Vorbemerkung: für wen dieses Manuskript geschrieben ist

Dieses Manuskript zeigt, mit welcher Methode ein Schaltungssimulator tatsächlich rechnet, und es zeigt sie vollständig. Vorausgesetzt werden mathematische Grundkenntnisse — Ableitung, lineares Gleichungssystem, Anfangswertproblem —, nicht aber Vorkenntnisse in der Schaltungsberechnung. Der Knotensatz und alles, was daraus folgt, wird an Ort und Stelle entwickelt.

Der rote Faden. Drei Verfahren greifen ineinander, und darum ist das Manuskript gebaut:

Der Aufbau geht vom Groben zum Feinen. Teil I zeigt in wenigen Seiten das ganze Verfahren; wer nur wissen will, wie es im Prinzip geht, kann dort aufhören. Ab Teil II wird jedes Stück einzeln aufgeschlagen und bis zur letzten Rechenzeile durchgeführt. Teil VI führt die drei Stücke wieder zusammen und begründet, warum die Zerlegung zulässig ist und woher der Fehler des Ergebnisses kommt.

Alle Zahlen stammen aus dem beiliegenden Programm. Die Prüfungen, mit denen es sich selbst kontrolliert, stehen in Teil VIII.

TEIL I — DIE AUFGABE UND DIE DREI VERFAHREN

1. Die Aufgabe

Gesucht ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung $u_C(t)$ in dieser Schaltung:

Die Aufgabe sieht harmlos aus und ist es nicht. Drei Eigenschaften machen sie zu einem echten Fall:

Erstens ist sie nichtlinear. Die Dioden werden nach Shockley gerechnet,

$$I_D(v) = I_S\left(e^{\,v/(nV_T)} - 1\right)$$

ohne jede Näherung: kein Knickkennlinienmodell, keine feste Schleusenspannung, kein Schalter. Damit gibt es keinen Zustand „leitet” oder „sperrt”, zwischen dem man umschalten könnte — es gibt nur eine einzige, stetige Kennlinie, die über zwanzig Zehnerpotenzen läuft.

Zweitens enthält sie einen Energiespeicher. Der Kondensator macht aus dem algebraischen Problem ein zeitabhängiges: eine Differentialgleichung.

Drittens sind beide verkoppelt. Der Strom durch die Dioden hängt von der Kondensatorspannung ab, und die Kondensatorspannung von den Diodenströmen. Man kann weder das eine noch das andere zuerst lösen.

Analytisch ist da nichts zu machen. Schon das reine Diodenproblem $I_D(v) = (U-v)/R$ hat keine Lösung in geschlossener Form.

2. Zielsetzung: was die Rechnung liefern muss

Ein Netzteil dieser Bauart wird nicht um seiner selbst willen gerechnet. Gerechnet wird, weil vier Größen gebraucht werden, und jede entscheidet über ein Bauteil:

Die ersten beiden lassen sich noch abschätzen. Für die Brummspannung gibt es die bekannte Faustformel

$$\Delta u_C \approx \frac{I_L}{2 f C}$$

und sie trifft hier auf drei Prozent genau. Für den Spitzenstrom gibt es keine solche Formel. Er hängt davon ab, wie lange die Dioden leiten, und das hängt wiederum davon ab, wie steil ihre Kennlinie im Leitbereich verläuft. Genau dieser Wert entscheidet aber über die Bauteilwahl: 677 mA sind für eine 1N4148 unzulässig, für eine 1N4007 unbedenklich.

Daraus folgt die Zielsetzung:

Gesucht ist der Zeitverlauf aller Spannungen und Ströme über mehrere Perioden, so genau, dass Brummspannung und Spitzenstrom auf ein Prozent ablesbar sind.

Und daraus folgen zwei Festlegungen, die den Rest bestimmen.

Die Dioden werden nach Shockley gerechnet, ohne Näherung. Ein Modell mit fester Schleusenspannung von 0,7 V liefert den Mittelwert noch brauchbar, den Spitzenstrom aber nicht: bei 677 mA fällt an der 1N4148 nicht 0,7 V ab, sondern 0,879 V, und die Leitdauer ändert sich entsprechend. Wer den Spitzenstrom braucht, braucht die Kennlinie.

Es wird im Zeitbereich gerechnet, Schritt für Schritt. Eine geschlossene Lösung gibt es nicht, weil die Diodengleichung sich nicht nach der Spannung auflösen lässt.

3. Die Methode auf einer Seite

Aufgestellt wird eine einzige Gleichung, die Knotenleitwertmatrix dieser Schaltung:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} g_1+g_3 & 0 & -g_1 & -1 \\ 0 & g_2+g_4 & -g_2 & +1 \\ -g_1 & -g_2 & \frac{1}{R}+g_1+g_2 & 0 \\ \hline -1 & +1 & 0 & -R_i \end{array}\right) \begin{pmatrix}u_a\\u_b\\u_P\\ \hline i_q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt] 0\\[3pt] \frac{u_C}{R}\\[3pt] \hline -u_q\end{pmatrix}$$

Zwei Zweige passen von Haus aus nicht in eine Matrix aus Leitwerten. Beide werden in dieselbe Form gebracht — Leitwert parallel zu Stromquelle:

Gerechnet wird dann in zwei ineinanderliegenden Schleifen:

für jeden Zeitschritt:                              ← Verfahren 3, Euler
    u_q(t) ausrechnen;  u_C steht fest

    wiederhole:                                     ← Verfahren 2, Newton
        g_d , I_eq der vier Dioden bilden
        Y und i stempeln                            ← Verfahren 1
        Y·u = i  EINMAL direkt auflösen             ← Verfahren 1
    bis sich u nicht mehr ändert                       (3 bis 6 mal)

    u_C fortschreiben                               ← Verfahren 3

Die drei Verfahren an derselben Matrix:

Über den Lauf von 200 ms: 20 000 Zeitschritte, 78 819 Newton-Durchgänge, 78 819 Auflösungen der Matrixgleichung, 20 000 Euler-Schritte.

Das ist die ganze Methode. Alles Weitere ist Ausführung: die Matrix Zweig für Zweig (Teil III), die Wiederholung und ihre Steuerung (Teil IV), der Zeitschritt und seine Grenze (Teil V), die Verschränkung im Einzelnen (Teil VI).

4. Das Zusammenspiel der drei Verfahren

Das Wesentliche an dieser Methode ist nicht das einzelne Verfahren — jedes für sich steht in jedem Lehrbuch. Das Wesentliche ist, wie sie ineinandergreifen.

Drei Sätze fassen es zusammen; genau ausgeführt wird es in Teil VI.

Das Knotenpotentialverfahren arbeitet in jedem Durchgang. Aufgestellt wird die Matrix einmal — ihr Muster hängt nur an der Schaltung. Gefüllt und gelöst wird sie in jedem einzelnen Durchgang, über diesen Lauf 78 819-mal.

Newton und Euler liefern ihr die Zahlen. Newton die vier Diodenleitwerte und ihre Ersatzströme, der Euler den Zustand $u_C$. Beide arbeiten nicht während des Auflösens, sondern davor und danach.

Die Größe des Systems spielt keine Rolle. Ob vier Unbekannte oder viertausend — der Ablauf ist derselbe. Deshalb ist dieses kleine Beispiel lehrreich: an ihm lässt sich alles von Hand nachrechnen, und es gilt unverändert für jede Schaltung.

5. Was dabei herauskommt

Das Ergebnis vorweg:

Der Kondensator lädt sich in etwa acht Perioden auf, danach pendelt sich ein Zustand ein, in dem er zwischen zwei Grenzen atmet. Die Ströme fließen nicht gleichmäßig, sondern in kurzen, hohen Stößen. Und das Newton-Verfahren braucht durchweg drei bis sechs Durchgänge je Zeitschritt — die unterste Kurve.

Damit ist der Überblick beisammen. Alles Weitere ist Ausführung.

TEIL II — DIE SCHALTUNG ERFASSEN

6. Der erste Schritt: zwei Listen

Das Aufstellen der Gleichungen beginnt nicht mit Gleichungen, sondern mit zwei Listen. Wer sie sauber führt, kann sich beim Anschreiben kaum noch vertun — und ein Simulationsprogramm arbeitet mit nichts anderem.

6.1 Die Knotenliste

Man nummeriert die Knoten und hält zu jedem fest, ob an ihm ein Energiespeicher hängt. Genau daran entscheidet sich später, welches Verfahren zuständig ist.

Die vier oberen werden gemeinsam bestimmt: Die Matrixgleichung wird mit dem Gauß-Verfahren gelöst (Abschnitt 19), und weil ihre Einträge von der Lösung abhängen, wiederholt Newton-Raphson das Aufstellen und Lösen, bis beides zusammenpasst. Die fünfte, $u_C$, wird danach vom Euler fortgeschrieben.

Zwei Zeilen brauchen eine Erklärung.

Der Bezugsknoten. Ein Knoten wird als Bezug gewählt und sein Potential auf null gesetzt. Seine Knotengleichung wird weggelassen — sie ist die negative Summe aller übrigen und brächte nichts Neues. Ließe man sie stehen, wäre das System singulär.

Die vierte Unbekannte ist keine Spannung, sondern ein Strom. Das ist ungewöhnlich und der Grund dafür steht in Abschnitt 10. Vorerst genügt: die Quelle bringt eine eigene Unbekannte mit.

6.2 Die Zweigliste

Zu jedem Zweig gehört, zwischen welchen Knoten er liegt und nach welchem Gesetz er rechnet.

Die Angabe „von → nach” ist bei den Dioden die Durchlassrichtung und darf nicht vertauscht werden. Bei den übrigen Zweigen legt sie nur die Zählrichtung fest.

7. Was an dieser Schaltung neu ist

Wer Teil 2 dieser Reihe kennt, sieht den Unterschied sofort: dort lag der Kondensator unmittelbar am Ausgang der Brücke. Jetzt trennt ihn ein Vorwiderstand.

Das ist mehr als eine zusätzliche Unbekannte. Es ändert die Struktur: in Teil 2 speisten die Dioden den Kondensator direkt, und die Differentialgleichung enthielt die Diodenströme. Hier sieht die Differentialgleichung nur noch den Strom durch $R$ — alles Nichtlineare steckt eine Ebene davor.

Das ist zugleich die Bauform, die in wirklichen Netzteilen vorkommt, und die Bauform, in der sich das Verfahren am klarsten zeigt: die nichtlineare algebraische Ebene und die lineare Zustandsebene sind sauber getrennt.

8. Die Bauelementgleichungen

Jeder Zweig braucht eine Vorschrift, die seinen Strom aus den Potentialen seiner Knoten bestimmt.

Der Widerstand. Trivial, aber der Vollständigkeit halber:

$$i = \frac{u_1 - u_2}{R}$$

Die Diode nach Shockley, mit $v$ als Spannung von der Anode zur Kathode:

$$I_D(v) = I_S\left(e^{\,v/(nV_T)} - 1\right)$$

Drei Zahlen bestimmen sie: der Sättigungssperrstrom $I_S$, der Emissionskoeffizient $n$ und die Temperaturspannung $V_T$. Für die hier verwendete 1N4148 sind das $I_S = 2{,}52$ nA, $n = 1{,}752$ und $V_T = 25{,}852$ mV bei 300 K, also

$$nV_T = 45{,}293\ \text{mV}$$

Diese Zahl bestimmt das ganze Verhalten. Sie ist die Spannung, um die sich $v$ ändern muss, damit der Strom sich um den Faktor $e$ ändert. Eine Änderung um ein Volt ändert den Strom also um $e^{22} \approx 3{,}6$ Milliarden. Man merke sich das — es erklärt später, warum das Newton-Verfahren gedämpft werden muss.

Die Ableitung brauchen wir gleich mit. Sie heißt differentieller Leitwert und ist die Steigung der Kennlinie im Arbeitspunkt:

$$g_d(v) = \frac{\mathrm{d}I_D}{\mathrm{d}v} = \frac{I_S}{nV_T}\,e^{\,v/(nV_T)}$$

Zwei Bemerkungen dazu.

Die $-1$ der Shockley-Gleichung kommt in $g_d$ nicht mehr vor: sie ist eine Konstante und verschwindet beim Ableiten.

Und $g_d$ ist der einzige Beitrag der Diode zur Jacobi-Matrix. Der Strom selbst geht nur in die rechte Seite ein. Das ist der Grund, warum ein Simulationsprogramm zu jedem nichtlinearen Bauelement genau zwei Funktionen braucht: Strom und Leitwert.

Der Kondensator ist kein gewöhnlicher Zweig. Er liefert

$$i = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$$

und damit keine algebraische Beziehung, sondern eine Differentialgleichung. Genau deshalb steht er in der Knotenliste in einer eigenen Zeile.

TEIL III — VERFAHREN 1: DAS KNOTENPOTENTIALVERFAHREN

9. Die Knotenleitwertmatrix aufstellen und lösen

Bevor irgendeine Nichtlinearität ins Spiel kommt, wird das Werkzeug selbst vorgeführt: so stellt man die Knotenleitwertmatrix auf, und so löst man sie. Alles Weitere baut darauf auf.

Dazu werden die vier Dioden für einen Augenblick durch feste Leitwerte ersetzt. Das ist keine Näherung für die spätere Rechnung, sondern ein Vorlauf: er zeigt die Maschine an einem Fall, den man von Hand nachrechnen kann.

9.1 Die drei Aufstellregeln

Für ein Netz aus Leitwerten und Stromquellen gilt, ohne dass man eine einzige Gleichung anschreiben müsste:

Das ist das Knotenpotentialverfahren. Man geht die Zweigliste einmal durch, trägt jeden Zweig an seinen zwei Plätzen ein, und die Matrix steht.

Zwei Dinge braucht diese Schaltung zusätzlich, und beide werden in Abschnitt 10 begründet:

• Der Bezugsknoten M bekommt keine Zeile — sein Potential ist null.
• Die Spannungsquelle hat keinen Leitwert. Ihr Strom wird darum zur vierten Unbekannten, und ihre Zeile ist der Maschensatz. Das ergibt den Rand um die $3\times3$-Matrix.

9.2 Die Matrix dieser Schaltung

Bezeichnet man mit $g_1 \dots g_4$ die Leitwerte der vier Diodenzweige, so liefern die Regeln unmittelbar:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} g_1+g_3 & 0 & -g_1 & -1 \\ 0 & g_2+g_4 & -g_2 & +1 \\ -g_1 & -g_2 & \frac{1}{R}+g_1+g_2 & 0 \\ \hline -1 & +1 & 0 & -R_i \end{array}\right) \begin{pmatrix}u_a\\u_b\\u_P\\ \hline i_q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt] 0\\[3pt] \frac{u_C}{R}\\[3pt] \hline -u_q\end{pmatrix}$$

Man lese die dritte Zeile zur Probe: am Knoten P hängen D1, D2 und der Vorwiderstand $R$, also steht $g_1+g_2+1/R$ auf der Diagonalen; P ist über D1 mit a und über D2 mit b verbunden, also stehen dort $-g_1$ und $-g_2$. Rechts steht $u_C/R$, weil das andere Ende von $R$ auf dem bekannten Potential $u_C$ liegt — ein bekanntes Potential wirkt wie eine Quelle und wandert auf die rechte Seite.

9.3 Und so wird sie gelöst — mit Zahlen

Angenommen, D1 und D4 leiten mit je $g = 2$ S, D2 und D3 sperren ($g = 0$), der Kondensator steht auf $u_C = 20$ V, die Quelle liefert $u_q = 30$ V; $R = 10\ \Omega$, $R_i = 1\ \Omega$. Dann lautet die Gleichung

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & +1 \\ -2 & 0 & 2{,}1 & 0 \\ -1 & +1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_a\\u_b\\u_P\\i_q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\2\\-30\end{pmatrix}$$

Die Determinante ist $-4{,}8$, die Matrix also regulär, und die Lösung lautet

$$u_a = 28{,}750\ \text{V},\quad u_b = -0{,}4167\ \text{V},\quad u_P = 28{,}333\ \text{V},\quad i_q = 0{,}8333\ \text{A}$$

Zur Probe: durch D1 fließt $g_1(u_a-u_P) = 2 \cdot 0{,}4167 = 0{,}8333$ A, durch D4 ebenso, durch $R$ fließt $(u_P-u_C)/R = 8{,}333/10 = 0{,}8333$ A — alles derselbe Strom, wie es der Reihenschaltung entspricht. Der Knotensatz an a geht auf null auf, der Maschensatz ebenfalls.

Damit ist das Knotenpotentialverfahren vollständig vorgeführt: Matrix aufstellen, Gleichungssystem lösen, Potentiale ablesen, Ströme daraus bilden.

9.4 Ob man invertiert oder eliminiert

Für die Lösung stehen drei Wege offen, und sie unterscheiden sich nur im Aufwand, nicht im Ergebnis.

Invertieren. $\mathbf{u} = \mathbf{Y}^{-1}\mathbf{i}$. Für eine $2\times2$- oder $3\times3$-Matrix ist das der Weg von Hand, und er ist lehrreich, weil die Inverse zeigt, wie jeder Quellstrom auf jedes Potential durchschlägt. Für dieses Beispiel lautet die erste Zeile der Inversen $(1{,}3125;\ 0{,}4375;\ 1{,}25;\ -0{,}875)$; damit ist $u_a = 1{,}25 \cdot 2 - 0{,}875 \cdot (-30) = 28{,}75$ V.

Eliminieren. Gauß mit Spaltenpivotierung oder — für dieses System besonders kurz — Elimination von Hand mit anschließender Kreuzregel (Abschnitt 19). Rund dreimal billiger als das Invertieren, weil man die Inverse nur für eine rechte Seite braucht.

Iterativ lösen. Jacobi-Verfahren, Gauß-Seidel-Verfahren oder ein Krylow-Verfahren. Bei vier Unbekannten sinnlos, bei zehntausend Knoten der übliche Weg.

Ein Hinweis zur Sprache, weil das Wort iterativ gleich zweimal vorkommen wird: Hier ist die lineare Iteration gemeint, die dieselbe Matrix mehrfach anwendet, um ein lineares System zu lösen. Davon zu trennen ist die nichtlineare Wiederholung des ganzen Aufstellens und Lösens, die im nächsten Abschnitt anfängt. Dieses Manuskript löst das lineare System jedes Mal direkt und wiederholt nur die äußere Schleife.

9.5 Was jetzt noch fehlt

Die Vorführung hat zwei Dinge unterstellt, die in Wahrheit nicht gelten:

Beide werden innerhalb dieser Matrixgleichung erledigt — die Gleichung selbst bleibt, wie sie ist. Der Rest von Teil III führt aus, wie die einzelnen Einträge zustande kommen und wie die Dioden hineinkommen.

10. Das Rezept — und warum es erweitert werden muss

10.1 Das Rezept in sechs Schritten

1. Bezugsknoten wählen. Seine Gleichung entfällt.
2. Jedem übrigen Knoten ein Potential geben.
3. Für jeden Knoten den Knotensatz anschreiben, immer in derselben Form: Summe aller abfließenden Zweigströme = 0. Jeder Zweigstrom wird durch die Potentiale seiner beiden Knoten ausgedrückt.
4. Knoten mit Energiespeicher liefern eine Differentialgleichung, Knoten ohne liefern eine algebraische Gleichung.
5. Das algebraische System mit Newton-Raphson lösen.
6. Die Zustandsgrößen mit einem Integrationsverfahren fortschreiben.

Der einzige Punkt, an dem man aufpassen muss, ist die Vorzeichenregel in Schritt 3. Sie muss über alle Knoten hinweg dieselbe sein. Hier gilt durchgehend: abfließend zählt positiv. Man kann ebensogut zufließend positiv zählen — nur eben nicht gemischt.

10.2 Die stillschweigende Voraussetzung

Schritt 3 enthält eine Annahme, die man leicht übersieht: jeder Zweigstrom muss sich durch die Potentiale seiner Knoten ausdrücken lassen. Anders gesagt: jeder Zweig braucht einen Leitwert.

Damit kennt das reine Knotenpotentialverfahren nur reale Quellen. Eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand wird in eine Stromquelle mit dem Parallelleitwert $1/R_i$ umgerechnet — die Umformung, die man in jedem Lehrbuch zuerst lernt:

$$i_q = \frac{u_q - (u_a - u_b)}{R_i}$$

Eine ideale Spannungsquelle hat keinen Leitwert. $1/R_i$ liefe gegen unendlich, und die Umformung existiert nicht.

10.3 Wo es zuerst weh tut

Ein kleiner Innenwiderstand statt null hilft nicht: die Matrix wird schon lange vorher unbrauchbar.

Sperren alle vier Dioden — das ist der Fall, sobald der Kondensator geladen ist und die Quelle durch null geht —, dann hängen a und b nur noch über die Quelle aneinander. Die obere linke Ecke der Jacobi-Matrix lautet dann

$$\begin{pmatrix} 1/R_i + G_{\min} & -1/R_i \\ -1/R_i & 1/R_i + G_{\min}\end{pmatrix}$$

($G_{\min}$ ist ein winziger Leitwert gegen Masse, siehe Abschnitt 18.) Ihre Determinante ist $2G_{\min}/R_i$, ihre Konditionszahl rund $1/(G_{\min}R_i)$:

Bei doppelter Genauigkeit stehen rund sechzehn Stellen zur Verfügung. Ab etwa einem Milliohm reicht das nicht mehr, um den Newton-Schritt unter die Abbruchschranke von $10^{-12}$ V zu drücken: das Verfahren läuft in die Iterationsgrenze, ohne dass ein Programmierfehler vorläge.

Das ist keine Kleinigkeit am Rande. Netztransformatoren haben Innenwiderstände von Bruchteilen eines Ohm, und wer eine Schaltung an einer als ideal angenommenen Quelle rechnen will, steht sofort davor.

10.4 Die Erweiterung

Der Ausweg ist einfach und allgemein: der Strom im Quellzweig wird zur eigenen Unbekannten, und die Quelle bekommt eine eigene Gleichung.

$$-(u_a - u_b) - R_i\,i_q + u_q = 0$$

Man lese sie als das, was sie ist: der Maschensatz für den Quellzweig. Für $R_i = 0$ bleibt die reine Zwangsbedingung $u_a - u_b = u_q$ übrig.

Der entscheidende Unterschied: der Innenwiderstand steht jetzt als Widerstand in der Gleichung, nicht als Leitwert. Deshalb darf er null werden.

Man nennt das die erweiterte Knotenanalyse; im englischen Schrifttum heißt sie modified nodal analysis, und sie ist das, was jedes Simulationsprogramm tatsächlich aufstellt. Jedes Element, das sich nicht als Leitwert schreiben lässt — ideale Spannungsquellen, Induktivitäten, gesteuerte Quellen —, bringt auf dieselbe Weise seinen Strom als zusätzliche Unbekannte mit.

Was man gewinnt, zeigt der Vergleich am laufenden Programm, gerechnet mit den Werten aus Teil 2 (10 V, $C$ = 100 µF, $R_L$ = 1 kΩ):

Wo das reine Verfahren trägt, liefert die Erweiterung dasselbe. Wo es nicht mehr trägt, rechnet sie weiter. Deshalb wird von hier an nur noch die erweiterte Fassung verwendet.

11. Die vier Gleichungen dieser Schaltung

Jetzt wird das Rezept angewendet, Knoten für Knoten. Man geht die Zweigliste durch und fragt bei jedem Zweig: hängt er an diesem Knoten, und fließt sein Strom hin oder weg?

11.1 Knoten a

An a hängen drei Zweige:

Die Diodenspannung von D3 ist $u_M - u_a = -u_a$, weil M der Bezugsknoten ist. Das Vorzeichen davor ist negativ, weil der Strom zufließt.

$$\boxed{\;F_a = I_D(u_a - u_P) - I_D(-u_a) - i_q + G_{\min}u_a = 0\;}$$

11.2 Knoten b

Dasselbe, gespiegelt. Nur der Quellstrom kehrt sein Vorzeichen um — was in a hineinfließt, fließt aus b heraus:

$$\boxed{\;F_b = I_D(u_b - u_P) - I_D(-u_b) + i_q + G_{\min}u_b = 0\;}$$

11.3 Knoten P

An P hängen ebenfalls drei Zweige:

$$\boxed{\;F_P = \frac{u_P - u_C}{R} - I_D(u_a - u_P) - I_D(u_b - u_P) + G_{\min}u_P = 0\;}$$

Hier steckt der Kern von Teil 3. Dieser Knoten ist algebraisch, weil an ihm kein Energiespeicher hängt: was hineinfließt, muss im selben Augenblick wieder heraus. Erst dahinter, am Knoten C, darf sich Ladung sammeln.

Und man beachte: $u_C$ kommt in der Gleichung vor, ist aber keine Unbekannte des Newton-Systems. Es ist ein bekannter Wert — der Zustand vom Anfang des Zeitschritts.

11.4 Der Quellzweig

$$\boxed{\;F_q = -(u_a - u_b) - R_i\,i_q + u_q = 0\;}$$

11.5 Knoten C — die Differentialgleichung

Am Kondensatorknoten kommt der Strom durch $R$ an und teilt sich auf:

$$\frac{u_P - u_C}{R} = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{u_C}{R_L}$$

nach der Ableitung aufgelöst:

$$\boxed{\;\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{C}\left(\frac{u_P - u_C}{R} - \frac{u_C}{R_L}\right)\;}$$

Hier steht keine Diode mehr. Das ist der Gewinn der Trennung: die Nichtlinearität ist vollständig in $\mathbf{F}$ eingesperrt, und die Differentialgleichung ist linear in ihren beiden Eingangsgrößen $u_P$ und $u_C$.

11.6 Welches Verfahren welche Gleichung geliefert hat

Drei von fünf Gleichungen sind also unverändert das, was man im Knotenpotentialverfahren lernt. Die vierte ist der Zusatz, der ideale Quellen möglich macht. Die fünfte ist das nichtlineare Differentialgleichungssystem, das der Euler übernimmt.

11.7 Zusammengefasst

Vier algebraische Gleichungen für vier Unbekannte, dazu eine Differentialgleichung für die fünfte:

$$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0},\qquad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}u_a\\u_b\\u_P\\i_q\end{pmatrix},\qquad \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = f(u_P, u_C)$$

Damit sind alle Gleichungen beisammen. Der nächste Abschnitt bringt sie in die Form, in der man das Knotenpotentialverfahren lernt und in der jedes Simulationsprogramm rechnet: als Matrix.

12. Wie die Dioden in die Matrix kommen

Abschnitt 9 hat die Matrixgleichung $\mathbf{Y}\mathbf{u} = \mathbf{i}$ aufgestellt und gelöst — unter der Annahme, die vier Diodenleitwerte seien bekannte Zahlen. Jetzt wird diese Annahme eingelöst: Es wird gezeigt, welchen Leitwert und welchen Quellstrom eine Diode beisteuert und wie beides in dieselbe Matrix eingetragen wird.

12.1 Die Aufstellregeln, noch einmal in Kurzform

Für ein Netzwerk aus Leitwerten und Stromquellen lautet die Vorschrift, ohne dass man je eine Gleichung anschreiben müsste:

Drei Eigenschaften folgen unmittelbar daraus und werden später als Proben gebraucht:

• $\mathbf{Y}$ ist symmetrisch — jeder Zweig trägt zu $Y_{ik}$ und $Y_{ki}$ denselben Wert bei.
• Die Diagonale ist positiv, die Nebendiagonale negativ oder null.
• In jeder Zeile ist der Diagonaleintrag mindestens so groß wie die Summe der Beträge der übrigen — das Netzwerk ist passiv.

Diese Vorschrift setzt zweierlei voraus: Jeder Zweig muss einen Leitwert haben, und die Quellen müssen Stromquellen sein. An dieser Schaltung ist beides zunächst verletzt: die Dioden haben keinen Leitwert, und die Quelle ist eine Spannungsquelle. Beide Hindernisse werden jetzt der Reihe nach ausgeräumt — das erste durch das Ersatzschaltbild der Diode, das zweite durch die Erweiterung aus Abschnitt 10.4.

12.2 Das Ersatzschaltbild der Diode

Die Diode hat keinen Leitwert, weil $I_D$ nicht proportional zu $u$ ist. Sie hat aber in jedem einzelnen Arbeitspunkt eine Tangente, und die genügt:

$$I_D(u) \;\approx\; I_D(u^{(k)}) + g_d(u^{(k)})\,\bigl(u - u^{(k)}\bigr) \;=\; \underbrace{g_d}_{\text{Leitwert}}\cdot u \;+\; \underbrace{I_D(u^{(k)}) - g_d\,u^{(k)}}_{\textstyle I_{eq}}$$

Das ist genau die Reihenschaltung zweier Bauelemente, die man kennt: ein Leitwert $g_d$ parallel zu einer Stromquelle $I_{eq}$.

Man nennt das das Ersatzschaltbild des nichtlinearen Elements (englisch companion model). Es ist dasselbe Bild, das man beim Transistor für den Kleinsignalbetrieb zeichnet — nur wird es hier nicht einmal für einen Arbeitspunkt gezeichnet, sondern in jedem Rechenschritt neu.

Der Punkt ist: nach diesem Ersatz ist das ganze Netzwerk linear. Man darf es aufstellen wie im ersten Semester. Der Preis ist, dass $g_d$ und $I_{eq}$ nur an dieser einen Stelle gelten — man muss also wiederholen und die Stelle nachführen. Diese Wiederholung ist das Newton-Verfahren (Abschnitt 14).

Zahlenbeispiel aus dem Leitfall bei $t = 164{,}84$ ms: D1 führt 677 mA bei 0,879 V. Daraus $g_d = 14{,}949$ S und

$$I_{eq} = 0{,}677\ \text{A} - 14{,}949\ \text{S} \cdot 0{,}879\ \text{V} = -12{,}464\ \text{A}$$

Der große negative Ersatzstrom ist kein Fehler. Die Tangente an eine Exponentialfunktion schneidet die Achse weit unten; erst Leitwert und Stromquelle zusammen ergeben wieder die 677 mA.

12.3 Die Knotenleitwertmatrix dieser Schaltung

Jetzt ist die Zweigliste aus Abschnitt 6.2 abzuarbeiten. Jeder Zweig trägt einen Leitwert bei, jeder linearisierte Zweig zusätzlich einen Ersatzstrom:

Der Zweig $R$ verdient einen eigenen Satz. Sein zweites Ende hängt am Knoten C — und $u_C$ ist keine Unbekannte, sondern der bekannte Zustand vom Anfang des Zeitschritts. Ein Knoten mit bekanntem Potential wirkt im Knotenpotentialverfahren wie eine ideale Quelle gegen Masse: sein Leitwert kommt auf die Diagonale, und der zugehörige Strom wandert als eingeprägter Strom auf die rechte Seite:

$$\frac{1}{R} \to Y_{PP}, \qquad \frac{u_C}{R} \to i_P$$

Damit steht die Matrix:

$$\mathbf{Y} = \begin{pmatrix} g_1 + g_3 + G_{\min} & 0 & -g_1 \\[3pt] 0 & g_2 + g_4 + G_{\min} & -g_2 \\[3pt] -g_1 & -g_2 & \dfrac{1}{R} + g_1 + g_2 + G_{\min} \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{u} = \begin{pmatrix}u_a\\u_b\\u_P\end{pmatrix}$$

$$\mathbf{i} = \begin{pmatrix} I_{eq3} - I_{eq1} \\[3pt] I_{eq4} - I_{eq2} \\[3pt] \dfrac{u_C}{R} + I_{eq1} + I_{eq2} \end{pmatrix}$$

Man lese die erste Zeile zur Probe zurück: Am Knoten a hängen D1 und D3, also steht auf der Diagonalen $g_1 + g_3$; a ist über D1 mit P verbunden, also steht $-g_1$ in der Spalte P; mit b ist a nicht unmittelbar verbunden, also steht dort null. Und rechts: $I_{eq3}$ treibt in a hinein (positiv), $I_{eq1}$ aus a heraus (negativ).

12.4 Der Quellzweig — die Matrix bekommt einen Rand

Die Quelle bringt keinen Leitwert mit (Abschnitt 10.2), sondern ihren Strom als zusätzliche Unbekannte. In der Matrix äußert sich das als ein Rand, der um $\mathbf{Y}$ herumgelegt wird — eine zusätzliche Spalte für $i_q$ und eine zusätzliche Zeile für den Maschensatz:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} g_1+g_3+G_{\min} & 0 & -g_1 & -1 \\[3pt] 0 & g_2+g_4+G_{\min} & -g_2 & +1 \\[3pt] -g_1 & -g_2 & \frac{1}{R}+g_1+g_2+G_{\min} & 0 \\[3pt] \hline -1 & +1 & 0 & -R_i \end{array}\right) \begin{pmatrix}u_a\\u_b\\u_P\\ \hline i_q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{eq3}-I_{eq1}\\[3pt] I_{eq4}-I_{eq2}\\[3pt] \frac{u_C}{R}+I_{eq1}+I_{eq2}\\[3pt] \hline -u_q \end{pmatrix}$$

Die Randspalte enthält die Inzidenz des Quellzweigs: $-1$ am Knoten, in den der Strom hineinfließt, $+1$ am Knoten, aus dem er herausfließt. Die Randzeile ist derselbe Vektor gespiegelt, denn sie ist der Maschensatz $-(u_a-u_b) - R_i i_q + u_q = 0$. In der Ecke steht $-R_i$ — ein Widerstand, kein Leitwert, und deshalb darf er null werden.

Diese gerandete Form ist die allgemeine Bauart der erweiterten Knotenanalyse. Jedes Element ohne Leitwert — ideale Spannungsquelle, Induktivität, gesteuerte Quelle — legt auf dieselbe Weise einen weiteren Rand um die Matrix.

12.5 Dieselbe Matrix mit Zahlen

Aufgestellt an zwei wirklichen Arbeitspunkten des Laufs; das Programm knotenmatrix.py erzeugt beide.

Leitfall, $t = 164{,}84$ ms (D1 und D4 leiten, $u_C = 20{,}756$ V):

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 14{,}949 & 0 & -14{,}949 & -1 \\ 0 & 14{,}949 & \approx 0 & +1 \\ -14{,}949 & \approx 0 & 15{,}049 & 0 \\ \hline -1 & +1 & 0 & -1 \end{array}\right) \begin{pmatrix}u_a\\u_b\\u_P\\i_q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +12{,}4644 \\ -12{,}4644 \\ -10{,}3888 \\ -29{,}9621 \end{pmatrix}$$

Aufgelöst: $u_a = 28{,}4059$ V, $u_b = -0{,}8791$ V, $u_P = 27{,}5269$ V, $i_q = 0{,}6771$ A. Die Konditionszahl beträgt 77 — ein gut gestelltes System.

Man sieht der Matrix den Schaltzustand an: $g_1 = g_4 = 14{,}949$ S für die leitenden Dioden, $g_2 = g_3 \approx 10^{-280}$ S für die sperrenden. Die Brücke „schaltet” also nicht — sie ändert nur ihre Leitwerte, und zwar um 280 Zehnerpotenzen.

Sperrfall, $t = 162{,}39$ ms (alle vier Dioden sperren):

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 4{,}794\cdot10^{-7} & 0 & -4{,}784\cdot10^{-7} & -1 \\ 0 & 9{,}257\cdot10^{-7} & \approx 0 & +1 \\ -4{,}784\cdot10^{-7} & \approx 0 & 0{,}1 & 0 \\ \hline -1 & +1 & 0 & -1 \end{array}\right) \begin{pmatrix}u_a\\u_b\\u_P\\i_q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}50\cdot10^{-8} \\ -7{,}58\cdot10^{-8} \\ 2{,}0243 \\ -20{,}4676 \end{pmatrix}$$

Hier zeigt sich, wofür $G_{\min}$ da ist. Die Differenz zwischen $Y_{aa} = 4{,}794\cdot10^{-7}$ und $-Y_{aP} = 4{,}784\cdot10^{-7}$ beträgt genau $10^{-9}$ S: das ist $G_{\min}$, und es ist das Einzige, was den Knoten a in diesem Augenblick überhaupt an Masse bindet. Ohne ihn wäre die Matrix singulär. Die Konditionszahl steigt auf $2{,}8\cdot10^{6}$ — das ist viel, aber von den sechzehn Stellen bleiben noch neun.

$Y_{PP} = 0{,}1$ S ist in diesem Zustand nichts als $1/R$: der Knoten P hängt nur noch am Vorwiderstand, und deshalb wird $u_P = u_C$. Genau das sieht man im Kurvenbild, wenn die beiden Linien zusammenfallen.

12.6 Warum die Jacobi-Matrix genauso aussieht

Das ist keine Ähnlichkeit, sondern Gleichheit — und der Grund lässt sich in drei Zeilen aufschreiben.

Der Knotensatz sagt: der Vektor der Knotengleichungen entsteht, indem man die Zweigströme mit der Inzidenzmatrix $\mathbf{A}$ auf die Knoten verteilt. Die Zweigspannungen entstehen umgekehrt aus den Potentialen:

$$\mathbf{F}(\mathbf{u}) = \mathbf{A}\,\mathbf{i}_z(\mathbf{v}), \qquad \mathbf{v} = \mathbf{A}^{\mathsf T}\mathbf{u}$$

Jetzt wird abgeleitet. Nach der Kettenregel:

$$\mathbf{J} = \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{u}} = \mathbf{A}\, \underbrace{\frac{\partial \mathbf{i}_z}{\partial \mathbf{v}}} _{\textstyle \mathbf{G}_d\ \text{(diagonal)}}\, \mathbf{A}^{\mathsf T} \;=\; \mathbf{A}\,\mathbf{G}_d\,\mathbf{A}^{\mathsf T}$$

Und die Knotenleitwertmatrix eines linearen Netzwerks lautet, ebenso allgemein hergeleitet:

$$\mathbf{Y} = \mathbf{A}\,\mathbf{G}\,\mathbf{A}^{\mathsf T}$$

Dieselbe Formel. Der einzige Unterschied ist, was in der Diagonalmatrix steht: bei $\mathbf{Y}$ die festen Leitwerte, bei $\mathbf{J}$ die differentiellen Leitwerte im Arbeitspunkt. Bei einem linearen Zweig sind beide gleich; bei der Diode ist $g_d = I_S/(nV_T)\cdot e^{u/nV_T}$ statt eines festen $g$.

Damit ist die Sache entschieden:

Die Jacobi-Matrix eines Knotengleichungssystems ist die Knotenleitwertmatrix des linearisierten Netzwerks.

Man kann es auch ohne Ableitung sehen. Nach dem Ersatz aus 11.2 ist $\mathbf{F}$ eine lineare Funktion:

$$\mathbf{F}(\mathbf{u}) = \mathbf{Y}\,\mathbf{u} - \mathbf{i}$$

Setzt man das in die Newton-Vorschrift ein, so wird aus

$$\mathbf{J}\,\boldsymbol{\Delta} = -\mathbf{F}(\mathbf{u}^{(k)}) \qquad\text{mit}\qquad \mathbf{u}^{(k+1)} = \mathbf{u}^{(k)} + \boldsymbol{\Delta}$$

durch Einsetzen unmittelbar

$$\mathbf{Y}\,\bigl(\mathbf{u}^{(k)} + \boldsymbol{\Delta}\bigr) = \mathbf{i} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \mathbf{Y}\,\mathbf{u}^{(k+1)} = \mathbf{i}$$

Die beiden Gleichungen sind algebraisch dieselbe. Der eine Weg rechnet die Korrektur aus, der andere gleich das Ergebnis; beide lösen dasselbe lineare Netzwerk.

Das Programm knotenmatrix.py weist beides nach: es baut $\mathbf{Y}$ und $\mathbf{i}$ aus der Zweigliste, baut daneben $\mathbf{J}$ und $\mathbf{F}$ durch Ableiten, und vergleicht.

12.7 Was daraus folgt

Erstens für das Verständnis. Das Knotenpotentialverfahren steht nicht neben dem Newton-Verfahren, sondern in ihm: ein Newton-Durchgang ist nichts anderes als ein vollständig durchgerechnetes lineares Netzwerk. Wer das Knotenpotentialverfahren beherrscht, beherrscht den inneren Kern jedes Schaltungssimulators; das Newton-Verfahren fügt nur die Wiederholung hinzu, und der Euler nur die Zeit.

Wie oft dabei welches Verfahren arbeitet, steht in Abschnitt 24.

Zweitens für die Praxis. Ein Simulationsprogramm bildet niemals $\mathbf{F}$ und leitet es ab. Es stempelt $\mathbf{Y}$ und $\mathbf{i}$ unmittelbar aus der Zweigliste — das ist die Stempelregel in Abschnitt 16, und sie ist nichts anderes als die Regel aus 11.1, auf differentielle Leitwerte angewandt. Deshalb kann SPICE ein neues Bauelement aufnehmen, ohne dass am Löser etwas geändert werden müsste: es genügt, für das Bauelement $g_d$ und $I_{eq}$ anzugeben.

Drittens für die Größe. An dieser Schaltung ist $\mathbf{Y}$ eine $4\times4$-Matrix; man kann sie von Hand hinschreiben und von Hand auflösen. Das ist Absicht, nicht Beschränkung. Der Ablauf ist bei vier Unbekannten derselbe wie bei viertausend: dieselben drei Aufstellregeln, dieselbe Symmetrie, dieselbe Stempelregel, derselbe Newton darum herum. Was sich ändert, ist allein das Auflösen — bei großen Netzwerken nutzt man aus, dass $\mathbf{Y}$ dünn besetzt ist, weil jeder Knoten nur mit seinen wenigen Nachbarn verbunden ist. An der Aufstellung ändert das nichts.

13. Wie der Kondensator in die Matrix kommt

Damit fehlt nur noch ein Zweig. Die Diode ist untergebracht: Tangente, Leitwert plus Stromquelle. Der Kondensator ist noch draußen, denn sein Strom hängt nicht von seiner Spannung ab, sondern von deren Änderung.

Auch das lässt sich in einen Leitwert und eine Stromquelle übersetzen — und zwar durch nichts anderes als die Integrationsformel.

13.1 Die Integrationsformel macht den Kondensator zum Leitwert

Der Kondensator sagt

$$i_C = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$$

Ersetzt man die Ableitung durch den Differenzenquotienten über einen Zeitschritt und wertet den Strom am Ende des Schritts aus, so folgt

$$i_C \;=\; C\,\frac{u_C - u_C^{\,\text{alt}}}{\Delta t} \;=\; \underbrace{\frac{C}{\Delta t}}_{\textstyle g_C}\, u_C \;-\; \underbrace{\frac{C}{\Delta t}\,u_C^{\,\text{alt}}}_{\textstyle I_C}$$

Das ist genau die Form, die die Matrix verlangt: ein Leitwert $g_C = C/\Delta t$ parallel zu einer Stromquelle $I_C$, deren Wert der Zustand vom Beginn des Zeitschritts liefert. Die Diode wurde durch ihre Tangente linearisiert; der Kondensator wird durch die Integrationsformel algebraisiert. Beide Male entsteht dasselbe Ersatzschaltbild.

$$\begin{array}{lll} \textbf{Diode} & g_d = \dfrac{\mathrm{d}I_D}{\mathrm{d}u} & I_{eq} = I_D(u_k) - g_d\,u_k \\[10pt] \textbf{Kondensator} & g_C = \dfrac{C}{\Delta t} & I_C = \dfrac{C}{\Delta t}\,u_C^{\,\text{alt}} \end{array}$$

Mit $C = 1000\ \mu$F und $\Delta t = 10\ \mu$s ist $g_C = 100$ S — der größte Leitwert im ganzen Netz. Man sieht daran unmittelbar, was ein Kondensator in einem kurzen Zeitschritt ist: ein sehr guter Leiter, hinter dem eine Quelle mit der Spannung des letzten Schritts steht.

13.2 Die vollständige Matrix

Jetzt steht das ganze System in einer einzigen Matrixgleichung. Fünf Unbekannte, denn $u_C$ ist jetzt eine davon:

$$\mathbf{u} = (u_a,\ u_b,\ u_P,\ u_C,\ i_q)^{\mathsf T}$$

$$\left(\begin{array}{cccc|c} g_1+g_3+G & 0 & -g_1 & 0 & -1\\ 0 & g_2+g_4+G & -g_2 & 0 & +1\\ -g_1 & -g_2 & \frac{1}{R}+g_1+g_2+G & -\frac{1}{R} & 0\\ 0 & 0 & -\frac{1}{R} & \frac{1}{R}+\frac{1}{R_L}+\frac{C}{\Delta t}+G & 0\\ \hline -1 & +1 & 0 & 0 & -R_i \end{array}\right) \begin{pmatrix}u_a\\u_b\\u_P\\u_C\\ \hline i_q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{eq3}-I_{eq1}\\ I_{eq4}-I_{eq2}\\ I_{eq1}+I_{eq2}\\ \frac{C}{\Delta t}u_C^{\,\text{alt}}\\ \hline -u_q \end{pmatrix}$$

Die vierte Zeile ist der Knotensatz am Kondensatorknoten, und sie enthält die Differentialgleichung — nicht mehr als Ableitung, sondern als Leitwert $C/\Delta t$ und als Quellstrom auf der rechten Seite.

Mit Zahlen, im Leitfall bei $t = 165{,}00$ ms und $\Delta t = 10\ \mu$s:

$$\left(\begin{array}{cccc|c} 14{,}879 & 0 & -14{,}879 & 0 & -1\\ 0 & 14{,}879 & \approx 0 & 0 & +1\\ -14{,}879 & \approx 0 & 14{,}979 & -0{,}1 & 0\\ 0 & 0 & -0{,}1 & 100{,}11 & 0\\ \hline -1 & +1 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 12{,}403\\ -12{,}403\\ -12{,}403\\ 2082{,}9\\ \hline -30 \end{pmatrix}$$

Aufgelöst:

$$u_a = 28{,}4476\ \text{V},\quad u_b = -0{,}8788\ \text{V},\quad u_P = 27{,}5688\ \text{V},$$ $$u_C = 20{,}8336\ \text{V},\quad i_q = 0{,}6735\ \text{A}$$

Die Matrix ist symmetrisch, ihre Konditionszahl beträgt 257. Der Eintrag $100{,}11$ in der vierten Zeile ist im Wesentlichen $g_C = C/\Delta t$; der Quellstrom $2082{,}9$ A ist $g_C\,u_C^{\,\text{alt}}$. Beide Zahlen sind groß und heben einander weitgehend auf — das ist die Handschrift eines Speichers in einem kurzen Zeitschritt.

13.3 Damit ist das Zusammenspiel beschrieben

Man sieht jetzt, was die drei Verfahren miteinander zu tun haben, und es lässt sich in drei Zeilen sagen:

Alle drei arbeiten an derselben Matrix. Newton liefert vier ihrer Einträge und drei Einträge der rechten Seite; der Euler liefert einen Eintrag und einen Eintrag der rechten Seite; das Knotenpotentialverfahren sagt, wohin alles gehört, und löst.

Der Ablauf eines Zeitschritts ist damit:

u_C_alt steht fest (Zustand)
u_q(t)  ausrechnen

wiederhole:                             ← Newton
    g_d und I_eq der vier Dioden am derzeitigen Arbeitspunkt bilden
    g_C = C/dt und I_C = g_C · u_C_alt  bilden       ← Euler
    Y und i stempeln                                ← Knotenpotentialverfahren
    Y·u = i  auflösen                               ← Knotenpotentialverfahren
bis sich u nicht mehr ändert

u_C_alt := u_C   (steht in der Lösung)

13.4 Die einfachere Fassung: den Kondensator draußen lassen

Wertet man den Kondensatorstrom nicht am Ende, sondern am Anfang des Zeitschritts aus, so wird aus der Integrationsformel

$$u_C^{\,\text{neu}} = u_C^{\,\text{alt}} + \Delta t\;\frac{i_R - i_{R_L}}{C}$$

und $u_C$ ist innerhalb des Schritts keine Unbekannte mehr, sondern eine bekannte Zahl. Der Kondensatorzweig fällt dann aus der Matrix heraus; sie schrumpft von fünf auf vier Unbekannte, und das Fortschreiben geschieht nach dem Lösen. Das ist der explizite Euler; die Fassung mit $u_C$ in der Matrix ist der implizite.

Beide sind von erster Ordnung, und beide führen auf dieselbe Lösung. Gerechnet mit demselben Modell und denselben Kenngrößen:

Der Abstand halbiert sich mit jeder Halbierung der Schrittweite — beide Verfahren laufen auf dieselbe Lösung zu, wie es für zwei Verfahren erster Ordnung sein muss.

Die weiteren Teile führen die explizite Fassung aus, weil sie das Zusammenspiel am deutlichsten zeigt: dort steht Newton für die Nichtlinearität und der Euler für die Zeit, sauber getrennt. Die vollständige Matrix aus 14.2 ist mit knotenmatrix_gesamt.py nachrechenbar; Teil XI kommt auf sie zurück.

TEIL IV — VERFAHREN 2: NEWTON-RAPHSON

14. Newton-Raphson, von der Tangente zur Matrix

14.1 Der eindimensionale Fall zur Erinnerung

Gesucht ist die Nullstelle von $F(x)$. Man ersetzt die Funktion an der Stelle $x_k$ durch ihre Tangente und nimmt deren Nullstelle als neuen Näherungswert:

$$F(x_k) + F'(x_k)\,\Delta = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \Delta = -\frac{F(x_k)}{F'(x_k)},\qquad x_{k+1} = x_k + \Delta$$

Das Verfahren konvergiert quadratisch: in jedem Durchgang verdoppelt sich die Zahl der richtigen Stellen. Aus $10^{-4}$ wird $10^{-8}$, daraus $10^{-16}$. Deshalb genügen typisch drei bis vier Durchgänge.

14.2 Im Mehrdimensionalen

Bei mehreren Unbekannten tritt an die Stelle der Tangente die Ebene, die sich an alle Richtungen zugleich anschmiegt. Ihre Steigungen stehen in der Jacobi-Matrix:

$$J_{ik} = \frac{\partial F_i}{\partial x_k}$$

Aus der Division wird eine Auflösung eines linearen Gleichungssystems:

$$\boxed{\;\mathbf{J}\,\boldsymbol{\Delta} = -\mathbf{F}, \qquad \mathbf{x} \leftarrow \mathbf{x} + \boldsymbol{\Delta}\;}$$

Das ist die ganze Vorschrift. Der Aufwand steckt darin, $\mathbf{J}$ aufzustellen und das System aufzulösen — und beides geschieht in jedem Newton-Durchgang jedes Zeitschritts neu, weil $\mathbf{J}$ vom Arbeitspunkt abhängt.

15. Die Jacobi-Matrix, Eintrag für Eintrag

15.1 Die Abkürzungen

Vier Diodenleitwerte kommen vor. Man führt sie als Abkürzung ein, sonst wird es unübersichtlich:

$$g_1 = g_d(u_a - u_P)\ \text{(D1)},\qquad g_2 = g_d(u_b - u_P)\ \text{(D2)}$$ $$g_3 = g_d(-u_a)\ \text{(D3)},\qquad\quad\ \ g_4 = g_d(-u_b)\ \text{(D4)}$$

15.2 Die erste Zeile, ausführlich

$F_a$ nach $u_a$ abgeleitet, Glied für Glied:

$$\frac{\partial F_a}{\partial u_a} = g_1 + g_3 + G_{\min}$$

Beim zweiten Glied ist die Kettenregel die Stelle, an der sich die meisten vertun. Das innere Argument ist $-u_a$, seine Ableitung ist $-1$, und das äußere Minus des Zweigs kommt hinzu. Zwei Minuszeichen heben sich auf: der Beitrag ist positiv.

Die übrigen Einträge der ersten Zeile:

$$\frac{\partial F_a}{\partial u_b} = 0,\qquad \frac{\partial F_a}{\partial u_P} = -g_1,\qquad \frac{\partial F_a}{\partial i_q} = -1$$

15.3 Die ganze Matrix

$$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} g_1+g_3+G_{\min} & 0 & -g_1 & -1 \\[2pt] 0 & g_2+g_4+G_{\min} & -g_2 & +1 \\[2pt] -g_1 & -g_2 & \tfrac{1}{R}+g_1+g_2+G_{\min} & 0 \\[2pt] -1 & +1 & 0 & -R_i \end{pmatrix}$$

Drei Beobachtungen dazu.

Der Eintrag $J_{aa}$ enthält $g_1$ und $g_3$, also die Leitwerte beider Dioden, die an a hängen. Das ist kein Zufall — siehe Abschnitt 17.

Der Eintrag $J_{ab}$ ist null. In Teil 2 stand dort $-1/R_i$: der Quellzweig verband a und b unmittelbar. Jetzt läuft die Verbindung über die vierte Unbekannte.

Die letzte Zeile enthält keinen Leitwert, sondern $\pm 1$ und $-R_i$. Das ist die Handschrift der erweiterten Knotenanalyse.

Und man vergleiche sie mit der Matrix aus Abschnitt 12.4: es ist dieselbe. Was hier mühsam abgeleitet wurde, hat das Knotenpotentialverfahren dort unmittelbar aus der Zweigliste geliefert. Der Grund steht in Abschnitt 12.6.

15.4 Die Matrix hängt nicht von $u_q$ und $u_C$ ab

Beide gehen nur linear in $\mathbf{F}$ ein und verschwinden beim Ableiten. Praktisch heißt das: die Matrix muss zwar in jedem Newton-Durchgang neu gebildet werden, aber nur wegen der Diodenleitwerte.

16. Die Stempelregel — dasselbe ohne Ableiten

Man muss nicht ableiten. Es gibt eine Regel, die aus der Zweigliste direkt die Matrix erzeugt, und ein Simulationsprogramm arbeitet ausschließlich so. Sie ist nichts anderes als die Aufstellvorschrift aus Abschnitt 12.1, auf differentielle Leitwerte angewandt.

Für jedes Element mit einem Leitwert $g$ zwischen den Knoten $i$ und $k$:

$$+g \to J_{ii},\qquad +g \to J_{kk},\qquad -g \to J_{ik},\qquad -g \to J_{ki}$$

Liegt ein Ende auf Masse, entfällt alles, was diese Zeile oder Spalte beträfe — es bleibt nur der Diagonaleintrag.

Für jeden Zweig mit eigener Stromunbekannter stempelt man statt eines Leitwerts seine Inzidenz: $-1$ und $+1$ in die Zeile der Zweiggleichung und, gespiegelt, in die Spalte der Stromunbekannten.

Man geht die Liste einmal durch:

Man erhält dieselbe Matrix. Wer die Regel einmal verstanden hat, stellt Netzwerke beliebiger Größe auf, ohne je eine Ableitung zu bilden.

17. Zwei Proben für die Matrix

17.1 Die Symmetrie

Die Matrix ist symmetrisch. Das ist kein Zufall, sondern folgt daraus, dass jeder Zweig auf seine beiden Knoten gleich zurückwirkt — man sieht es an der Stempelregel unmittelbar.

Und sie ist die schärfste Rechenprobe, die zur Verfügung steht: ein vergessenes Minuszeichen oder eine vertauschte Kettenregel zerstört sie fast immer. Im Programm wird sie in jedem Prüflauf gemessen und ist exakt null.

17.2 Der Differenzenquotient

Die zweite Probe vergleicht die von Hand abgeleitete Matrix mit der numerisch gebildeten:

$$J_{ik} \approx \frac{F_i(\mathbf{x} + h\mathbf{e}_k) - F_i(\mathbf{x} - h\mathbf{e}_k)}{2h}$$

Der zentrale Differenzenquotient ist dem einseitigen vorzuziehen: sein Fehler geht mit $h^2$ statt mit $h$. Mit $h = 10^{-7}$ stimmen beide Matrizen an drei wirklichen Arbeitspunkten des Laufs auf $1{,}2\cdot10^{-8}$ überein.

Man prüfe an wirklichen Arbeitspunkten, nicht an ausgedachten. Sonst prüft man Zustände, die nie vorkommen — und übersieht die, die vorkommen.

18. GMIN — warum jeder Knoten einen Widerstand nach Masse braucht

18.1 Das Problem

Sperren alle vier Dioden, so sind ihre Leitwerte praktisch null. Dann hängt der Knoten P nur noch über $R$ am Kondensator, und a und b hängen nur noch an der Quellgleichung. Ohne einen Bezug gegen Masse wäre ihr Gleichtaktpotential unbestimmt: die Matrix wäre singulär, und das Programm bliebe stehen.

18.2 Die Abhilfe

SPICE löst das mit GMIN: jeder Knoten bekommt einen winzigen Leitwert gegen Masse, hier $10^{-9}$ S, also 1 GΩ. Er verfälscht nichts messbar, macht die Matrix aber unter allen Umständen regulär.

18.3 Wie knapp das ist — mit Zahlen

Der Vergleich zweier Zeitschritte aus dem laufenden Programm:

Die Leitwerte laufen über vierhundert Zehnerpotenzen. Das sind Zahlen, die kein Messgerät je sehen wird — aber die Shockley-Gleichung liefert sie, und das Verfahren rechnet mit ihnen weiter, ohne zu straucheln.

Das ist der Preis und zugleich der Vorzug dafür, ohne Näherung zu rechnen: es gibt keinen Umschaltpunkt, an dem das Modell springt.

Die Konditionszahl der Matrix bleibt dank der Erweiterung überall handhabbar — an drei wirklichen Arbeitspunkten des Laufs:

Zum Vergleich: das reine Knotenpotentialverfahren käme im Sperrfall auf $10^{12}$.

19. Das System auflösen

Vorweg: man invertiert die Matrix nicht. Der Gedanke liegt nahe — man kennt $\mathbf{Y}$ und $\mathbf{i}$ und möchte $\mathbf{u} = \mathbf{Y}^{-1}\mathbf{i}$ bilden —, führt aber aus drei Gründen am Ziel vorbei.

Es ist teurer. Eine Inverse zu bilden kostet ungefähr dreimal so viel wie das System einmal zu lösen, und gebraucht wird sie nur für diese eine rechte Seite. Bei 78 819 Auflösungen fällt das ins Gewicht.

Es ist ungenauer. Die Inverse einer schlecht konditionierten Matrix ist selbst mit Fehlern behaftet; multipliziert man sie anschließend mit $\mathbf{i}$, so kommen deren Fehler noch hinzu. Die Zerlegung löst unmittelbar und ist nachweislich rückwärtsstabil. Bei $R_i \to 0$ und sperrenden Dioden — den Fällen, in denen die Konditionszahl auf $10^6$ steigt — ist das kein akademischer Unterschied.

Und sie ist voll besetzt. $\mathbf{Y}$ ist bei großen Netzwerken dünn besetzt, die Inverse ist es nie. Bei tausend Knoten wären das eine Million Zahlen statt einiger Tausend.

Ein Simulationsprogramm zerlegt deshalb, statt zu invertieren: einmal $\mathbf{Y} = \mathbf{L}\mathbf{U}$, dann Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen.

Gauß oder Gauß-Jordan. Beide Namen begegnen einem, und sie bezeichnen nicht dasselbe. Das Gauß-Verfahren bringt die Matrix auf obere Dreiecksform und setzt dann von unten nach oben zurück; das ist die LU-Zerlegung. Das Gauß-Jordan-Verfahren räumt auch oberhalb der Diagonalen aus, bis die Einheitsmatrix dasteht — das kostet rund die Hälfte mehr und lohnt nur, wenn man die Inverse wirklich braucht. Für eine einzelne rechte Seite nimmt man Gauß.

Bei vier Unbekannten kann man das System auf drei Weisen lösen.

Mit einer Bibliotheksroutine. So macht es das Lehrprogramm: numpy.linalg.solve ruft LAPACK auf und rechnet dort eine LU-Zerlegung mit Teilpivotierung — also das Gauß-Verfahren mit Zeilentausch.

Mit dem Gauß-Verfahren von Hand. Lehrreich, aber bei vier Unbekannten schon mühsam. Wichtig ist der Zeilentausch, denn bei $R_i = 0$ steht eine Null auf der Hauptdiagonalen der letzten Zeile.

Durch Elimination von Hand. Für dieses System besonders lohnend, weil seine Struktur so viel hergibt. Aus der ersten Gleichung folgt unmittelbar

$$\Delta i_q = g_1\!\cdot\!\Delta u_a\ \text{(sinngemäß)} \dots$$

genauer: mit $d_1 = g_1+g_3+G_{\min}$ liefert die erste Zeile

$$\Delta i_q = d_1\,\Delta u_a - g_1\,\Delta u_P - b_1$$

Setzt man das in die vierte Zeile ein, so erhält man $\Delta u_b$ als Funktion von $\Delta u_a$ und $\Delta u_P$, und es bleiben zwei Gleichungen für zwei Unbekannte — die man mit der Kreuzregel löst. Rund dreißig Rechenschritte statt eines vollen Gauß-Verfahrens.

So rechnet der Dashboard-Kern: er eliminiert den Quellstrom von Hand und löst die verbleibenden zwei Gleichungen mit der Cramerschen Regel. Das ist kein Selbstzweck: bei zwanzigtausend Zeitschritten und vier Durchgängen je Schritt macht es den Unterschied zwischen 6,8 und 14,8 Mikrosekunden je Zeitschritt — also zwischen anderthalbfacher Echtzeit und dreiviertel Echtzeit.

20. Die Dämpfung — ohne sie geht es nicht

Ein ungedämpfter Newton-Schritt kann bei Dioden verheerend sein. Wir hatten in Abschnitt 7 festgehalten: $nV_T = 45{,}3$ mV, und eine Änderung von einem Volt ändert den Strom um den Faktor $3{,}6\cdot10^{9}$.

Ein Schritt, der die Diodenspannung um mehrere Volt verwirft, führt in einen Bereich, in dem der Exponent überläuft und die Ableitung jede Bedeutung verliert. Das Verfahren findet von dort nicht mehr zurück.

Die Abhilfe ist schlicht: jede Komponente von $\boldsymbol{\Delta}$ wird auf einen Höchstwert begrenzt, hier 0,5 V.

$$\Delta_i \leftarrow \max(-0{,}5\ \text{V},\ \min(0{,}5\ \text{V},\ \Delta_i))$$

Das kostet ein paar Durchgänge mehr und macht das Verfahren dafür zuverlässig. Im eingeschwungenen Betrieb greift die Begrenzung übrigens nie — nur beim Einschalten und beim Umschwingen.

Ergänzend wird der Exponent selbst begrenzt, rein gegen den Überlauf. Im konvergierten Ergebnis wird diese Grenze nie erreicht; sie fängt allein Zwischenschritte ab.

21. Das Abbruchkriterium

Zwei Bedingungen müssen beide erfüllt sein:

$$\max_i |F_i| < 10^{-12}\ \text{A} \qquad\text{und}\qquad \max_i |\Delta_i| < 10^{-12}\ \text{V}$$

Nur die erste zu prüfen genügt nicht: $\mathbf{F}$ kann klein sein, während die Lösung noch wandert — etwa bei einer flachen Kennlinie. Nur die zweite genügt auch nicht: ein gedämpfter Schritt kann klein sein, ohne dass man nahe an der Lösung wäre.

Und man braucht eine Notbremse: eine Höchstzahl von Durchgängen. Wird sie erreicht, ist etwas faul, und das Programm soll es sagen statt endlos zu rechnen.

TEIL V — VERFAHREN 3: DER EXPLIZITE EULER

22. Der explizite Euler

22.1 Herleitung

Die Differentialgleichung lautet

$$\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = f(u_P, u_C)$$

Man ersetzt die Ableitung durch den Differenzenquotienten nach vorn:

$$\frac{u_C^{k+1} - u_C^{k}}{\Delta t} \approx f\big(u_P^k, u_C^k\big)$$

und löst nach dem neuen Wert auf:

$$\boxed{\;u_C^{k+1} = u_C^{k} + \Delta t\;f\big(u_P^k, u_C^k\big)\;}$$

Man bildet die Steigung am Anfang des Schritts und geht mit ihr geradeaus weiter. Das ist der explizite Euler — das einfachste Verfahren, das es gibt, und für den Einstieg das durchsichtigste.

22.2 Seine Ordnung

Der Fehler eines Schrittes geht mit $\Delta t^2$, der aufsummierte Fehler über eine feste Zeitspanne mit $\Delta t$. Das Verfahren ist von erster Ordnung: halbiert man die Schrittweite, so halbiert sich der Fehler.

Das ist nicht nur eine Angabe im Lehrbuch, sondern eine Prüfvorschrift. Misst man das Verhältnis und findet nicht 2, so stimmt etwas nicht — siehe Abschnitt 31.

22.3 Die Wahl der Schrittweite

Drei Zeitkonstanten kommen in dieser Schaltung vor:

Die kürzeste bestimmt die Schrittweite. Mit $\Delta t = 10\ \mu$s liegen tausend Schritte auf einer Ladezeitkonstante und zweitausend auf einer Periode — reichlich. Die Schrittweitenstudie bestätigt es: der Fehler beträgt dann 1,9 mV auf 20,7 V.

Die Diode begrenzt die Schrittweite nicht. Ihre Kennlinie ist beliebig steil, enthält aber keine Zeitkonstante — sie ist algebraisch und Sache von Newton, nicht von Euler.

23. Wie schnell sich die Kondensatorspannung ändern kann

Der Euler schreibt $u_C$ fort. Wie groß der Zeitschritt dabei sein darf, entscheidet sich an einer einzigen Frage: wie schnell ändert sich $u_C$? Diese Frage lässt sich in Schaltungsgrößen beantworten, ohne den Umweg über allgemeine Betrachtungen.

23.1 Die Änderungsgeschwindigkeit

Aus dem Knotensatz am Kondensatorknoten folgt unmittelbar

$$\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{C}\left(\underbrace{\frac{u_P - u_C}{R}}_{\text{was ankommt}} - \underbrace{\frac{u_C}{R_L}}_{\text{was die Last zieht}}\right)$$

Beide Ströme sind bekannt, sobald die Matrixgleichung gelöst ist: $u_P$ ist eine ihrer Unbekannten, $u_C$ ist die Zahl vom Schrittbeginn.

Für die Schrittweite kommt es darauf an, wie stark diese Änderungsgeschwindigkeit auf eine Änderung von $u_C$ selbst reagiert. Steigt $u_C$ um $\delta$, so sinkt der ankommende Strom, und der Laststrom steigt:

$$\frac{\partial \dot u_C}{\partial u_C} = \frac{1}{RC}\left(\frac{\partial u_P}{\partial u_C} - 1\right) - \frac{1}{R_LC} \;=:\; \lambda$$

Der Term $\partial u_P/\partial u_C$ sagt, wie stark der Brückenausgang der Kondensatorspannung folgt. Er liegt zwischen zwei anschaulichen Grenzfällen:

• Alle Dioden sperren. Dann ist P nur noch über $R$ mit dem Kondensator verbunden, es fließt kein Strom, und $u_P$ folgt $u_C$ vollständig: $\partial u_P/\partial u_C = 1$. Dann bleibt $\lambda = -1/(R_LC)$ — der Kondensator entlädt sich nur über die Last.
• Die Dioden leiten kräftig. Dann hält die Quelle den Knoten P fest, und $u_P$ reagiert kaum: $\partial u_P/\partial u_C \approx 0$. Dann ist $\lambda \approx -1/(RC) - 1/(R_LC)$ — Vorwiderstand und Last wirken zusammen.

Mit $R = 10\ \Omega$, $R_L = 100\ \Omega$ und $C = 1000\ \mu$F sind das $-10$ 1/s beziehungsweise $-110$ 1/s, entsprechend Zeitkonstanten von 100 ms und 9,1 ms.

23.2 Nachgemessen

Die beiden Grenzfälle sind keine Rechnung auf dem Papier — sie treten im Lauf tatsächlich auf. An drei Arbeitspunkten gemessen:

Der Sperrfall trifft die Grenze exakt, der Leitfall kommt ihr auf zwei Prozent nahe. Die schnellste Änderung, mit der zu rechnen ist, entspricht also einer Zeitkonstante von 9,1 ms.

23.3 Stabilität und Schrittweite

Der explizite Euler bleibt stabil, solange die Änderung eines Schrittes das Ziel nicht überschießt, also solange $|1 + \lambda\,\Delta t| \le 1$ gilt:

$$\Delta t \;\le\; \frac{2}{|\lambda|_{\max}} = \frac{2}{110\ \text{1/s}} = 18{,}2\ \text{ms}$$

Mit $\Delta t = 10\ \mu$s liegt man um mehr als drei Zehnerpotenzen darunter. Die Schrittweite wird hier also nicht von der Stabilität bestimmt, sondern von der Genauigkeit — die Ladestromstöße dauern nur wenige Millisekunden und sollen aufgelöst werden.

Das lässt sich am Ergebnis ablesen. Derselbe Lauf mit verschiedenen Schrittweiten:

Drei Dinge stehen in dieser Tabelle.

Der Fehler wächst linear — von 5 auf 10 auf 20 auf 40 µs verdoppelt er sich jedes Mal. Das ist die erste Ordnung, unmittelbar sichtbar.

Nichts bricht zusammen, auch nicht bei 1 ms. Das bestätigt die Stabilitätsrechnung: bis 18 ms bleibt das Verfahren stabil, der Fehler wird nur größer.

Newton braucht mehr Durchgänge, je größer der Zeitschritt ist — von 3,64 auf 17,7 im Mittel. Der Grund ist einleuchtend: der Startwert für Newton ist der Arbeitspunkt des vorigen Zeitschritts, und je weiter der zurückliegt, desto schlechter ist er. Ein großer Zeitschritt spart also weniger Rechenzeit, als die Schrittzahl vermuten lässt.

TEIL VI — DIE VERSCHRÄNKUNG DER DREI VERFAHREN

24. Der Ablauf

Drei Ebenen, ineinandergelegt:

Als Erzählung:

Ausgangsstellung: Kondensator entladen, Potentiale null.

Ein Zeitschritt beginnt. Die Quellspannung wird ausgerechnet. $u_C$ steht fest und bleibt diesen ganzen Zeitschritt unverändert.

Ein Newton-Durchgang besteht aus drei Handgriffen: Diodenleitwerte am derzeitigen Arbeitspunkt bilden, damit die Matrix füllen, die Matrixgleichung einmal lösen. Aus der Lösung folgt ein besserer Arbeitspunkt.

Das wird wiederholt, bis sich die Potentiale nicht mehr ändern — drei bis sechs Mal, und jedes Mal wird die Matrixgleichung neu gelöst.

Erst dann der Euler-Schritt: $u_C$ wird fortgeschrieben.

Nächster Zeitschritt.

Dasselbe mit Zählern — $k$ für die Zeitschritte, $m$ für die Durchgänge:

u_C = 0 ,  u = 0

für k = 0, 1, 2, … :                                   ZEITSCHLEIFE
    u_q = U · sin(2π f k Δt)

    für m = 1, 2, 3, … , Start: die Lösung von k−1     NEWTON-SCHLEIFE
        g_d , I_eq der vier Dioden am Arbeitspunkt u
        Y und i stempeln
        Y · u_neu = i   auflösen
        u ← u + begrenze( u_neu − u )
    bis sich u nicht mehr ändert

    i_R = (u_P − u_C)/R ,  i_RL = u_C/R_L
    u_C ← u_C + Δt · (i_R − i_RL)/C                    EULER

25. Die Reihenfolge der Ebenen

Das Gleichungssystem wird vollständig gelöst, und erst danach folgt der nächste Newton-Schritt. Newton-Schritte liegen nicht im Lösen: Newton bildet den nächsten Arbeitspunkt aus der Lösung des linearisierten Systems, und eine halb gelöste Gleichung liefert keinen Arbeitspunkt.

Eine Ebene höher gilt dasselbe: der Euler-Schritt folgt, wenn Newton fertig ist. Damit:

Jede innere Ebene wird fertig, bevor die äußere ihren nächsten Schritt tut.

25.1 Was in jeder Ebene wiederholt wird — und was nicht

Der Euler ist also gar keine Iteration: er rechnet nicht denselben Zeitpunkt besser und besser, sondern geht zum nächsten weiter. Es gibt dort kein Konvergenzkriterium.

25.2 Beim Auflösen ist die Matrix eingefroren

Für die Dauer einer Auflösung besteht die Matrix aus lauter festen Zahlen. Dafür sorgen Newton und Euler unmittelbar vorher — aber in verschiedenem Takt:

Daran sieht man auch, warum die Wiederholung endet: $u_C$ steht still, und nur die Diodenleitwerte laufen auf die Lösung zu, zu der sie gehören. Erst wenn sie angekommen sind, rührt der Euler den Zustand an.

25.3 Woher jede Schleife kommt

Dieselbe Schaltung mit verschiedenen Bauelementen:

Die Nichtlinearität erzeugt die Newton-Schleife, der Energiespeicher die Zeitschleife. Das Auflösen selbst erzeugt keine.

26. Das Auflösen der Matrixgleichung

Newton bestimmt, welche Matrixgleichung gelöst wird, und entscheidet über die Wiederholung. Das Lösen selbst ist lineare Algebra und geschieht mit einem eigenen Verfahren: