauswertung ausreicht.
Einstieg mit einem selbst eingelernten neuronalen Netz
Für eine erste lernende Erweiterung ist kein Sprachmodell-Agent erforderlich. Ein kleines neuronales Netz könnte aus Sende-/Empfangssignalen oder deren Merkmalen zunächst die Rohrklasse (gerade oder mit einem Seitenrohr) und geeignete Startwerte für Position, Querschnitt, Schallgeschwindigkeit und Abschluss schätzen. Klassifikation und Regression aus Beispieldaten sind typische Aufgaben eines kleinen mehrschichtigen Netzes; die Grundlagenbeschreibung zu überwacht trainierten neuronalen Netzen erläutert diese Unterscheidung.
Der vorgeschlagene Ablauf lautet: Empfangssignal → gelernter Modellvorschlag → vorhandener numerischer Abgleich → Prüfung der neu berechneten Antwort gegen Rohdaten. Das neuronale Netz würde die physikalische Rechnung nicht ersetzen. Die aktuell sichtbare Parametervariation bleibt das nachvollziehbare Vergleichsverfahren und der Rückfallweg bei schlechten Vorschlägen.
„Selbst einlernen“ bedeutet hier zunächst automatisierte Erzeugung vieler Trainingsbeispiele mit dem unabhängigen Referenzlöser: Rohrzustand und Parameter werden variiert, Signale berechnet, die bekannten Erzeugungsparameter dienen als Lernziele. Quellen-Trägheit und Rauschen müssen ebenfalls variieren. Trainings-, Abstimmungs- und Testfälle sind nach ganzen Parameterkonfigurationen zu trennen; lediglich neue Rauschrealisierungen derselben Fälle genügen nicht als unabhängiger Generalisierungsnachweis. Beim späteren Erkennen eines Testfalls darf das Netz dessen Erzeugungsparameter nicht erhalten.
Zu prüfen wären Erkennungsquote, Parameterfehler, nachfolgender Rohsignalfehler und benötigte Modellrechnungen – jeweils gegen den unveränderten bisherigen Optimierer. Ein Geschwindigkeitsschub oder eine bessere Robustheit wird nicht vorweggenommen. Synthetisches Training ersetzt keine Prüfung an echten Messungen; systematische Fehler der Referenzphysik können sonst mitgelernt werden.
Ein anschließendes Nachlernen am realen Prüfstand benötigt verlässliche Kalibrierfälle oder ein geprüftes physikalisches Lernkriterium. Die ungeprüfte eigene Vorhersage immer wieder als „Wahrheit“ zu trainieren, wäre eine Selbstbestätigung, kein Nachweis. Ein trainiertes kleines Netz könnte später zusammen mit seinen Gewichten in die All-in-one-Datei eingebettet werden. Aktueller Stand (Version 3.1, 10.09.2026): Ein kleines neuronales Netz ist als überlagerte Ebene der Stufe 3 in dieser Datei eingebaut. Es wird in der Datei selbst aus eigenen Referenzrechnungen eingelernt und schlägt nur ein Korrekturpaket für den Belag vor, das der unveränderte Abgleich prüft, bevor es übernommen wird. Ein Agent kann später zusätzlich Versuche und Modellwechsel koordinieren; das ist eine separate Ausbaustufe.
All-in-one und Quellen Grafiken, Rechenkern und Worker sind eingebettet. Die heruntergeladene HTML-Datei funktioniert ohne Server und ohne Bibliotheksdownload. Die Animation liest berechnete Druckzustände; die Zeitlupe verändert nur die Wiedergabe.
Grundlagen: UNSW: akustische Inertanz, Kompressibilität und Impedanz ; Randbedingungen der Rohrakustik . FEMM stellt nach seiner Dokumentation keinen solchen transienten Rohrakustik-Löser bereit. Grundlage des Projekts: Beschreibung vom 08.09.2026, Fassung ____2.
Schließen Vollständiges Manuskript mit Herleitungen, Beweisen und Bildern; Quelle Manuskript/MANUSKRIPT_Rohrdiagnose.md. Als PDF herunterladen .
0. Worum es geht, in einem
Absatz
Ein Lüfter bläst in eine Rohrstrecke. Ob sich irgendwo ein Seitenrohr
geöffnet hat und ob sich das Rohr zusetzt, soll nicht mit Sensoren
entlang der Strecke, sondern aus einer einzigen Messung am Einlass
erkannt werden: Man schickt einen kurzen Druckimpuls hinein und hört auf
das Echo. Ein Netzwerkzwilling , eine elektrische
Kettenschaltung aus Induktivitäten, Widerständen und Kapazitäten, wird
so lange verändert, bis sein Echo dem gemessenen gleicht. Seine
Bauteilwerte sind dann die Antwort: Position und Querschnitt des
Seitenrohrs, Schallgeschwindigkeit, Abschluss. Darüber liegt eine
lernende Ebene, die einen langsam wachsenden Belag erkennt und dem
Zwilling als Korrektur übergibt. Dieses Manuskript leitet die Physik und
die Rechenverfahren geschlossen her, beweist die Eigenschaften, auf
denen das Verfahren beruht, und belegt jede Aussage mit Rechnungen aus
der ausgelieferten Datei
ebm_Retrofit_AllInOne_Abgleich.html (Version 3.2). Wo die
Physik eine Grenze setzt, wird sie benannt und quantifiziert.
1. Aufgabe
1.1 Die Anlage
Das Referenzsystem ist ein gerades Rohr der Länge
ℓ = 6 m \ell = 6\,\mathrm{m} A 0 = π ( 0 , 1 m ) 2 / 4 A_0 = \pi (0{,}1\,\mathrm{m})^2/4 x s x_s 2 m 2\,\mathrm{m} A β = 𝜚 A 0 A_\beta = \varrho\,A_0 x c x_c b = 0 , 6 m b = 0{,}6\,\mathrm{m}
A ( x ) = A 0 ( 1 − d w ( x ) ) , w ( x ) = 1 2 ( 1 + cos π ( x − x c ) b ) ( | x − x c | < b ) , A(x) = A_0\,\left(1 - d\,w(x)\right),\qquad w(x) = \tfrac12\left(1+\cos\frac{\pi (x-x_c)}{b}\right)\quad (|x-x_c|<b),
und
w ( x ) = 0 w(x) = 0 d ∈ [ 0 , 0 , 5 ] d \in [0, 0{,}5] β ( x ) = β 0 ( 1 + 3 d w ( x ) ) \beta(x) = \beta_0\,(1 + 3\,d\,w(x))
Die Referenzanlage: Quelle mit
Innenimpedanz, 6-m-Hauptrohr mit Belag, Seitenrohr bei 3 m mit eigenem
Abschluss, Last. Gemessen wird nur am Port: das Echo
y = p − E / 2 y = p - E/2
1.2 Was gemessen wird und
was gesucht ist
Gemessen wird der Druck
p ( t ) p(t) E ( t ) E(t) Z 0 = ρ c / A 0 Z_0 = \rho c/A_0 E / 2 E/2
y ( t ) = p ( t ) − 1 2 E ( t ) . y(t) = p(t) - \tfrac12 E(t).
Gesucht sind aus
y ( t ) y(t) c c γ \gamma x s x_s 𝜚 \varrho d d x c x_c E E y y
Für ein gerades Rohr mit einer Reflexion ließe sich die Laufzeit
direkt ablesen. Mit Seitenrohr, Last und Belag überlagern sich viele
Echos, die Quelle verschleift den Impuls, und Rauschen kommt hinzu. Der
Weg über ein Modell, das dieselbe Physik rechnet und dessen Parameter
man so lange verstellt, bis das Echo passt, trennt die Frage „welche
Physik” von der Frage „welche Zahlen”. Die Physik wird einmal
hergeleitet und geprüft; die Zahlen findet ein Optimierer. Das ist der
Ansatz dieses Manuskripts.
2. Ansatz
Zwei voneinander unabhängige Rechenwege lösen dieselbe
Wellengleichung:
Die Rohrreferenz rechnet die Anlage mit der
Charakteristikenmethode auf einem feinen Gitter (240 Zellen auf 6 m,
Zellweite 2,5 cm). Sie spielt die Rolle der echten Anlage: Aus ihr kommt
das „gemessene” Echo, dem Messrauschen zugesetzt wird. Später tritt an
ihre Stelle die reale Messung.
Der Netzwerkzwilling ist eine RL/C-Kettenschaltung
mit 120 Zellen, die im Zustandsraum mit einem Runge-Kutta-Verfahren
gelöst wird. Seine Parameter sucht der Abgleich.
Dass beide Wege bei gleichen Parametern dasselbe Echo liefern, ist
kein Zufall, sondern wird in Abschnitt 3.5 bewiesen: Die Kettenschaltung
ist die räumliche Diskretisierung derselben Gleichungen. Der Abgleich
passt also keine Kurve an eine Kurve, sondern eine Physik an eine
Physik. Über dem Abgleich (der „Edge”) liegt eine überlagerte
Ebene , die nur bei beharrlich zu hohem Modellfehler eingreift
und den Belag als Korrekturpaket vorschlägt, entweder aus einem kleinen
neuronalen Netz oder aus einer klassischen Suche; die Edge prüft jeden
Vorschlag, bevor sie ihn übernimmt.
Architektur: Referenzanlage, unterlagerte
Edge, überlagerte KI, Prüfung und Messplanung. Die KI sieht nie den
wahren Zustand der Anlage.
3. Physik der Rohrstrecke
3.1 Die linearen Gleichungen
Für kleine Störungen in ruhender Luft (Dichte
ρ = 1 , 2 k g / m 3 \rho = 1{,}2\,\mathrm{kg/m^3} c c p ( x , t ) p(x,t) Q ( x , t ) = A v Q(x,t) = A\,v
ρ A ∂ Q ∂ t = − ∂ p ∂ x − ρ β A Q , ∂ p ∂ t = − ρ c 2 A ∂ Q ∂ x . \frac{\rho}{A}\,\frac{\partial Q}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x} - \frac{\rho\beta}{A}\,Q, \qquad \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{\rho c^2}{A}\,\frac{\partial Q}{\partial x}.
Der Term
ρ β Q / A \rho\beta Q/A 1 / β 1/\beta β = 6 s − 1 \beta = 6\,\mathrm{s^{-1}} t t
∂ 2 p ∂ t 2 + β ∂ p ∂ t = c 2 ∂ 2 p ∂ x 2 . \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} + \beta\,\frac{\partial p}{\partial t} = c^2\,\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}.
Die Größe
Z = ρ c / A Z = \rho c/A P a s / m 3 \mathrm{Pa\,s/m^3}
3.2
Charakteristiken und der Beweis der exakten Fortpflanzung
Satz 1. Ohne Verluste
(β = 0 \beta = 0 a = 1 2 ( p + Z Q ) , b = 1 2 ( p − Z Q ) a = \tfrac12\,(p + Z Q), \qquad b = \tfrac12\,(p - Z Q) x − c t = const x - ct = \text{const} x + c t = const x + ct = \text{const}
Beweis. Mit
Z = ρ c / A Z = \rho c/A ∂ t Q = − ( A / ρ ) ∂ x p \partial_t Q = -(A/\rho)\,\partial_x p ∂ t p = − ( ρ c 2 / A ) ∂ x Q \partial_t p = -(\rho c^2/A)\,\partial_x Q ∂ t a + c ∂ x a = 1 2 ( ∂ t p + Z ∂ t Q ) + c 2 ( ∂ x p + Z ∂ x Q ) = 1 2 ( − ρ c 2 A ∂ x Q − c ∂ x p ) + c 2 ( ∂ x p + ρ c A ∂ x Q ) = 0 , \partial_t a + c\,\partial_x a = \tfrac12\left(\partial_t p + Z\partial_t Q\right) + \tfrac{c}{2}\left(\partial_x p + Z\partial_x Q\right)
= \tfrac12\left(-\tfrac{\rho c^2}{A}\partial_x Q - c\,\partial_x p\right) + \tfrac{c}{2}\left(\partial_x p + \tfrac{\rho c}{A}\partial_x Q\right) = 0, ∂ t b − c ∂ x b = 0 \partial_t b - c\,\partial_x b = 0 ∂ t a + c ∂ x a = 0 \partial_t a + c\,\partial_x a = 0 a ( x − c t ) a(x - ct) ▫ \square
Die Rohrreferenz nutzt genau das: Auf einem Gitter mit
Δ x = c Δ t \Delta x = c\,\Delta t exakt .
Nur der Verlust wird getrennt behandelt.
Satz 2 (Verlustschritt). Wirkt in einem Zeitschritt
Δ t \Delta t p p Q Q η = e − β Δ t \eta = e^{-\beta\Delta t} a ′ = 1 2 [ ( a + b ) + ( a − b ) η ] , b ′ = 1 2 [ ( a + b ) − ( a − b ) η ] . a' = \tfrac12\left[(a+b) + (a-b)\,\eta\right], \qquad b' = \tfrac12\left[(a+b) - (a-b)\,\eta\right].
Beweis. Aus
∂ t Q = − β Q \partial_t Q = -\beta Q Q ( t + Δ t ) = η Q ( t ) Q(t+\Delta t) = \eta\,Q(t) p p p = a + b p = a + b Z Q = a − b ZQ = a - b a ′ = 1 2 ( p + η Z Q ) a' = \tfrac12(p + \eta ZQ) b ′ = 1 2 ( p − η Z Q ) b' = \tfrac12(p - \eta ZQ) ▫ \square
Die Referenz rechnet je Zeitschritt: Verschieben (exakt), dann
Verlustschritt (exakt für den Verlust allein). Die Aufspaltung ist von
erster Ordnung in
Δ t \Delta t β Δ t = 6 ⋅ 7 , 3 ⋅ 10 − 5 ≈ 4 ⋅ 10 − 4 \beta\Delta t = 6\cdot 7{,}3\cdot 10^{-5} \approx 4\cdot 10^{-4} pipe_engine.js und, mit Segmenten
unterschiedlichen Querschnitts, im Belagmodul.
3.3
Randbedingungen, hergeleitet aus Druck und Volumenstrom
Quelle mit Innenimpedanz. Die Quelle liefert am Port
p = E ( t ) − Z 0 Q p = E(t) - Z_0 Q p = a + b p = a + b Q = ( a − b ) / Z Q = (a-b)/Z Z 0 = Z Z_0 = Z E − ( a − b ) = a + b E - (a - b) = a + b a = 1 2 E ( t ) . a = \tfrac12\,E(t). b b y = p − E / 2 = b y = p - E/2 = b
Last. Am Rohrende gilt
p = R Q p = R\,Q a + b = R ( a − b ) / Z a + b = R\,(a - b)/Z b a = γ = R − Z R + Z . \frac{b}{a} = \gamma = \frac{R - Z}{R + Z}. R → 0 R \to 0 − 1 -1 R → ∞ R\to\infty + 1 +1 γ = 0 , 5 \gamma = 0{,}5 R = 3 Z R = 3Z R β = Z β / 3 R_\beta = Z_\beta/3 γ β = ( 1 / 3 − 1 ) / ( 1 / 3 + 1 ) = − 1 2 \gamma_\beta = (1/3 - 1)/(1/3 + 1) = -\tfrac12
Knoten (Abzweig). An einem Knoten, in den
m m Z i Z_i i i w i w_i r i r_i p J = w i + r i p_J = w_i + r_i Q i = ( w i − r i ) / Z i Q_i = (w_i - r_i)/Z_i ∑ i Q i = 0 \sum_i Q_i = 0 ∑ i 2 w i − p J Z i = 0 ⇒ p J = 2 ∑ i w i / Z i ∑ i 1 / Z i , r i = p J − w i . \sum_i \frac{2 w_i - p_J}{Z_i} = 0 \quad\Longrightarrow\quad p_J = \frac{2\sum_i w_i/Z_i}{\sum_i 1/Z_i},\qquad r_i = p_J - w_i. Z Z Z / 𝜚 Z/\varrho p J = 2 ( a v o r + b h i n t e r + 𝜚 b β ) / ( 2 + 𝜚 ) p_J = 2\,(a_\mathrm{vor} + b_\mathrm{hinter} + \varrho\, b_\beta)/(2 + \varrho) d = 0 d=0
Reflexion am Abzweig. Trifft nur von vorn eine Welle
a a r v o r = p J − a = 2 a 2 + 𝜚 − a = − 𝜚 2 + 𝜚 a r_\mathrm{vor} = p_J - a = \dfrac{2a}{2+\varrho} - a = -\dfrac{\varrho}{2+\varrho}\,a frequenzunabhängig . Für
𝜚 = 0 , 55 \varrho = 0{,}55 − 21 , 6 % -21{,}6\,\%
3.4 Die Quelle
Der Sollimpuls ist eine Gaußglocke
U ( t ) = 20 P a ⋅ exp [ − 1 2 ( ( t − 5 m s ) / 1 , 2 m s ) 2 ] U(t) = 20\,\mathrm{Pa}\cdot\exp[-\tfrac12((t-5\,\mathrm{ms})/1{,}2\,\mathrm{ms})^2] τ E ̇ + E = U \tau\,\dot E + E = U E k = E k − 1 ( 1 − f ) + U k f E_k = E_{k-1}(1-f) + U_k f f = 1 − e − Δ t / τ f = 1 - e^{-\Delta t/\tau} τ \tau
Links: Sollimpuls und die tatsächlich
einlaufende Welle bei
τ = 0 , 7 \tau = 0{,}7
3.5 Der
Netzwerkzwilling: Kettenleiter aus RL/C-Zellen
Herleitung der Bauteile. Man teile das Rohr in
Zellen der Länge
Δ x \Delta x ρ Δ x A d Q k d t = p k − p k + 1 − ρ β Δ x A Q k , A Δ x ρ c 2 d p k d t = Q k − 1 − Q k . \frac{\rho\Delta x}{A}\,\frac{dQ_k}{dt} = p_k - p_{k+1} - \frac{\rho\beta\Delta x}{A}\,Q_k, \qquad \frac{A\Delta x}{\rho c^2}\,\frac{dp_k}{dt} = Q_{k-1} - Q_k. L = ρ Δ x A , R = β L , C = A Δ x ρ c 2 , L = \frac{\rho\,\Delta x}{A}, \qquad R = \beta L, \qquad C = \frac{A\,\Delta x}{\rho c^2}, Z 0 Z_0 R L = Z ( 1 + γ ) / ( 1 − γ ) R_L = Z\,(1+\gamma)/(1-\gamma) x s x_s A β A_\beta A A Z β / 3 Z_\beta/3 x c x_c A 0 ( 1 − d w ) A_0(1-d\,w) L L C C R R
Der Kettenleiter: je Zelle eine
Längsinduktivität mit Verlustwiderstand und eine Querkapazität gegen den
Bezugsdruck K0. Alle eingezeichneten Werte der Seite stammen aus dieser
Netzliste.
Zustandsraum. Mit dem Knotenvektor
𝐩 \mathbf p 𝐪 \mathbf q 𝐁 \mathbf B 𝐂 \mathbf C 𝐆 \mathbf G 𝐋 \mathbf L 𝐑 \mathbf R 𝐂 𝐩 ̇ = − 𝐁 𝐪 − 𝐆 𝐩 + 𝐢 s ( t ) , 𝐋 𝐪 ̇ = 𝐁 ⊤ 𝐩 − 𝐑 𝐪 . \mathbf C\,\dot{\mathbf p} = -\mathbf B\,\mathbf q - \mathbf G\,\mathbf p + \mathbf i_s(t), \qquad \mathbf L\,\dot{\mathbf q} = \mathbf B^{\!\top}\mathbf p - \mathbf R\,\mathbf q. Z Z
Satz 3 (Dispersionsrelation des Kettenleiters). Für
die verlustlose Kette gilt für eine Welle
p k ∝ e i ( ω t − k Δ x n ) p_k \propto e^{i(\omega t - k\Delta x\,n)} ω = 2 L C sin k Δ x 2 = 2 c Δ x sin k Δ x 2 . \omega = \frac{2}{\sqrt{LC}}\,\sin\frac{k\Delta x}{2} = \frac{2c}{\Delta x}\,\sin\frac{k\Delta x}{2}.
Beweis. Einsetzen des Ansatzes in
L q ̇ n = p n − p n + 1 L\,\dot q_n = p_n - p_{n+1} C p ̇ n = q n − 1 − q n C\,\dot p_n = q_{n-1} - q_n i ω L q = p ( 1 − e − i k Δ x ) i\omega L\, q = p\,(1 - e^{-ik\Delta x}) i ω C p = q ( e i k Δ x − 1 ) i\omega C\, p = q\,(e^{ik\Delta x} - 1) − ω 2 L C = ( 1 − e − i k Δ x ) ( e i k Δ x − 1 ) = − ( 2 − 2 cos k Δ x ) = − 4 sin 2 ( k Δ x / 2 ) -\omega^2 LC = (1-e^{-ik\Delta x})(e^{ik\Delta x}-1) = -(2 - 2\cos k\Delta x) = -4\sin^2(k\Delta x/2) L C = Δ x 2 / c 2 LC = \Delta x^2/c^2 ▫ \square
Für
k Δ x ≪ 1 k\Delta x \ll 1 ω → c k \omega \to c\,k ist im Grenzfall die Wellengleichung. Sie hat
eine Grenzfrequenz
f c = c / ( π Δ x ) = 2 , 18 k H z f_c = c/(\pi\Delta x) = 2{,}18\,\mathrm{kHz} Δ x = 5 c m \Delta x = 5\,\mathrm{cm} τ = 0 , 7 \tau = 0{,}7 c sin ( θ / 2 ) / ( θ / 2 ) c\,\sin(\theta/2)/(\theta/2) θ = 2 π f Δ x / c \theta = 2\pi f\Delta x/c c c
Dispersion des Kettenleiters gegen das
Kontinuum. Im Band des Impulses (< 500 Hz) sind beide praktisch
gleich; die Grenzfrequenz liegt weit darüber.
Zeitintegration. Die Zustandsgleichung wird mit dem
klassischen Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung gelöst, mit
Teilschritten
Δ t ≤ 0 , 24 Δ x min / c \Delta t \le 0{,}24\,\Delta x_{\min}/c 2 c / Δ x 2c/\Delta x k Δ x = π k\Delta x = \pi | λ | Δ t ≤ 2 , 8 |\lambda|\Delta t \le 2{,}8 | λ | Δ t ≤ 0 , 48 |\lambda|\Delta t \le 0{,}48
Warum zwei Verfahren. Charakteristiken und
Kettenleiter sind zwei Diskretisierungen derselben Gleichungen mit
unterschiedlichen Fehlern (die eine exakt im Ort, die andere von zweiter
Ordnung im Ort und vierter in der Zeit). Dass der Abgleich trotzdem bei
d = 0 d=0
4. Methode der
Identifikation (die Edge)
4.1 Zielfunktion
Der Abgleich vergleicht das Echo des Zwillings
m ( t ) m(t) y o b s ( t ) y_\mathrm{obs}(t) t 0 = 12 m s t_0 = 12\,\mathrm{ms} S S E = ∑ t i ≥ t 0 ( y o b s ( t i ) − m ( t i ) ) 2 , ε = S S E ∑ t i ≥ t 0 y o b s ( t i ) 2 . \mathrm{SSE} = \sum_{t_i \ge t_0}\left(y_\mathrm{obs}(t_i) - m(t_i)\right)^2, \qquad \varepsilon = \sqrt{\frac{\mathrm{SSE}}{\sum_{t_i\ge t_0} y_\mathrm{obs}(t_i)^2}}. ε \varepsilon relative Echo-RMS-Fehler , die Zahl in der Fehlerkachel
der Seite. Die Korrelation wird nur angezeigt: Eine hohe Korrelation
allein bedeutet noch keine Übereinstimmung, weil sie Amplitude und
Offset ignoriert. Angezeigt wird jeder geprüfte Parametersatz; die
sichtbar springende Seitenrohrposition ist die Suche selbst.
4.2 Suchstrategie
Die vier Parameter
( c , γ , x s , 𝜚 ) (c, \gamma, x_s, \varrho) [ 0 , 1 ] [0,1]
Startzustand: gerades Rohr,
c = 313 m / s c = 313\,\mathrm{m/s} γ = 0 , 32 \gamma = 0{,}32
Laufzeit:
c c
Gerades Netzwerk (Hypothese
H 0 H_0 ( c , γ ) (c,\gamma)
Nur wenn
ε H 0 \varepsilon_{H_0} x s = 1 , 1 , 5 , … , 5 m x_s = 1, 1{,}5, \dots, 5\,\mathrm{m} 𝜚 = 0 , 45 \varrho = 0{,}45 H 1 H_1
Modellwahl mit dem Bayes-Informationskriterium
B I C j = n ln S S E j n + k j ln n , k 0 = 2 , k 1 = 4 ; \mathrm{BIC}_j = n\,\ln\frac{\mathrm{SSE}_j}{n} + k_j\,\ln n,\qquad k_0 = 2,\ k_1 = 4; H 1 H_1 B I C 1 < B I C 0 \mathrm{BIC}_1 < \mathrm{BIC}_0 S S E 1 < 0 , 8 S S E 0 \mathrm{SSE}_1 < 0{,}8\,\mathrm{SSE}_0
Warum BIC. Bei gaußschem Rauschen ist
− 2 ln ℒ = n ln ( S S E / n ) + const -2\ln\mathcal L = n\ln(\mathrm{SSE}/n) + \text{const} ln n \ln n n ≈ 1000 n \approx 1000 e − 14 / n ≈ 0 , 986 e^{-14/n} \approx 0{,}986
Abgleichverlauf des Standardfalls: 220
Netzwerkrechnungen, Phasen der Suche, jeder geprüfte Parametersatz und
der bisher kleinste Fehler. Ergebnis
x s = 3 , 001 x_s = 3{,}001 𝜚 = 0 , 550 \varrho = 0{,}550 ε = 1 , 17 % \varepsilon = 1{,}17\,\%
4.3 Was die Edge nicht kann
Die Edge kennt nur die Modellfamilie „gerades Rohr oder ein
Seitenrohr”. Einen Belag kann sie nur als Restfehler ausdrücken. Genau
deshalb kommt die überlagerte Ebene hinzu: Sie erweitert die
Modellfamilie um das Korrekturpaket
( d , x c ) (d, x_c)
5. Der Belag: Physik der
sanften Verengung
5.1 Modell in Referenz und
Zwilling
Die Referenz teilt den Belagbereich in acht Segmente auf dem
25-mm-Raster, jedes mit dem Querschnitt
A 0 ( 1 − d w ( x m i t t e ) ) A_0(1 - d\,w(x_\mathrm{mitte})) β 0 ( 1 + 3 d w ) \beta_0(1 + 3 d\,w) L L C C R R d = 0 d = 0 2 ⋅ 10 − 15 2\cdot10^{-15}
5.2 Wo
und mit welchem Vorzeichen das Belag-Echo entsteht
Eine Verengung erhöht die Impedanz. An einer kleinen Impedanzstufe
Z → Z + d Z Z \to Z + dZ r = d Z / ( 2 Z + d Z ) ≈ d Z / ( 2 Z ) > 0 r = dZ/(2Z + dZ) \approx dZ/(2Z) > 0 mit positivem Vorzeichen
zurückgeworfen, im Gegensatz zum Abzweig. Das Echo entsteht dort, wo
Z Z x c − b x_c - b x c x_c 1 , 2 m 1{,}2\,\mathrm{m} 6 , 997 m s 6{,}997\,\mathrm{ms} 2 Δ x / c 2\Delta x/c 6 , 997 m s 6{,}997\,\mathrm{ms} test_belag.js.
Belag-Echo (Differenz der Echos mit und
ohne Belag von 30 %) für drei Belagzentren. Gepunktet: Laufzeit zur
Vorderkante
x c − b x_c - b x c x_c 5 m s + 2 x / c 5\,\mathrm{ms} + 2x/c
5.3
Satz 4: Der Reflexionsfaktor einer sanften Verengung
(Born-Näherung)
Satz 4. Für eine schwache, örtlich begrenzte
Impedanzänderung
Z ( x ) Z(x) k = 2 π f / c k = 2\pi f/c r ( k ) = 1 2 ∫ − ∞ ∞ Z ′ ( x ) Z ( x ) e − 2 i k x d x . r(k) = \frac12\int_{-\infty}^{\infty}\frac{Z'(x)}{Z(x)}\,e^{-2ikx}\,dx. Z = Z 0 / ( 1 − d w ) Z = Z_0/(1 - d\,w) ln Z ≈ d w \ln Z \approx d\,w d d | r ( k ) | = d k | W ( 2 k ) | , W ( κ ) = b [ sinc κ b π + 1 2 sinc ( κ b π − 1 ) + 1 2 sinc ( κ b π + 1 ) ] |r(k)| = d\,k\,|W(2k)|,\qquad W(\kappa) = b\left[\operatorname{sinc}\tfrac{\kappa b}{\pi} + \tfrac12\operatorname{sinc}\left(\tfrac{\kappa b}{\pi}-1\right) + \tfrac12\operatorname{sinc}\left(\tfrac{\kappa b}{\pi}+1\right)\right] sinc u = sin ( π u ) / ( π u ) \operatorname{sinc} u = \sin(\pi u)/(\pi u)
Beweis. Man zerlege
Z ( x ) Z(x) d Z dZ x x d Z / ( 2 Z ) dZ/(2Z) e − 2 i k x e^{-2ikx} r = 1 2 ∫ Z ′ / Z e − 2 i k x d x r = \tfrac12\int Z'/Z\,e^{-2ikx}dx Z ′ / Z = ( ln Z ) ′ ≈ d w ′ ( x ) Z'/Z = (\ln Z)' \approx d\,w'(x) w w [ x c − b , x c + b ] [x_c-b, x_c+b] ∫ w ′ e − 2 i k x d x = 2 i k ∫ w e − 2 i k x d x = 2 i k W ( 2 k ) e − 2 i k x c \int w' e^{-2ikx}dx = 2ik\int w\,e^{-2ikx}dx = 2ik\,W(2k)\,e^{-2ikx_c} W W w = 1 2 ( 1 + cos ( π x / b ) ) w = \tfrac12(1+\cos(\pi x/b)) [ − b , b ] [-b,b] ∫ − b b 1 2 e − i κ x d x = b sinc ( κ b / π ) \int_{-b}^{b}\tfrac12 e^{-i\kappa x}dx = b\operatorname{sinc}(\kappa b/\pi) ∫ − b b 1 2 cos ( π x / b ) e − i κ x d x = b 2 [ sinc ( κ b / π − 1 ) + sinc ( κ b / π + 1 ) ] \int_{-b}^{b}\tfrac12\cos(\pi x/b)\,e^{-i\kappa x}dx = \tfrac{b}{2}[\operatorname{sinc}(\kappa b/\pi - 1) + \operatorname{sinc}(\kappa b/\pi + 1)] | r | = 1 2 d | 2 i k | | W ( 2 k ) | = d k | W ( 2 k ) | |r| = \tfrac12 d\,|2ik|\,|W(2k)| = d\,k\,|W(2k)| ▫ \square
Folgerung. Für lange Wellen
(k b ≪ 1 kb \ll 1 W ( 2 k ) → b W(2k)\to b | r | ≈ d k b ∝ f |r| \approx d\,k\,b \propto f k b ≈ 1 , 2 kb \approx 1{,}2 f ≈ 110 H z f \approx 110\,\mathrm{Hz} b = 0 , 6 m b = 0{,}6\,\mathrm{m} | r | max ≈ 0 , 8 d |r|_{\max} \approx 0{,}8\,d 𝜚 / ( 2 + 𝜚 ) \varrho/(2+\varrho)
Prüfung gegen die Simulation (Bild 6). Mit einer
breitbandigen Quelle
(τ = 0 , 3 \tau = 0{,}3 d = 0 , 1 d = 0{,}1 ± 30 % \pm 30\,\% d = 0 , 3 d = 0{,}3 ( ln Z ) ′ = d w ′ / ( 1 − d w ) (\ln Z)' = d\,w'/(1 - d\,w) 1 / ( 1 − 0 , 3 ) = 1 , 43 1/(1-0{,}3) = 1{,}43 d w ′ d\,w'
Reflexionsfaktor des Belags über der
Frequenz: Born-Näherung (Satz 4) und aus der Simulation gewonnenes
Verhältnis der Spektren,
d = 0 , 3 d = 0{,}3 b = 0 , 6 b = 0{,}6
5.4 Folgen für die
Erkennbarkeit
Bild 7 misst die relative Echoänderung im Zeitbereich: Für 30 % Belag
beträgt sie 47 % bei
τ = 0 , 7 \tau = 0{,}7 d d
Relative Echoänderung. Links durch den
Belag, nahezu linear in
d d
6. Rauschen,
Rauschboden und Nachweisgrenze
6.1 Satz 5: Der
Rauschboden des relativen Fehlers
Die Messung sei
y o b s = y + n y_\mathrm{obs} = y + n n i ∼ 𝒩 ( 0 , σ 2 ) n_i \sim \mathcal N(0,\sigma^2) σ = 0 , 1 P a ⋅ \sigma = 0{,}1\,\mathrm{Pa}\cdot m m N g N_g 𝔼 [ S S E ] = ∑ ( y i − m i ) 2 + N g σ 2 . \mathbb E[\mathrm{SSE}] = \sum (y_i - m_i)^2 + N_g\,\sigma^2. m = y m = y ε B o d e n = σ N g ∑ y i 2 = σ R M S ( y ) . \varepsilon_\mathrm{Boden} = \frac{\sigma\sqrt{N_g}}{\sqrt{\sum y_i^2}} = \frac{\sigma}{\mathrm{RMS}(y)}. R M S ( y ) \mathrm{RMS}(y) τ = 0 , 7 \tau = 0{,}7 τ = 10 \tau = 10 rauschbereinigte Modellfehler
ε M o d e l l = max ( 0 , ε 2 − ε B o d e n 2 ) \varepsilon_\mathrm{Modell} = \sqrt{\max\left(0,\ \varepsilon^2 - \varepsilon_\mathrm{Boden}^2\right)} ∑ ( y − m ) 2 / ∑ y 2 \sqrt{\sum(y-m)^2/\sum y^2}
Schätzung aus der Messung allein.
σ \sigma t < 3 t < 3 R M S ( y ) \mathrm{RMS}(y)
6.2 Mittelung mehrerer Impulse
Die Anlage ändert sich innerhalb einer Messung nicht. Wiederholt man
den Impuls
N N σ / N \sigma/\sqrt N ε B o d e n ( 1 ) / N \varepsilon_\mathrm{Boden}(1)/\sqrt N
Links: Rauschboden des relativen Fehlers
über dem Messrauschen für drei Quellen-Trägheiten; das Ziel 2,5 % ist
nur bei sehr kleinem Rauschen als Gesamtfehler erreichbar. Rechts:
Mittelung über
N N 1 / N 1/\sqrt N
6.3 Die Nachweisgrenze
Nach 5.4 ist die Echoänderung durch den Belag näherungsweise
e ( d ) = e 1 ( τ ) d e(d) = e_1(\tau)\,d d min ( τ , σ , N ) = 1 , 5 ε B o d e n ( τ , σ ) e 1 ( τ ) N , N n ö t i g ( d ) = ⌈ ( 1 , 5 ε B o d e n e 1 d ) 2 ⌉ . d_{\min}(\tau,\sigma,N) = \frac{1{,}5\;\varepsilon_\mathrm{Boden}(\tau,\sigma)}{e_1(\tau)\,\sqrt N}, \qquad N_\mathrm{nötig}(d) = \left\lceil\left(\frac{1{,}5\,\varepsilon_\mathrm{Boden}}{e_1\,d}\right)^2\right\rceil. e 1 e_1 τ = 0 , 7 \tau = 0{,}7
Nachweisgrenze
d min d_{\min}
Was daraus auf der Seite folgt. Mit eingeschalteter
KI steht die Nachweisgrenze für die gewählten Einstellungen im KI-Block.
Liegt sie über dem größten eingelernten Belag, startet die KI nicht
(„Kein Start, um nicht sinnlos zu rechnen”) und nennt die nötige
Impulszahl, weniger Rauschen oder einen schärferen Impuls als Abhilfe.
Rauschen und Trägheit bleiben also erlaubt, nur nicht in Kombinationen,
in denen das Verfahren physikalisch nichts mehr finden kann.
7. Die überlagerte Ebene (KI)
7.1 Trennung der Ebenen und
Auslöser
Die Edge läuft in jedem Zyklus unverändert und erkennt die Klappe
selbst. Sie übergibt nach oben ein Ergebnispaket: Gesamtfehler,
Rauschboden, Modellfehler, Topologie, vier Parameter, Zahl der
Rechnungen. Die überlagerte Ebene greift ein, wenn der Modellfehler
ε M o d e l l \varepsilon_\mathrm{Modell}
das Dreifache des Ziels übersteigt, oder
in zwei aufeinanderfolgenden Zyklen über dem Ziel liegt, oder
über vier Zyklen streng steigt, um mindestens 30 % und über 40 % des
Ziels (ein wachsender Belag kündigt sich an, bevor das Ziel verfehlt
wird).
Als erreicht gilt das Ziel, wenn
ε M o d e l l ≤ \varepsilon_\mathrm{Modell} \le
7.2 Der Vorschlag: Netz mit
Verfeinerung
Merkmale. Das Echo ab 8 ms wird in 128 gleich breite
Zeitfenster gemittelt und durch die Amplitude der einlaufenden Welle
geteilt; die 128 Werte werden mit Mittelwert und Streuung der Lernfälle
standardisiert.
Netz. Ein Mehrschichtnetz
128 → 32 → 6 128 \to 32 \to 6 tanh \tanh 10 − 4 10^{-4}
Außerhalb des Lernbereichs. Der euklidische Abstand
der standardisierten Merkmale zum nächsten Lernfall wird mit dem
99-%-Quantil der Kalibrierfälle (mal 1,1) verglichen; liegt eine Messung
darüber, gilt sie als außerhalb des Lernbereichs. Das trifft ab etwa 5
ms Quellen-Trägheit zu.
Verfeinerung. Der Netzvorschlag
( d , x c ) (d, x_c) ( d , x c ) (d, x_c)
Vergleichsweg und Rückfall. Die klassische
Belagsuche ohne Startpunkt (acht Rasterkandidaten, dann dasselbe
Nelder-Mead bis 60 Rechnungen) ist wählbar und dient dem fairen
Vergleich. Sie übernimmt automatisch, wenn das Netz eine Messung als
außerhalb seines Lernbereichs meldet oder keinen Belag sieht, obwohl die
Edge das Ziel verfehlt und keine Korrektur trägt. Die Tabelle nennt den
Weg jedes Pakets.
7.3 Prüfung vor Übergabe
Die Edge rechnet einmal mit dem vorgeschlagenen Paket im Zwilling
(Phase „KI-Korrektur prüfen”). Ein kleines Paket (unter 10 %) wird bei
bestehender Korrektur zusätzlich gegen „kein Belag” gerechnet, damit ein
verschwundener Belag die alte Korrektur aufhebt. Übernommen wird das
bessere Paket, wenn sich
ε M o d e l l 2 \varepsilon_\mathrm{Modell}^2 Δ S S E / σ 2 \Delta\mathrm{SSE}/\sigma^2
7.4 Messplanung (Fall B des
Prüfkonzepts)
Wird ein Eingriff verworfen, während der Rauschboden mehr als 40 %
des Restfehlers ausmacht, ist der Befund unklar: Die KI verdoppelt die
Impulse je Messung für den nächsten Zyklus (bis 16) und kehrt bei klarem
Befund zur eingestellten Zahl zurück. Das ist der erste Punkt, an dem
die überlagerte Ebene mehr tut als der Optimierer: Sie entscheidet, wie
weitergemessen wird.
7.5 Was die KI nicht ist
Sie ersetzt keine physikalische Rechnung, entscheidet nie allein,
sieht nie den wahren Zustand der Anlage und behauptet kein
Erkennungsvermögen, das die Physik nicht hergibt. Das Prüfkonzept
(KI_NAECHSTE_STUFE_PRUEFKONZEPT.md) verlangt den fairen
Vergleich: gleiche Messung, gleiche Modellfamilie, gleiche Grenzen und
Zielfunktion, Lernaufwand getrennt ausgewiesen. Ergebnis (Abschnitt
8.3): Klappe und Belag identifiziert die Physik; der Vorteil des Netzes
ist ein gelernter Startpunkt und die Messplanung.
8. Ergebnisse und Nachweise
Alle Zahlen stammen aus den Prüfskripten, die mit der ausgelieferten
Datei ausgeführt werden: validate_physics.js (Kern),
test_belag.js (Belagmodul, Physik-Plausibilität, Rauschen,
Szenarien), check_browser.js und
check_stage3_browser.js (Bedienung im Browser). Alle vier
sind auf der Endfassung bestanden.
8.1 Der Rechenkern und das
Belagmodul
Verlustloses gerades Rohr gegen analytische Reflexion
Abweichung des Auslassvolumenstroms
1 , 4 ⋅ 10 − 20 m 3 / s 1{,}4\cdot 10^{-20}\,\mathrm{m^3/s}
Verlustloses Seitenrohr gegen analytische erste Antwort
Abweichung
5 , 4 ⋅ 10 − 20 m 3 / s 5{,}4\cdot 10^{-20}\,\mathrm{m^3/s}
Standardfall (Seitenrohr bei 3 m,
𝜚 = 0 , 55 \varrho = 0{,}55
x s = 3 , 001 x_s = 3{,}001 𝜚 = 0 , 550 \varrho = 0{,}550 c = 343 , 2 c = 343{,}2 ε = 1 , 17 \varepsilon = 1{,}17
Andere Positionen (1 m, 4 m), Querschnitt 25 %, langsame Quelle,
grobes Gitter
Topologie in allen Fällen richtig, Position auf 1 mm
Geschlossenes Rohr mit und ohne Rauschen
„Gerade”, kein Seitenrohr behauptet
Belag 0 im Belagmodul
Netzwerk bitgenau gleich Version 2.1; Referenz relativ
2 , 1 ⋅ 10 − 15 2{,}1\cdot 10^{-15}
Edge-Abgleich ohne Korrektur
bitgenau gleich PipeLab.fit: gleiche 220 Kandidaten,
gleiche Fehlerquadrate
Belag 30 %, Referenz gegen Zwilling mit bekannten Parametern
6,3 % (60 Zellen), 1,6 % (120), 0,76 % (240): Gitterkonvergenz
Belag-Echo
positiv; Maximum zwischen Vorderkante und Zentrum; Verschiebung
6,997 gegen 7,000 ms
Echoänderung über Belaggröße
streng monoton: 14 / 30 / 47 / 66 / 87 % für 10 bis 50 %
Belag mit geschlossener Klappe (18 Fälle,
τ \tau
nie als Seitenrohr ausgegeben
Rauschbodenschätzung aus der Messung
innerhalb 5 % des exakten Bodens (0,1 bis 1 % Rauschen)
Mittelung
Boden fällt mit
1 / N 1/\sqrt N
Nachweisgrenze
monoton in Rauschen, Trägheit und Impulszahl; Impulsempfehlung
konsistent
Blindheit
alle Schätzer liefern mit angehängten falschen Wahrheitsangaben
identische Ergebnisse
8.2 Das Netz
Einlernen in der Seite: 1500 Lernfälle, 300 Kalibrierfälle, 120
Epochen, 6 s. Kalibrierung: Klappe 100 % richtig, Belag-RMS 2,9
Prozentpunkte. Auf 60 ungesehenen zufälligen Anlagen
(Konfigurationsschlüssel gegen die Lernmenge geprüft): Klappe 60 von 60,
Belag-RMS 3,1 Prozentpunkte, keine Rückweisung. Angehängte
Wahrheitsangaben ändern die Vorhersage nicht.
8.3 Der
faire Vergleich: 18 Zyklen, Belag kommt und geht
Szenario wie auf der Seite erzeugt: Belag 0 bis 40 % in zwölf Zyklen,
dann zurück auf 0 in sechs; Klappe zufällig offen (Positionen 1,5 bis
4,5 m, Querschnitte 30 bis 85 %); Ziel 2,5 %; kein Rauschen. Drei
Betriebsarten auf denselben Beobachtungen (Bild 11):
Aus (nur Edge)
18 / 18
3 / 18
–
–
213
20,9 %
Netz + Verfeinerung + Prüfung
18 / 18
12 / 18
12 / 12
1 (Zyklus 17)
370
2,7 %
Klassische Belagsuche + Prüfung
18 / 18
13 / 18
12 / 12
1
399
2,3 %
Szenario mit wachsendem und wieder
verschwindendem Belag: Vorgabe und übernommene Korrekturen (oben),
Restfehler nach dem Zyklus für die drei Betriebsarten (unten,
logarithmisch).
Lesart: Die Klappe erkennt in allen Fällen die unveränderte Edge.
Beide KI-Wege halten den Restfehler bei kommendem und gehendem Belag
niedrig und heben die Korrektur wieder auf, wenn der Belag verschwunden
ist (Zyklus 17: das Netz meldete noch 3,9 %, die Gegenprüfung ohne Belag
war besser). Der Vorteil des Netzes gegenüber der klassischen Suche ist
klein, rund 30 Rechnungen je Zyklus, bei geringfügig schlechterem
Restfehler; der Aufwand wird von der Prüfrechnung der Edge (220
Rechnungen je Paket) bestimmt, nicht von der Vorschlagsfindung. Das ist
Fall A des Prüfkonzepts mit ehrlich kleinem Ergebnis.
8.4 Dauerbetrieb im Browser
Die Browserprüfung startet aus 30 % Belag und lässt die Anlage zwölf
Zyklen laufen (Bild 12): Der Belag fällt in zufälligen Schritten auf 0
und beginnt neu; die Klappe schaltet. Klappe in 12 von 12 Zyklen
richtig; 5 Eingriffe, 5 übernommene Pakete, die der Vorgabe auf 1 bis 3
Prozentpunkte folgen; Restfehler vor Eingriff im Mittel 9,8 %, nach dem
Zyklus 3,6 %; 326 Rechnungen je Zyklus. Export, Tabelle (die letzten
drei Zyklen) und Diagramme stimmen bytegenau überein.
Dauerbetrieb der Browserprüfung: Belag
der Referenzanlage, übernommene Korrekturen, Klappenzustand und
KI-Eingriffe (oben); Restfehler vor Eingriff und nach dem Zyklus
(unten).
8.5 Der
schwierige Fall: träge Quelle und starkes Rauschen
Quellen-Trägheit 10 ms, Rauschen 1 %, Belag 40 %, Klappe geschlossen.
Rauschboden mit einem Impuls 29,7 %, Modellfehler der Edge darüber 26,6
%. Das Netz meldet die Messung als außerhalb seines Lernbereichs; die
klassische Belagsuche übernimmt und findet 38,6 % Belag; nach der
Prüfung ist der Modellfehler null. Mit den drei Impulsen, die die
Nachweisgrenze empfiehlt, sinkt der Boden auf 17 %, gefunden werden 38,5
%, Modellfehler danach 3,1 %. Die Klappe bleibt in beiden Fällen richtig
geschlossen. Dieser Fall ist eine feste Prüfung.
9. Fazit
Die Physik trägt. Zwei unabhängige
Diskretisierungen derselben Gleichungen liefern bei gleichen Parametern
dasselbe Echo (Sätze 1 bis 3, Gitterkonvergenz 8.1). Der Abgleich
identifiziert Schallgeschwindigkeit, Abschluss, Seitenrohrposition auf
Millimeter und Querschnitt auf ein Prozent aus dem Echo allein,
deterministisch und sichtbar.Der Belag ist ein Flankenecho mit positivem
Vorzeichen (5.2), dessen Reflexionsfaktor mit der Frequenz von
null ansteigt (Satz 4). Deshalb bleibt das Seitenrohr bei jeder
Impulsform erkennbar, der Belag nur bei ausreichend scharfem Impuls oder
ausreichend vielen gemittelten Impulsen. Die Nachweisgrenze (6.3) macht
diese Grenze zu einer Zahl, die die Seite vor jedem Start prüft.Der angezeigte Fehler enthält das Rauschen (Satz
5). Die Seite trennt Rauschboden und Modellfehler; die KI entscheidet am
Modellfehler.Die überlagerte Ebene erweitert die Modellfamilie um den
Belag, ohne die Edge zu ändern. Sie greift nur bei Bedarf ein,
jeder Vorschlag wird physikalisch geprüft, Korrekturen kommen und gehen
mit dem Belag. Das Netz ist ein gelernter Startpunkt mit kleinem,
ehrlich berichtetem Vorteil; die klassische Suche ist Vergleich und
Rückfall; die Messplanung ist der Anfang von Fall B.Grenzen. Ein einzelner Belag fester Länge; weißes
Rauschen; keine mittlere Strömung; Referenz und Zwilling teilen dieselbe
vereinfachte Akustik; das Netz kennt Quellen-Trägheiten von 0,3 bis 3
ms; die Nachweisgrenze ist eine Vorhersage für das gerade Rohr. Der
Nachweis gilt für das Verfahren, nicht für die reale Anlage.
10. Ausblick
An der realen Anlage ersetzt die Messung von Sendeimpuls und Echo die
Referenzrechnung. Vier Dinge sind dann zu bestimmen, weil sie heute in
beiden Lösern gleich angenommen sind: die Quellenübertragungsfunktion
(der Lautsprecher formt den Impuls anders als die Modellquelle),
Schallgeschwindigkeit und Dämpfung (Temperatur, Wandreibung), die
tatsächliche Belagform, und das Netz muss mit Lernfällen aus dem
angepassten Zwilling neu eingelernt werden. Innerhalb der Simulation
stehen an: die Wahl der Impulsform durch die KI (Fall B vollständig),
ein Netz über den vollen Trägheitsbereich, und ein Szenario mit
Messrauschen im Dauerbetrieb.
Lernt das Netz im Betrieb dazu? Nein, bewusst nicht.
Das Netz wird vor dem Betrieb aus Referenzfällen mit bekannten
Erzeugungsparametern eingelernt; im Betrieb werden übernommene Pakete im
Zwilling gespeichert, das Netz bleibt unverändert. Ein Netz, das seine
eigenen bestätigten Vorschläge als Wahrheit nachlernte, würde sich
selbst bestätigen: Ein passender Abgleich beweist nur, dass die
Modellfamilie das Echo erklären kann, nicht, dass der Belag wirklich so
ist. Nachlernen im Betrieb setzt eine unabhängige Bestätigung voraus, an
der realen Anlage etwa eine Inspektion oder eine zweite Messgröße; das
ist eine Aufgabe der Prüfstandsphase.
Anhang A. Symbole
ρ \rho Dichte der Luft
1,2 kg/m³
c c Schallgeschwindigkeit
343 m/s (Referenz), im Zwilling gesucht
A 0 A_0 Querschnitt des Hauptrohrs
π ⋅ 0 , 1 2 / 4 \pi\cdot 0{,}1^2/4
Z = ρ c / A Z = \rho c/A Wellenimpedanz
Pa·s/m³
β \beta Verlustkonstante der Wandreibung
6 s⁻¹
γ \gamma Reflexionsfaktor der Last
0,5 (Referenz)
x s x_s 𝜚 \varrho Position und Querschnittsverhältnis des Seitenrohrs
m, –
d d x c x_c b b Belaggröße, Belagzentrum, Halbbreite
–, m, 0,6 m
w ( x ) w(x) Belagprofil (Raised Cosine)
–
τ \tau Quellen-Trägheit
0,2 bis 20 ms
E E y y p p Quellenspannung, Echo, Portdruck
Pa
a a b b hin- und rücklaufende Wellengröße
Pa
ε \varepsilon relativer Echo-RMS-Fehler
–
ε B o d e n \varepsilon_\mathrm{Boden} ε M o d e l l \varepsilon_\mathrm{Modell} Rauschboden, rauschbereinigter Modellfehler
–
σ \sigma Standardabweichung des Messrauschens
0,1 Pa · Rauschregler
N N Impulse je Messung
1 bis 16
d min d_{\min} Nachweisgrenze
–
Anhang B. Reproduktion
Alle Rechnungen dieses Manuskripts lassen sich aus dem Projektordner
wiederholen:
python3 Arbeitsstand/build_lab.py # erzeugt die HTML aus den Quellen
node Arbeitsstand/validate_physics.js # Rechenkern
node Arbeitsstand/test_belag.js # Belagmodul, Physik, Rauschen, Szenario
node Arbeitsstand/check_browser.js # Bedienung Version 2.1 (Playwright)
node Arbeitsstand/check_stage3_browser.js # KI-Ablauf, Dauerbetrieb (Playwright)
node Manuskript/bilder_daten.js # Zahlen für die Bilder
python3 Manuskript/bilder.py # die BilderDie Berichte liegen unter Arbeitsstand/pruefung/, die
Prüfsummen der ausgelieferten Dateien in
Ergebnisse_2026-09-08/SHA256SUMS.txt. Der Rechenkern
pipe_engine.js (SHA256 049ce331…) ist seit
Version 2.1 unverändert und im Test verankert.