Kennlinienschreiber für Transistoren mit ESP32 und BJT-Modell

1 Worum es geht

Ein Transistor wird in der Vorlesung zuerst als Kennfeld gezeigt und danach als Vierpol gerechnet. Zwischen beidem klafft eine Lücke: das Kennfeld steht im Datenblatt, die Vierpolparameter stehen in der Formelsammlung, und wie das eine aus dem anderen folgt, bleibt meist eine Behauptung. Dieses Manuskript schließt die Lücke an einem einzigen Bauteil und auf einem Weg, der sich von Hand nachrechnen lässt:

1. Ein selbstgebauter Messplatz nimmt das Kennfeld auf. Er besteht aus einem Mikrorechner, einem 16-Bit-Analog-Digital-Umsetzer, einem 16-Bit-Digital-Analog-Umsetzer, zwei Treiberverstärkern und drei gesteckten Widerständen. Geregelt wird in Kaskade: der äußere Kreis stellt den Basisstrom, der innere die Kollektor-Emitter-Spannung.
2. Aus dem gemessenen Kennfeld werden die Parameter eines Transistormodells bestimmt — erst merkmalsweise mit Bleistift und Papier, dann als Gesamtausgleich über alle Kurven, und zuletzt wird geprüft, welcher Parameter aus diesen Daten überhaupt bestimmbar ist.
3. Aus dem angepassten Modell werden die h-Parameter im Arbeitspunkt als Ableitungen gewonnen, daraus die Kettenmatrix (A-Parameter), und damit wird eine vollständige Emitterschaltung durchgerechnet.

Der Weg ist bewusst so gelegt, dass an keiner Stelle ein Baustein als Orakel auftritt. Jede Zahl in diesem Manuskript ist entweder gemessen oder aus gemessenen Zahlen gerechnet; die Rechenprogramme liegen bei und sind gelaufen.

2 Der Messplatz

2.1 Übersichtsplan

Der Aufbau folgt einer einfachen Idee: zwei Spannungsquellen speisen den Prüfling über je einen Messwiderstand, und vier Spannungen werden gemessen. Ströme werden nicht mit Stromwandlern erfasst, sondern als Spannungsabfall über bekannten Widerständen gerechnet. Damit kommt der ganze Messplatz mit einem einzigen vierkanaligen Spannungsmesser aus.

Die Bezeichnungen des Plans werden im ganzen Manuskript und in der Firmware verwendet:

Alle Ströme und Spannungen sind positiv. Der Messplatz arbeitet im ersten Quadranten des npn-Transistors; für pnp-Prüflinge ist auf der Leiterplatte eine zweite Klemmenreihe vorgesehen.

2.2 Der Ausgabeweg: Umsetzer und Treiber

Der Digital-Analog-Umsetzer ist ein DAC8565 mit vier Kanälen zu je 16 Bit, angesteuert über SPI. Zwei Kanäle sind belegt: Kanal A liefert die Steuerspannung des Kollektorzweigs (U_C), Kanal B die des Basiszweigs (U_B). Der Ausgangsbereich ist 0 … 2,5 V.

Weil ein Transistor mehr Spannung und deutlich mehr Strom braucht, als ein Umsetzer liefern kann, folgt je Kanal ein nichtinvertierender Verstärker (Doppel-Leistungs-Operations\-verstärker TCA0372). Seine Verstärkung folgt aus dem Rückführteiler:

Im Kollektorzweig liegt zusätzlich ein Längstransistor (2SC3519) innerhalb der Gegenkopplung; er erhöht nur den lieferbaren Strom, nicht die Verstärkung, weil die Rückführung hinter ihm abgegriffen wird (R₁₂/R₃, gleiche Werte).

Damit gilt für beide Speisepunkte dieselbe Umrechnung von Registerwert zu Klemmenspannung. Mit U_ref,DA = 2,5 V und 2¹⁶ Stufen:

Der größte Registerwert ist 65535; daraus folgt

Das deckt sich mit der Angabe „0 … 12 V" im handgezeichneten Übersichtsplan.

2.3 Der Messweg: Folger, Teiler, Umsetzer

Jede der vier Knotenspannungen wird zuerst von einem Spannungsfolger abgegriffen (LTA8092, unbelastender Eingang), dann durch einen Teiler auf den Eingangsbereich des Analog-Digital-Umsetzers gebracht und von einer Z-Diode gegen Überspannung geschützt.

Der Teiler ist

Die Reihenfolge ist wichtig: erst der Folger, dann der Teiler. Stünde der Teiler vorn, belastete er den Messknoten mit 65 kΩ — im Basiszweig, wo Ströme von wenigen Mikroampere gemessen werden, wäre das ein grober Fehler.

Der Umsetzer AD7682 hat vier Kanäle zu 16 Bit. Seine Referenz folgt aus dem Konfigurationswort der Firmware (ad_da.cpp):

#define AD_MODE (0x2000 | 0x1C00 | 0x0008 | 0x0001) << 2

Darin bedeutet 0x2000 „Konfiguration übernehmen", 0x1C00 den unipolaren Eingang gegen Masse, 0x0008 die interne Referenz von 4,096 V, 0x0001 „Konfiguration nicht zurücklesen"; das nicht gesetzte Bit 6 wählt die kleine Bandbreite (stärkere Glättung), die nicht gesetzten Bits 2 und 1 schalten den Kanalfolger ab. Der Schiebevorgang um zwei Stellen setzt das 14-Bit-Wort in den 16-Bit-Rahmen.

Damit ist die Umrechnung von Registerwert zu Klemmenspannung

und die größte messbare Klemmenspannung ist 65535 · 184,659 µV = 12,1016 V. Sie liegt bewusst etwas unter dem, was der Treiber liefern kann: der Messweg soll nicht vor dem Stellweg an seine Grenze kommen.

2.4 Die Mittelwertbildung

Jeder Kanal wird bei jedem Durchlauf der Hauptschleife einmal gewandelt und in einen Ringspeicher der Länge N = 10 geschrieben; der Mittelwert daraus steht in einem eigenen Register. Die Firmware rechnet ganzzahlig:

Die Abschneidung kostet höchstens einen Zählschritt, also 185 µV an der Klemme — weniger als das Rauschen des Aufbaus. Der Gewinn ist der übliche: unkorreliertes Rauschen wird um √(N) = 3,16 kleiner.

2.5 Die gesteckten Widerstände

Drei Widerstände sind gesteckt und bestimmen die Messbereiche:

• R_C im Kollektorzweig — legt den Strommessbereich und den Spannungsabfall fest,
• R_B im Basiszweig — dasselbe für den Basisstrom,
• R_{B_GND} von der Basis nach Masse — ein Ableitwiderstand, der den Basisknoten auch bei gesperrtem Transistor definiert hält.

Die verwendeten Werte sind in den Unterlagen nicht vermerkt. Sie lassen sich aber aus den Anzeigewerten der Bedienblätter zurückrechnen, weil dort die Spannungen und die daraus gebildeten Ströme nebeneinander stehen. Aus dem Blatt des ersten Quadranten:

Das Blatt des dritten Quadranten ist dabei das aussagekräftigste, weil es mit dem Zwanzigfachen des Basisstroms arbeitet und die Rundung der Anzeige dort entsprechend weniger wiegt:

Über alle vier vorliegenden Blätter gemittelt ergibt sich R_B = 7485 Ω und R_{B_GND} = 1005 Ω; die Anzeige hat nur drei Nachkommastellen, die Streuung von etwa 0,4 % ist genau die Rundung — und dass das Blatt mit dem zwanzigfachen Strom denselben Wert liefert, ist die Bestätigung. Die nächsten Werte der Reihe E24 sind R_B = 7,5 kΩ und R_{B_GND} = 1 kΩ — beides sind übliche Werte, und mehr als „der Bestückung nach plausibel" ist damit nicht behauptet. R_C lässt sich so nicht zurückrechnen, weil auf allen vorliegenden Blättern U_RC1 = U_RC2 und damit I_C = 0 angezeigt wird; R_C bleibt deshalb eine Eingabe.

2.6 Der Registerplan

Der Mikrorechner ist nach außen ein gewöhnlicher Modbus-RTU-Teilnehmer mit der Adresse 1 an der seriellen Schnittstelle (115200 Bit/s, 8N1). Er hält 13 Register:

Dass die Messregister nicht beschreibbar sind, steht nicht im Handbuch, sondern in einer einzigen Zeile der Firmware:

void setReg(uint16_t aReg, uint16_t aWert){
  if ((aReg<REG_AD0) && (reg[aReg]!=aWert)){
    reg[aReg]=aWert;
  }
}

Ein Schreibbefehl auf Register 4 und höher wird quittiert, aber nicht ausgeführt. Das ist kein Mangel, sondern die einzige Stelle, an der ein fehlerhaft eingerichteter Leitstand sich selbst Messwerte vorschreiben könnte.

Unterstützt werden die Funktionscodes 1, 2 (Bitleser, liefern Null), 3 und 4 (Register lesen), 5, 6, 15, 16 (schreiben) sowie 8 (Diagnose-Echo). Das Telegrammende erkennt die Firmware nicht an der Sendepause, sondern an der Sollänge, die aus dem Funktionscode folgt; ist die Prüfsumme falsch, wird ein Byte verworfen und erneut aufgesetzt.

3 Die Kaskadenregelung

3.1 Warum überhaupt geregelt wird

Eine Kennlinie ist eine Aussage über einen eingestellten Zustand: „bei I_B = 24 µA und U_CE = 5 V fließt I_C = …". Beide Größen lassen sich aber nicht direkt stellen. Gestellt werden zwei Spannungen an den Speisepunkten; was daraus wird, hängt vom Prüfling ab. Zwei Beispiele:

• Erhöht man U_RB1, so steigt I_B — aber nicht proportional, denn der Basis-Emitter-Übergang ist eine Diode, und ein Teil des Stroms fließt durch R_{B_GND} ab.
• Erhöht man U_RC1, so steigt U_CE — aber der gleichzeitig steigende Kollektorstrom vergrößert den Abfall über R_C und nimmt einen Teil davon wieder weg.

Die beiden Wirkungen sind außerdem verkoppelt: I_C hängt von U_BE ab, und I_B hängt (schwach) von U_CE ab. Deshalb wird in Kaskade geregelt.

3.2 Die beiden Kreise

Äußerer Kreis — Basisstrom. Der Basisstrom wird nicht gemessen, sondern aus zwei Spannungen gerechnet. Am Knoten R_B2 (der Basis) gilt die Knotengleichung: was durch R_B zufließt, teilt sich auf in den Ableitstrom durch R_{B_GND} und den Basisstrom.

Stellglied ist der Digital-Analog-Kanal B (in der Bedienoberfläche „DA2").

Innerer Kreis — Kollektor-Emitter-Spannung. Hier ist die Messung unmittelbar, weil der Emitter an Masse liegt:

Stellglied ist der Digital-Analog-Kanal A („DA1").

Die Messgröße. Erst wenn beide Kreise eingeschwungen sind, wird der Kollektorstrom aus dem Abfall über R_C gerechnet:

Dass der innere Kreis der schnellere sein muss, ist die Grundregel jeder Kaskade: der äußere Kreis darf erst dann nachstellen, wenn der innere seine Störung schon ausgeregelt hat. Verletzt man sie, schaukeln sich beide gegeneinander auf.

Wie schnell der innere Kreis sein darf, ist ebenfalls nachrechenbar, und die Antwort steckt in der Mittelwertbildung. Der Regler ist ein Integrierer — er addiert bei jedem Durchlauf ein Stück auf den Stellwert —, und er sieht nicht den Istwert, sondern dessen Mittelwert über N = 10 Abtastungen. Ein gleitender Mittelwert wirkt wie eine Totzeit von (N-1)/2 = 4,5 Durchläufen. Für die Stabilität rechnet man beides zusammen: der Integrierer hat bei der Kreisfrequenz omega (im Takt der Durchläufe) den Betrag K/(2sin(omega/2)), der Mittelwert den Betrag sin(Nomega/2)/(Nsin(omega/2)). Die Phase erreicht -180^circ bei 90^circ + 4,5 omega = 180^circ, also omega = 0,349. Dort ist der Kreisverstärkungsbetrag 1,66 K, und Stabilität verlangt

Die Browser-Seite arbeitet mit K = 0,35 für den inneren und K = 0,12 für den äußeren Kreis — knapp ein Drittel davon, wie es die Kaskadenbedingung verlangt. Mit K = 0,75 schwingt der Kreis auf; das ist nachgestellt und war der erste Befund der Browser-Prüfung.

3.3 Was die Auflösung begrenzt

Die kleinste Änderung, die der Messplatz überhaupt darstellen kann, folgt aus den beiden Umrechnungen aus Abschnitt 2. Beim Basisstrom gehen zwei gemessene Spannungen ein, und U_RB2 geht sogar zweimal ein — einmal in der Differenz über R_B und einmal im Ableitstrom. Man leitet Gleichung (I) partiell ab:

Beide Spannungen sind auf k_AD genau bekannt, und ihre Rundungsfehler sind voneinander unabhängig; also ist

Mit R_B = 7,5 kΩ und R_{B_GND} = 1 kΩ:

Bei einem Basisstrom von 20 µA sind das 1,36 %. Ohne den Ableitwiderstand — also nur die Differenzmessung über R_B — wären es √2 k_AD/R_B = 34,8 nA, also 0,17 %: der Ableitwiderstand kostet den Faktor 7,8 an Auflösung. Er ist trotzdem richtig, denn ohne ihn ist der Basisknoten bei gesperrtem Transistor undefiniert; aber er gehört so groß gewählt, wie es die Stabilität gerade noch erlaubt. Die Browser-Seite rechnet diese Zahl zu jeder Schiebereinstellung mit und zeigt beide Anteile getrennt.

Beim Stellweg ist die Rechnung einfacher: ein Schritt am Digital-Analog-Umsetzer ändert U_RB1 um 188 µV, also den Basisstrom um 188 µV/7500 Ω = 25 nA. Der Stellweg ist damit elfmal feiner als der Messweg. Das ist die richtige Reihenfolge — umgekehrt könnte der Regler den Sollwert grundsätzlich nicht treffen —, hat aber eine Folge, die man kennen muss: der Regler kann den letzten Rest nicht mehr wegregeln, sondern pendelt innerhalb eines Zählschritts der Messung. Eine Regelabweichung unterhalb von Δ I_B ist keine Leistung, sondern Zufall. Die Prüfung der Browser-Seite setzt die Schranke deshalb in Zählschritten und nicht in Prozent.

Beim Stellbereich gibt es eine zweite Grenze, die bei der Aufnahme sichtbar wird. Der Speisepunkt muss

leisten — 12,10 V, nicht 12,32 V, weil der Messweg früher an seinen Anschlag kommt als der Treiber (Abschnitt 2.3). Bei R_C = 470 Ω und I_B = 40 µA ist I_C ≈ 10,8 mA, also I_C R_C = 5,1 V, und über U_CE = 7 V hinaus ist nichts mehr zu holen. Genau das zeigen die Bedienblätter als „Abweichungen aufgrund fehlender Regelreserve": die Kennlinie bricht nicht ab, sie bleibt stehen. Abhilfe ist ein kleineres R_C — zum Preis der Stromauflösung.

3.4 Ablauf einer Kennlinienaufnahme

Die Ablaufsteuerung des ersten Quadranten arbeitet in vier Schritten:

1. Ein Basisstrom wird vorgegeben (beispielsweise in Stufen von 0,2 mA von 0,2 mA bis 1 mA) und vom äußeren Kreis eingeregelt.
2. Die Kollektor-Emitter-Spannung wird vom inneren Kreis in Schritten von beispielsweise 0,1 V hochgefahren. Bei geringen Änderungen darf die Schrittweite wachsen.
3. Nach dem Einschwingen beider Kreise — Sollwert und Istwert werden verglichen — wird der Kollektorstrom aus (U_RC1-U_RC2)/R_C gerechnet und der Punkt (U_CE, I_C) abgelegt.
4. Abgebrochen wird, wenn alle vorgegebenen Basisstromkurven durchfahren sind und beim größten Basisstrom der letzte Wert von U_CE erreicht ist.

Die anderen Quadranten entstehen aus denselben vier Schritten mit vertauschten Rollen von Sollgröße und Laufgröße.

4 Was der Messplatz liefert: vier Quadranten

Am Prüfling (npn-Leistungstransistor Tesla KU611 im Metallgehäuse) ergeben sich die vier Kennfelder. Sie sind hier so gezeigt, wie das Gerät sie ausgibt.

Für die Auswertung wurde ein zweiter Datensatz verwendet, der als Textdatei vorliegt und einen Kleinsignaltransistor BC337-25 beschreibt: fünf Dateien mit den Feldern Ic/Vbe, Ic/Vce, Ic/Ib, hFE/Vce und hFE/Ic, jeweils mit fünf Kurven und den Spaltenköpfen Trace:, Tag:, Colour:. Der Grund für den Wechsel ist der Messbereich: der Leistungstransistor arbeitet bei Basisströmen um 1 mA, der Kleinsignaltransistor bei 8 … 40 µA, und für den Vergleich mit einem Kleinsignalmodell ist der zweite Bereich der lehrreichere. Über die Herkunft der Dateien ist im Arbeitsbereich nichts weiter hinterlegt als die Dateien selbst.

5 Vom Kennfeld zum Modell

5.1 Die Modellgleichungen

Verwendet wird ein reduziertes Gummel-Poon-Modell mit vier Gleichungen. Es ist bewusst klein gehalten: jede Gleichung beschreibt genau einen im Kennfeld sichtbaren Effekt, und es kommt kein Parameter vor, der sich nicht an einer Stelle des Kennfelds ablesen ließe. Mit der Temperaturspannung V_T = 25,852 mV (T = 300 K):

(1) Der Kollektorstrom (Shockley mit Early-Faktor)

Der erste Faktor ist die Diodengleichung des Basis-Emitter-Übergangs, der zweite die Basisweitenmodulation: die Ausgangskennlinie steigt im aktiven Bereich linear an und schneidet die verlängerte Achse bei -V_A.

(2) Die stromabhängige Stromverstärkung

Das ist die Hochstrominjektion: bei großen Strömen fällt die Stromverstärkung ab.

(3) Der Basisstrom mit Bahnwiderstand

R_BB ist der Bahnwiderstand der Basiszuleitung: bei großem Basisstrom liegt nicht die volle Klemmenspannung am Übergang. Die Gleichung ist implizit — I_B steht auf beiden Seiten — und wird durch Einsetzen gelöst (Abschnitt 5.6).

(4) Die Umkehrung (U_BE aus vorgegebenem I_C):

Das ist Gleichung (1) nach U_BE aufgelöst und wird überall dort gebraucht, wo ein Arbeitspunkt über den Kollektorstrom vorgegeben ist.

Sieben Parameter treten auf: n, I_S, β_F, V_A, I_KF, R_BB, V_AB.

5.2 Erster Weg: merkmalsweise Ablesung

Der erste Weg braucht keinen Rechner, nur Logarithmenpapier und ein Lineal. Er bestimmt vier der sieben Parameter unmittelbar aus je einem Merkmal des Kennfelds.

n und I_S aus der Gummel-Kurve. Logarithmiert man Gleichung (1),

so ist ln I_C über U_BE eine Gerade. Aus ihrer Steigung m folgt

aus dem Achsenabschnitt I_S. An den vier brauchbaren Kurven des Datensatzes ergaben sich n = 0,993; 0,999; 0,989; 1,036, also n = 1,004 im Mittel, und I_S zwischen 3,3·10^-14 A und 9,6·10^-14 A, im Mittel 5,26·10^-14 A.

V_A aus der Ausgangskennlinie. Die Gerade im aktiven Bereich verlängert man nach links; ihr Schnittpunkt mit der U_CE-Achse liegt bei -V_A. Aus den fünf Basisstromkurven: 107,3 V; 123,8 V; 137,1 V; 158,1 V; 203,9 V — Mittel 146,0 V. Die große Streuung ist keine Schlamperei, sondern die Aussage selbst: der Early-Effekt ist bei diesem Bauteil schwach, und aus einer fast waagerechten Geraden lässt sich ein weit entfernter Schnittpunkt nur ungenau bestimmen. Abschnitt 5.5 bestätigt das.

β_F aus der Stromsteuerkennlinie. Die Steigung von I_C über I_B ergab je nach U_CE 263; 270; 276; 279 — Mittel 272. Der größte gemessene Wert von h_FE über alle Daten ist 275. Beide Wege stimmen auf 1 % überein.

I_KF, R_BB, V_AB lassen sich so nicht bestimmen: im gemessenen Bereich bis 9,3 mA ist kein Hochstromabfall sichtbar, und die Daten sind bei konstantem Basisstrom aufgenommen, so dass der Bahnwiderstand sich nicht abhebt. Das Ergebnis der Ablesung ist an dieser Stelle also nicht eine Zahl, sondern die Schranke I_KF gg 9 mA.

5.3 Zweiter Weg: Gesamtausgleich über alle Kurven

Der zweite Weg minimiert den Gesamtfehler aller fünf Kennfelder gleichzeitig. Als Gütemaß dient der Mittelwert der datensatzweisen mittleren quadratischen Abweichung — jeder Datensatz zählt gleich viel, damit nicht der mit den meisten Punkten das Ergebnis allein bestimmt:

Bei der Gummel-Kurve ist r = ln I_C,Modell - ln I_C,Mess (weil dort der Strom über vier Zehnerpotenzen läuft), bei allen anderen Kennfeldern der relative Fehler r = (x_Modell - x_Mess)/x_Mess.

Minimiert wird mit dem Simplexverfahren nach Nelder und Mead: ein Vielflach aus acht Punkten im siebendimensionalen Parameterraum wird gespiegelt, gestreckt, gestaucht oder zusammengezogen, bis es sich um das Minimum zusammenzieht. Es braucht keine Ableitungen — richtig gewählt, weil zwei der Parameter (I_KF, R_BB) über Zehnerpotenzen laufen und deshalb logarithmisch geführt werden.

Ergebnis (Startwerte aus Abschnitt 5.2):

Der Fehler je Kennfeld sinkt dabei deutlich:

5.4 Dritter Weg: das erweiterte Modell

Nimmt man den Leckterm des Basisstroms hinzu (zwei weitere Parameter I_SE, N_E für die Rekombination in der Sperrschicht) und hält I_KF, R_BB, V_AB auf Datenblattwerten fest, so bleiben vier freie Parameter. Das Ergebnis: n = 1,004, I_S = 4,726·10^-14 A, β_F = 249,9, V_A = 103,3 V, I_SE = 3,534·10^-15 A, N_E = 1,350.

Der Vergleich mit dem Datenblatt des BC337-25 fällt so aus:

Die Abweichung bei β_F ist keine Überraschung: der Buchstabe „25" im Typnamen bezeichnet eine Auswahlgruppe mit einer Streubreite von etwa 160 bis 400. Das vermessene Bauteil liegt in der Gruppe, nicht in deren Mitte.

5.5 Was aus diesen Daten überhaupt bestimmbar ist

Ein angepasster Parameter ist nicht dasselbe wie ein bestimmter Parameter. Die Probe ist einfach: man ändert einen Parameter um 20 % und sieht nach, um welchen Faktor das Gütemaß Q dabei wächst. Wächst es stark, ist der Parameter durch die Daten festgelegt; bleibt es fast gleich, ist es eine flache Mulde, und jeder Wert darin ist gleich gut.

Das ist das ehrlichste Ergebnis dieses Abschnitts. Drei der sieben Parameter sind aus diesen Messungen nicht zu gewinnen — nicht weil das Verfahren schlecht wäre, sondern weil die Messung den Bereich nicht berührt, in dem sie wirken: I_KF wirkt erst bei Strömen weit über 10 mA, R_BB erst bei Basisströmen im Milliamperebereich, V_AB überhaupt nur, wenn man die Rückwirkung auf den Basisstrom genau genug misst. Wer sie braucht, muss andere Messungen fahren, nicht besser rechnen.

5.6 Wie die implizite Gleichung gelöst wird

Gleichung (3) hat I_B auf beiden Seiten. Gelöst wird sie durch wiederholtes Einsetzen: man beginnt mit I_B⁽⁰⁾ = I_C/β_eff (also ohne Bahnwiderstand) und rechnet

bis sich nichts mehr ändert. Das Verfahren zieht zusammen, solange |∂ I_B^(k+1)/∂ I_B^(k)| = I_B R_BB/(n V_T) lt; 1 ist, also solange der Spannungsabfall am Bahnwiderstand klein gegen die Temperaturspannung bleibt. Bei I_B = 20 µA und R_BB = 18,8 Ω ist dieser Abfall 0,4 mV gegen 26 mV — das Verfahren braucht dort drei bis vier Schritte.

Wird umgekehrt U_BE zu einem vorgegebenen I_B gesucht, hilft die Halbierung: I_B(U_BE) wächst streng monoton, also genügt es, das Suchfenster [0,2 V; 1,0 V] 50-mal zu halbieren. Das ist langsamer als Newton, kann aber nicht davonlaufen — bei einer Exponentialfunktion ein Vorzug.

5.7 Zwei Parametersätze und ihr Abstand

Im Projekt sind zwei Parametersätze in Gebrauch, und das ist Absicht: sie sind zwei unabhängige Wege zum selben Ziel und zeigen, wie weit das Ergebnis trägt.

An denselben Messdaten gemessen (Programm bjt_kennwerte.py):

Der Fitsatz trifft die Messung viermal genauer. Für alles Folgende — Kleinsignal, Vierpol, Browser-Seite — wird deshalb der Fitsatz verwendet und der Arbeitssatz als Gegenprobe mitgeführt.

6 Kleinsignal: die h-Parameter

6.1 Was ein h-Parameter ist

Im Arbeitspunkt wird die Kennfläche durch ihre Tangentialebene ersetzt. Als unabhängige Größen wählt man in Emitterschaltung den Eingangsstrom I_B und die Ausgangsspannung U_CE; die abhängigen sind Eingangsspannung U_BE und Ausgangsstrom I_C. Das ergibt die Hybridform:

mit

Jeder der vier ist die Steigung einer Tangente in genau einem der vier Quadranten. Das ist der Grund, warum das Vierquadrantenbild so gezeichnet wird: es ist kein Anschauungsbild, sondern die grafische Fassung dieser vier Ableitungen.

6.2 Herleitung aus dem Modell

Das Modell gibt nicht unmittelbar U_BE(I_B), sondern I_B(U_BE, U_CE) und I_C(U_BE, U_CE). Man bildet deshalb zuerst die vier Leitwerte

und rechnet daraus um. Aus i_B = g_π u_BE + g_µ u_CE folgt unmittelbar

Einsetzen in i_C = g_m u_BE + g_o u_CE ergibt

Damit ist der Übergang vom Kennfeld zum Vierpol vollständig hergeleitet — ohne ein Ersatzschaltbild vorauszusetzen. Die Leitwerte selbst werden als zentrale Differenzen gerechnet, etwa

weil Gleichung (3) implizit ist und sich nicht geschlossen ableiten lässt. Die Schrittweite ist ein Kompromiss: zu groß, und die Krümmung fälscht das Ergebnis; zu klein, und die Auslöschung gleicher Zahlen frisst die Stellen auf. Bei δ = 0,1 mV gegen n V_T = 26 mV liegt der Verfahrensfehler bei (δ/nV_T)²/6 ≈ 2,5·10^-6 — vernachlässigbar.

Zur Gegenprobe von Hand: für den Kollektorstrom ist die Ableitung geschlossen bekannt,

und genau diesen Wert liefert auch die numerische Differenz.

6.3 Die Zahlen im Arbeitspunkt

Arbeitspunkt I_C = 5,00 mA, U_CE = 5,00 V. Aus Gleichung (4) folgt zuerst U_BE, daraus über Gleichung (3) der Basisstrom:

Drei Beobachtungen:

• Die Steilheit g_m ist in beiden Sätzen identisch, weil sie nach 6.2 nur von I_C und n abhängt — und n ist der am besten bestimmte Parameter überhaupt.
• h_11e, h_21e, h_22e unterscheiden sich um weniger als 5 %, obwohl die zugrunde liegenden Parametersätze sich in V_A um 15 % und in R_BB um den Faktor 3 unterscheiden. Das ist die eigentliche Aussage von Abschnitt 5.5: die nicht bestimmbaren Parameter sind deshalb nicht bestimmbar, weil sie im Ergebnis fast nichts ändern.
• h_12e ist im Arbeitssatz um anderthalb Zehnerpotenzen kleiner, weil dort V_AB = 10⁶ V gesetzt ist — das heißt „keine Rückwirkung". Beide Werte sind so klein, dass sie in jeder Verstärkerrechnung verschwinden; h_12e · u_CE liegt bei 1 V Ausgangshub unter 20 µV.

Die Probe „h_21e ≈ β_F" geht auf: 269 gegen 253 beim Fitsatz. Die Differenz ist kein Fehler, sondern der Unterschied zwischen Gleichstromverstärkung (I_C/I_B) und Wechselstromverstärkung (∂ I_C/∂ I_B); letztere ist größer, solange h_FE mit dem Strom noch steigt.

7 Vom h-Vierpol zur Kettenmatrix

7.1 Warum A-Parameter

Die Hybridform ist zum Messen bequem, zum Zusammensetzen aber unbrauchbar: schaltet man zwei Vierpole hintereinander, so lassen sich ihre h-Matrizen nicht einfach multiplizieren. Die Kettenform kann das. Sie beschreibt Eingang durch Ausgang:

und für eine Kette gilt schlicht A_ges = A₁A₂·s.

7.2 Die Umrechnung h arrow A

Mit Δ_h = h₁₁h₂₂ - h₁₂h₂₁ lautet sie

Herleitung in zwei Zeilen: die zweite Hybridzeile i₂ = h₂₁i₁ + h₂₂u₂ nach i₁ aufgelöst gibt i₁ = (i₂ - h₂₂u₂)/h₂₁; das in die erste Zeile u₁ = h₁₁i₁ + h₁₂u₂ eingesetzt gibt u₁ = (h₁₁/h₂₁)i₂ + (h₁₂ - h₁₁h₂₂/h₂₁)u₂. Mit dem Vorzeichenwechsel des Kettenzählpfeils (-i₂ statt i₂) steht die Matrix da.

7.3 Querwiderstände

Ein Widerstand, der quer vom Signalweg gegen Masse liegt (der Basiswiderstand gegen die Betriebsspannung ist für das Kleinsignal dasselbe, weil die Betriebsspannung Wechselstrommasse ist), hat die Kettenmatrix

denn er lässt die Spannung durch (u₁ = u₂) und zweigt den Strom u₂/R ab.

7.4 Die Emitterschaltung, durchgerechnet

Schaltung: U_CC = 15 V, R_C = 1 kΩ, Basisvorwiderstand R_B von U_CC zur Basis, Last R_L = 10 kΩ, Quellwiderstand R_i = 1 kΩ.

Schritt 1 — Arbeitspunkt. Zwei Maschen, zwei Unbekannte (U_BE, U_CE), und rechts stehen die Modellgleichungen:

Gelöst wird mit Newton-Raphson. Die Jacobi-Matrix wird numerisch gebildet (das Modell ist implizit), die Schrittweite wird begrenzt — |Δ U_BE| ≤ 50 mV, |Δ U_CE| ≤ 2 V — weil eine Exponentialfunktion einen ungebremsten Newton-Schritt sonst über alle Zahlgrenzen trägt. Als Rückfallebene dient eine verschachtelte Halbierung.

Der Basiswiderstand wurde so gewählt, dass U_CE = U_CC/2 herauskäme: exakt 532,1 kΩ, nächster Wert der Reihe E24 510 kΩ. Mit diesem Reihenwert liegt der Arbeitspunkt nach 6 Newton-Schritten bei

Dass U_CE nicht genau 7,5 V wird, ist die Folge des E24-Sprungs von 532 auf 510 kΩ: 4 % mehr Basisstrom, 4 % mehr Kollektorstrom, 0,3 V weniger U_CE.

Schritt 2 — h-Parameter in diesem Arbeitspunkt (nicht im Arbeitspunkt aus Abschnitt 6.3 — Kleinsignalparameter gelten nur dort, wo sie gerechnet wurden). Fitsatz: h_11e = 941,5 Ω, h_12e = -1,874·10^-5, h_21e = 277,0, h_22e = 51,49 µS, Δ_h = 0,05367.

Schritt 3 — Kettenmatrizen. Der Transistor:

dazu die beiden Querwiderstände mit 1/R_B = 1,961 µS und 1/R_C = 1,000 mS.

Schritt 4 — Kette. In Signalrichtung:

Schritt 5 — Beschaltung. Aus den A-Parametern folgen die Kennwerte der beschalteten Stufe unmittelbar:

Die Gegenprobe von Hand: die Spannungsverstärkung einer Emitterschaltung ist A_v ≈ -g_m (R_C ∥ R_L ∥ r_o). Mit g_m = I_C/(nV_T) = 7,64 mA/25,95 mV = 294 mS, R_C ∥ R_L = 909 Ω und r_o = 1/h_22e = 19,4 kΩ ergibt sich 909 ∥ 19421 = 868 Ω und A_v ≈ -255,6. Zwischen Handformel und Kettenrechnung liegen damit 0,5 % — das ist der Anteil, den der Basiswiderstand und die Rückwirkung beitragen und den die Handformel weglässt.

r_aus ≈ R_C ∥ r_o = 1000 ∥ 19400 = 951 Ω — auch das stimmt. r_ein ≈ h_11e ∥ R_B = 941,5 ∥ 510000 = 939,7 Ω; die Kettenrechnung sagt 944 Ω, der Rest ist die Rückwirkung über h_12e.

8 Der Transistor als Vierpol — die Klammer

Der Bogen dieses Manuskripts lässt sich in einem Satz sagen: der Messplatz stellt zwei Größen ein und misst zwei, das Modell verbindet die vier durch Gleichungen, und die Ableitungen dieser Gleichungen im Arbeitspunkt sind die Vierpolparameter. Jede Stufe prüft die vorige:

9 Beiliegende Programme

Alle Auswerteprogramme brauchen nur numpy und matplotlib und laufen im Ordner der Messdateien.

10 Was offen ist

1. R_C ist nicht dokumentiert. Der Wert lässt sich aus den vorliegenden Blättern nicht zurückrechnen (Abschnitt 2.5). Die Browser-Seite führt ihn deshalb als Eingabe; wer das Gerät in der Hand hat, sollte ihn nachtragen.
2. Die Messdatei-Herkunft. Die fünf Textdateien des BC337-25 tragen keine Geräteangabe. Für die Auswertung ist das gleichgültig, für die Nachvollziehbarkeit nicht.
3. Die Regelparameter. Die beiden Regler des Bedienblatts sind als PID-Blöcke ausgeführt; ihre Beiwerte liegen im Projekt des Leitstands und nicht im Arbeitsbereich. Die Browser-Seite bildet die Kaskade deshalb mit einem einfachen Integralregler nach und weist das aus.
4. Der vierte Quadrant am Leistungstransistor. Die Rückwirkung ist so klein, dass sie im vorliegenden Blatt nahe an der Auflösungsgrenze des Messwegs liegt (Abschnitt 3.3). Eine Messung mit größerem R_C und kleinerem Bereich wäre aussagekräftiger.

1 Wozu diese Anleitung

Das Manuskript erklärt, warum der Messplatz so rechnet. Diese Anleitung sagt, was zu tun ist, damit er misst — in der Reihenfolge, in der es getan wird. Sie setzt den Aufbau als fertig voraus: bestückte Leiterplatte, Firmware aufgespielt, Netzteil vorhanden.

2 Was gebraucht wird

Die Klemmenreihen sind auf der Leiterplatte beschriftet: oben NPN: Rc C E B Rb GND, darunter PNP: E C Rb B Rc GND. Ein Prüfling wird immer an genau eine der beiden Reihen gelegt.

3 Die Widerstände wählen

Die drei gesteckten Widerstände legen die Messbereiche fest. Für den Kollektorzweig gilt: der Abfall über R_C geht dem Prüfling an Spannung verloren.

Beispiel: soll U_CE bis 10 V reichen und I_C bis 60 mA, so darf I_C R_C ≤ 2,3 V sein, also R_C ≤ 38 Ω. Mit R_C = 33 Ω beträgt die Stromauflösung k_AD/R_C = 184,7 µV/33 Ω = 5,6 µA je Zählschritt — bei 60 mA sind das 0,009 %.

Für den Basiszweig gilt dasselbe:

Der dritte Summand ist der Ableitstrom durch R_{B_GND}, der ebenfalls durch R_B fließen muss. Mit R_B = 7,5 kΩ, R_{B_GND} = 1 kΩ und U_BE = 0,7 V bleiben für I_B R_B noch 12,3 - 0,7 - 5,3 = 6,3 V, also I_B ≤ 0,84 mA. Für Leistungstransistoren mit Basisströmen um 1 mA ist R_B also kleiner zu wählen; für Kleinsignaltransistoren mit 10 … 50 µA darf er deutlich größer sein, was die Auflösung verbessert.

Die Auflösung des Basisstroms hängt an beiden Widerständen:

Mit R_B = 7,5 kΩ und R_{B_GND} = 1 kΩ sind das 272 nA; bei I_B = 20 µA also 1,4 %. Der Ableitwiderstand ist dabei der größere Anteil: mit R_{B_GND} = 10 kΩ sinkt die Zahl auf 62 nA.

Zwei Faustregeln: R_B so groß wie möglich, solange die Spannungsrechnung oben noch aufgeht — und R_{B_GND} so groß, wie der Aufbau es ohne Zappeln erlaubt. Beides verbessert die Auflösung, und beides kostet Spannungsreserve am Speisepunkt.

4 Anschließen — in dieser Reihenfolge

1. Speisung aus.
2. Steckwiderstände einsetzen. Die Werte notieren; der Leitstand braucht sie, sonst rechnet er falsche Ströme aus richtigen Spannungen.
3. Prüfling an die passende Klemmenreihe. Bei Leistungstransistoren im Metallgehäuse ist das Gehäuse der Kollektor — beim Ablegen auf eine leitende Unterlage aufpassen.
4. USB-Kabel zum Rechner. Der Mikrorechner läuft damit schon, die Endstufen aber nicht.
5. Speisung ein. Die Leuchtdiode am Mikrorechnermodul zeigt jeden gültigen Modbus-Rahmen durch kurzes Aufleuchten an.

Abbauen in umgekehrter Reihenfolge; besonders: Speisung aus, bevor der Prüfling gewechselt wird.

5 Den Leitstand einrichten

5.1 Schnittstelle

Nur ein Programm darf die Schnittstelle belegen. Ein noch offenes Terminal oder ein zweites Prüfprogramm blockiert sie; der Leitstand meldet dann „keine Antwort", obwohl das Gerät in Ordnung ist.

5.2 Kanaltabelle

Die Register sind in zwei Blöcken einzutragen — die Stellregister werden geschrieben, die Messregister gelesen:

Die Zahl in Klammern ist der Modbus-Funktionscode. Das Gerät versteht zum Lesen die Codes 3 und 4, zum Schreiben 6 und 16 (und quittiert 1, 2, 5, 8, 15). Wer nur die Mittelwerte braucht, trägt stattdessen einen Block WI (4), Anzahl 4, Versatz 8 ein.

Ein Schreibbefehl auf die Register 4 und höher wird quittiert, aber nicht ausgeführt — Messwerte lassen sich nicht überschreiben.

5.3 Umrechnungen im Leitstand

Diese fünf Zeilen sind alles, was der Leitstand rechnen muss:

Dabei sind U_RC1, U_RC2, U_RB1, U_RB2 die Register 8, 9, 10, 11 (Mittelwerte) beziehungsweise 4, 5, 6, 7 (roh).

5.4 Die beiden Regler

Der Leitstand regelt in Kaskade:

• innerer Kreis, schnell: Sollwert U_CE, Istwert aus Register 9, Stellgröße Register 0;
• äußerer Kreis, langsam: Sollwert I_B, Istwert aus Registern 10 und 11 nach der Formel oben, Stellgröße Register 1.

Der innere Kreis muss deutlich schneller eingestellt sein als der äußere — mindestens um den Faktor drei bis fünf. Wird diese Regel verletzt, schaukeln sich beide gegeneinander auf, und die Kennlinie zeigt ein Zittern, das kein Bauteileffekt ist.

6 Eine Kennlinie aufnehmen

1. Basisstrom-Sollwert auf die erste Stufe setzen (Beispiel: 0,2 mA) und warten, bis der äußere Kreis steht.
2. U_CE-Sollwert von 0 an in Schritten erhöhen (Beispiel: 0,1 V). Bei jedem Schritt warten, bis beide Regelabweichungen unter der Schranke liegen.
3. Den Punkt (U_CE, I_C) ablegen.
4. Nach der letzten U_CE-Stufe zur nächsten Basisstromstufe gehen und bei 2 fortfahren.
5. Fertig, wenn die letzte U_CE-Stufe der letzten Basisstromstufe erreicht ist.

Für die anderen Quadranten werden Soll- und Laufgröße vertauscht: im zweiten Quadranten läuft der Basisstrom und U_CE steht fest, im dritten und vierten wird zusätzlich U_BE aus Register 11 aufgezeichnet.

Schrittweite: in Bereichen, in denen sich I_C kaum ändert (also im aktiven Bereich), darf die Schrittweite wachsen. Im Knie unterhalb von 0,5 V sollte sie klein bleiben — dort steckt die Aussage über die Sättigungsspannung.

7 Prüfen, ob alles stimmt

Vom Sichtbaren zum Messbaren:

1. Rahmen kommen an. Die Leuchtdiode blinkt im Takt des Abfragezyklus. Tut sie das nicht, stimmen Schnittstelle, Übertragungsrate oder Adresse nicht.
2. Messwerte bewegen sich. Ohne Prüfling und ohne Stellwert müssen alle vier Messregister nahe Null stehen.
3. Stellweg wirkt. Register 0 auf den Wert 10000 (dezimal) setzen: U_RC1 muss auf 10000 · 188,010 µV = 1,88 V gehen, und Register 8 muss 1,88 V/184,659 µV = 10181 (dezimal) anzeigen — 1,8 % über dem Stellwert, weil Stell- und Messweg verschiedene Referenzen haben. Weicht es stark ab, ist ein Bauteil im Teiler oder in der Gegenkopplung falsch.
4. Kurzschlussprobe. R_C durch eine Brücke ersetzen: dann müssen die Register 8 und 9 gleich sein, also I_C = 0. Ist die Differenz größer als zwei Zählschritte, liegt ein Versatz zwischen den Kanälen vor, den der Leitstand herausrechnen muss.
5. Erst dann den Prüfling einsetzen.

8 Stolperfallen

• Widerstandswerte nicht nachgeführt. Der häufigste Fehler: R_C gewechselt, im Leitstand steht noch der alte Wert. Die Spannungen stimmen, die Ströme nicht.
• Nur ein Programm an der Schnittstelle. Terminal, Prüfskript und Leitstand schließen sich gegenseitig aus.
• Zu schneller äußerer Kreis. Siehe 5.4 — das Zittern in der Kennlinie kommt vom Regler, nicht vom Bauteil.
• Messregister beschreiben. Wird quittiert, wirkt aber nicht; wer sich darauf verlässt, sucht den Fehler an der falschen Stelle.
• Rohwerte statt Mittelwerte. Die Register 4…7 rauschen sichtbar mehr als 8…11. Für die Regelung und für die Aufzeichnung gehören die Mittelwerte genommen.
• Sättigungsbereich überfahren. Wird U_RC1 zu klein gewählt, geht der Prüfling in die Sättigung, der Basisstrom bricht ein, und der äußere Regler fährt gegen den Anschlag. Die Kennlinie zeigt dann eine senkrechte Linie bei kleinem U_CE — das ist kein Bauteileffekt, sondern fehlende Regelreserve.
• Prüfling heiß. Das Kennfeld verschiebt sich mit der Temperatur um etwa -2 mV/K in U_BE. Bei Leistungstransistoren zwischen den Kurven abkühlen lassen oder die Aufnahme im Impulsbetrieb fahren.

9 Im Fehlerfall