Dieses Blatt geht dem Manuskript Segway — vom vorhandenen Code zur ausgelegten Regelung (Fassung 6, 29. September 2026) voran. Es zeigt in sieben Bildern, wie das Gerät, sein Modell, die Simulation, die Firmware und der Hardwaretest zusammenhängen. In den Bildern stehen alle Größen als Variablen; die Tabellen nennen ihre Werte und die Seite des Manuskripts, auf der sie hergeleitet oder gemessen sind. Was in den Bildern steht, ist die Struktur der Firmware segway_regelung.ino, des Python-Modells segway_modell.py und des Labors segway_labor_modell.js — nachgewiesen im Prüfprotokoll PRUEFPROTOKOLL_Einfuehrung.pdf.

1 · Das Gerät

2 · Die reale Strecke und das abgetastete System

Die Strecke ist das Fahrzeug selbst: sein Aufbau kippt um die Radachse, angetrieben über die Geschwindigkeit der Räder. Im Streckenblock steht die Bewegungsgleichung, aus ihr die Übertragungsfunktion; der Sensor misst, das abgetastete System im ESP32 rechnet in vier Schichten und speist die Strecke mit der Schrittfrequenz.

3 · Dieselbe Struktur als Simulation

An die Stelle der realen Strecke tritt das Rechenmodell; das abgetastete System bleibt Zeile für Zeile dasselbe.

4 · Dieselbe Struktur am Gerät: die Peripherie des ESP32

5 · Die Hardwaremodule

6 · Der Hardwaretest und das Nachziehen des Reglers

Was das Modell vorhersagt, wird am Gerät gemessen: die Laptop-Kamera filmt die Seitenansicht, die Synchron-LED des ESP32 setzt dieselbe Zeitmarke ins Video und in den Mitschnitt, die Bildauswertung liefert den Winkel unabhängig vom Sensor, und die Stoßantwort gibt Eigenfrequenz und Abklingzeit des realen Kreises. Stimmen sie mit dem Modell, ist es belegt; wenn nicht, werden erst die Streckengrößen nachgeführt und dann die Beiwerte in der Simulation neu ausgelegt und in den ESP32 geschrieben.

7 · Das Gerät

Tabellen: die Größen, ihre Werte und ihre Herkunft

Die Größen der Strecke (Werte: Messung 28.09.2026 und Konstruktion, S. 11)

Die Größen des abgetasteten Systems (Werte aus dem Quelltext der Firmware gelesen, S. 37)

Die Signale zwischen den Blöcken

Die Seitenzahlen beziehen sich auf MANUSKRIPT_Segway_Gesamt_F6.pdf; sie werden beim Bau aus dem gesetzten PDF gelesen.

Fassung 6 · 29. September 2026 (Erstfassung 25. August 2026; Fassung 5 am 28. September: Neuordnung entlang des roten Fadens und gemessene Streckengrößen; Fassung 6: Zustandsmodell, Übertragungsfunktion und geschlossener Kreis im Laplace- und z-Bereich, Prüfprotokoll des Modellkapitels, Bilder neu gezeichnet)

1 Worum es geht

Ausgangspunkt sind drei laufende Fassungen einer Segway-Regelung: die von xxxx xxxx aus dem Praxissemester, die studentische Laborarbeit von xxx xxxxxxxxx und xxxxx xxxxxxx, und eine eigene Neuentwicklung. Alle drei balancieren. Keine von ihnen ist ausgelegt — die Beiwerte sind erprobt, nicht gerechnet, und sie sind untereinander weitergereicht worden, ohne dass nachgeprüft worden wäre, was sie physikalisch bedeuten.

Dieses Manuskript tut beides. Es rechnet nach, was die vorhandenen Fassungen tun und warum sie funktionieren, und es legt daraus eine Regelung aus, die nicht erprobt, sondern gerechnet ist — nachgewiesen am Modell, bevor sie das erste Mal läuft.

Die Leitlinie für den Entwurf:

1. Stabilität hat Vorrang vor jeder anderen Eigenschaft.
2. Die Einheiten sind strikt zu trennen, solange die Trennung das System nicht verschlechtert: Winkelerfassung mit Filterung, dann Regler, dann Motoreinheit. Darüber liegt die dynamische Nullpunktkorrektur.
3. Ist der Istwinkel null, darf sich das Fahrzeug nicht bewegen.
4. Sollwertvorgabe, Datenaufzeichnung und Weboberfläche dürfen diesen Ablauf nicht stören.
5. Kein toter Code, keine unbenutzten Größen.
6. Alles nachrechnen und simulieren, nichts annehmen.

1.1 Der Aufbau des Manuskripts

Der rote Faden: erst das Gesamtsystem als reines Modell — hergeleitet, mit den Mess- und Zeichnungsdetails belegt —, dann die Schnittstellen zur realen Hardware und zum abgetasteten Regler, daraus die Anforderungen, dann der digitale Regler und schließlich der geschlossene Kreis in der Simulation mit der Korrektur der Reglerparameter.

Jede Aussage nennt, woher sie kommt: aus dem Quelltext, aus dem Datenblatt, aus der Rechnung oder aus einer Schätzung. Wo etwas geschätzt ist, wird die Empfindlichkeit dagegen mitgerechnet.

2 TEIL I — Das Gesamtsystem und der rote Faden

2.1 Das Gerät, das modelliert wird

Gegenstand ist ein zweirädriges Einachsfahrzeug, das sich selbsttätig aufrecht hält. Es entstand als studentisches Laborprojekt „Regelungstechnik 2” (xxx xxxxxxxxx, xxxxx xxxxxxx, Stand 29. April 2026) und arbeitet im Versuch.

Der Aufbau besteht aus einem ESP32, zwei Schrittmotoren mit Treibern in Schritt-Richtungs-Ansteuerung, einem MPU6050 als Lagesensor und einem Akkupack. Bedient wird das Fahrzeug über eine Weboberfläche, die der ESP32 als eigenes WLAN bereitstellt.

Anlass der vorliegenden Untersuchung war die Frage, ob der vorhandene Reglercode das tut, was seine Beschriftung und der Laborbericht angeben. Um das zu klären, wurde ein physikalisches Modell des Fahrzeugs erstellt, in dem der Regelcode Zeile für Zeile nachgebildet ist. Das Modell dient nicht der Vorhersage einzelner Zahlenwerte, sondern der Beantwortung von Fragen, die am laufenden Gerät nur schwer zu trennen sind: welcher Anteil des Reglers welche Aufgabe erfüllt, wo die Grenzen liegen und welche Größe sie setzt.

Alle Kenngrößen sind in Anhang D nach ihrer Herkunft aufgeschlüsselt. Sechs Größen des mechanischen Aufbaus sind geschätzt; ihre Wirkung ist jeweils durchgerechnet und angegeben.

2.2 Das Vorgehen — der rote Faden

Eine Regelung, die gerechnet und nicht erprobt ist, entsteht in einer festen Reihenfolge; dieses Manuskript folgt ihr Teil für Teil:

Was die studentischen Fassungen tun und warum sie funktionieren, ist im Anhang F als Bestandsaufnahme festgehalten; der Faden oben braucht sie nicht.

2.3 Das Modell in einem Bild

Das Modell besteht aus fünf Gliedern, die im Takt der Firmware (4 ms) hintereinander gerechnet werden; die Mechanik läuft dazwischen in 32 Feinschritten (125 µs):

3 TEIL II — Die Strecke: exakte Herleitung, gemessene Zahlen, Zustandsmodell und Übertragungsfunktion

3.1 Warum die Bauart des Antriebs die Modellklasse bestimmt

In der Lehrbuchaufgabe „inverses Pendel auf dem Wagen” ist die Stellgröße eine Kraft auf den Wagen. Der Wagen hat eine Masse, die Kraft erzeugt eine Beschleunigung, und die Rückwirkung des Pendels verändert die Wagenbewegung.

Bei Schrittmotoren ist das anders. Der Treiber gibt Schrittimpulse aus; jeder Impuls dreht die Welle um einen festen Winkel. Solange das Motormoment ausreicht, folgt die Welle. Damit ist nicht die Kraft vorgegeben, sondern die Geschwindigkeit:

$$v = \frac{2\pi r}{N_s}\, f$$

mit dem Radradius $r$, der Schrittzahl je Umdrehung $N_s$ und der Schrittfrequenz $f$. Für den Aufbau ($r = 32$ mm gemessen, $N_s = 1600$: 200 Vollschritte, achtfacher Mikroschritt) sind das $0,1257$ mm je Schritt — bei 1000 Hz also 0,126 m/s.

Das hat drei Folgen, die den ganzen Entwurf prägen:

1. Die Rückwirkung des Pendels auf den Wagen entfällt. Der Wagen fährt, was ihm befohlen wird — bis das Motormoment nicht mehr reicht.
2. Damit ist die Radgeschwindigkeit ohne Geber bekannt: sie ist die ausgegebene Frequenz. Darauf beruht die Nullpunktkorrektur in Teil VI.
3. Die Grenze der Gültigkeit ist die Beschleunigung. Fordert der Regler mehr, als das Moment hergibt, gehen Schritte verloren — und dann stimmt weder Punkt 1 noch Punkt 2. Deshalb ist $A_\mathrm{max}$ die einzige Größe, die gemessen werden muss.

Damit steht der Eingang der Strecke fest: die Sollgeschwindigkeit $u = v_\mathrm{soll}$ der Achse (in der Firmware als Schrittfrequenz ausgegeben). Der Ausgang, den der Regler braucht, ist die Neigung $\vartheta$; was der Sensor davon liefert, behandelt Teil III. Alles Weitere in diesem Teil dient dem einen Ziel, den Weg vom Eingang zum Ausgang ohne Lücke aufzuschreiben: erst als nichtlineare Bewegungsgleichung, dann mit den gemessenen Zahlen, dann linearisiert als Zustandsmodell und Übertragungsfunktion, schließlich als Rechenmodell mit Nachweis.

3.2 Die Bewegungsgleichung

3.2.1 Ansatz und Koordinaten

Betrachtet wird die Ebene: $x$ waagerecht in Fahrtrichtung, $y$ senkrecht nach oben. Der Aufbau ist ein starrer Körper, drehbar um die Radachse. Der Neigungswinkel $\vartheta$ wird von der Senkrechten aus gemessen und ist positiv, wenn der Aufbau nach vorn kippt.

Der Schwerpunkt liegt im Abstand $l$ längs der Körperachse und um $s$ quer dazu versetzt. Der Querversatz ist der entscheidende Punkt: er ist im wirklichen Aufbau nie null, und er ist die Ursache dessen, was später als Nullpunktfehler behandelt wird.

Mit dem Einheitsvektor längs der Körperachse $\mathbf{u} = (\sin\vartheta,\ \cos\vartheta)$ und dem dazu senkrechten $\mathbf{w} = (\cos\vartheta,\ -\sin\vartheta)$ lautet die Lage des Schwerpunkts gegenüber der Radachse

$$\mathbf{r} = l\,\mathbf{u} + s\,\mathbf{w} = \begin{pmatrix} l\sin\vartheta + s\cos\vartheta \\ l\cos\vartheta - s\sin\vartheta \end{pmatrix}$$

3.2.2 Momentenbilanz über die virtuelle Arbeit

Die Radachse ist ein beschleunigter Drehpunkt. Im mitbewegten Bezugssystem wirkt deshalb neben der Schwerkraft eine Trägheitskraft $-m\ddot x$ am Schwerpunkt. Das verallgemeinerte Moment zu $\vartheta$ folgt aus der virtuellen Arbeit, $Q_\vartheta = \mathbf{F}\cdot\partial\mathbf{r}/\partial\vartheta$, mit

$$\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\vartheta} = \begin{pmatrix} l\cos\vartheta - s\sin\vartheta \\ -l\sin\vartheta - s\cos\vartheta \end{pmatrix}$$

Für die Schwerkraft $\mathbf{F}_g = (0,\ -mg)$:

$$Q_g = mg\,(l\sin\vartheta + s\cos\vartheta)$$

Für die Trägheitskraft $\mathbf{F}_i = (-m\ddot x,\ 0)$:

$$Q_i = -m\ddot x\,(l\cos\vartheta - s\sin\vartheta)$$

Mit der Lagerreibung $-d\,\dot\vartheta$ und einem äußeren Störmoment $M$ lautet die Bewegungsgleichung

$$\boxed{\;J\,\ddot\vartheta = mg\,(l\sin\vartheta + s\cos\vartheta) - m\,\ddot x\,(l\cos\vartheta - s\sin\vartheta) - d\,\dot\vartheta + M\;}$$

$J$ ist das Trägheitsmoment um die Radachse, also nach Steiner $J = J_S + m(l^2+s^2)$. In der Gleichung treten die Größen nur in zwei Verhältnissen auf: $J/(m\,l)$ bestimmt die Kippdynamik, $s/l$ den Gleichgewichtswinkel. Genau das erste Verhältnis liefert das Radpendel (Abschnitt „Die Zahlen der Strecke“), ohne dass $J$ und $l$ einzeln gemessen werden müssten.

Kein Glied ist genähert. Der Anteil $+m\ddot x\,s\sin\vartheta$ ist mit 0,06 bis 0,13 Prozent des Schwerkraftmoments klein, steht aber mit da, damit die Gleichung ohne Vorbehalt gilt.

3.3 Die Zahlen der Strecke: gemessen, gewogen, aus den Zeichnungen gerechnet

Warum das Radpendel die richtige Messung ist: für ein physikalisches Pendel um die Radachse gilt $T_p = 2\pi\sqrt{J/(m g l)}$ — genau die Wurzel, die als Kippzeitkonstante der aufgerichteten Strecke auftritt. Weder $l$ noch ein Abstand einer Hilfsachse gehen ein. Das erste Video mit dem Fahrzeug an einer von Hand gehaltenen Schnur war dagegen ein Doppelpendel (Schnur um die Hand, Körper um die Schnur; Perioden 1,013 s und 0,510 s im Verhältnis 1,99) und ließ nur eine Spanne zu; es ist im Maßblatt dokumentiert.

3.4 Gleichgewichtswinkel und Kippzeitkonstante mit den gemessenen Zahlen

Steht das Fahrzeug ($\ddot x = 0$, $\dot\vartheta = 0$, $\ddot\vartheta = 0$), so verlangt die Bewegungsgleichung

$$l\sin\vartheta + s\cos\vartheta = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\vartheta_\mathrm{gl} = -\arctan\frac{s}{l}}$$

Das ist die zentrale Aussage für die spätere Nullpunktkorrektur: der Gleichgewichtspunkt ist nicht die Senkrechte, sobald der Schwerpunkt seitlich versetzt ist. Mit der gemessenen Schwerpunkthöhe $l = 44{,}5$ mm ist der Hebel kurz, und jeder Millimeter Versatz wiegt schwer:

Ein halber Millimeter ist die Genauigkeit, mit der ein Akku sitzt oder ein Kabel liegt. Keine Kalibrierung des Sensors kann das erfassen, denn der Sensor misst richtig — falsch ist der Sollwert des Reglers. (Der Nachweis in Teil VII zeigt, dass die Schicht 4 bis 3 mm Versatz verträgt und bei 4 mm an ihren Anschlag von 6° stößt.)

Ohne Antrieb und für kleine Winkel wird aus der Bewegungsgleichung

$$J\,\ddot\vartheta = mgl\,\vartheta \qquad\Longrightarrow\qquad \vartheta(t) = \vartheta_0\cosh\frac{t}{T},\quad T = \sqrt{\frac{J}{mgl}}$$

$T$ ist das Maß dafür, wie schnell das Fahrzeug ist. Mit den gemessenen Zahlen ($m = 1,247$ kg, $l = 44{,}5$ mm, $J = 6,20\cdot10^{-3}$ kg m², also $m g l = 0,5445$ Nm) sind es

$$T = 106,7\ \mathrm{ms}$$

— dieselbe Zahl, die das Radpendel unmittelbar liefert ($T_p/(2\pi)$), denn hängend und aufgerichtet steht dieselbe Wurzel $\sqrt{J/(mgl)}$ in der Lösung; nur wird aus dem $\cosh$ des Kippens der $\cos$ des Schwingens. Zum Vergleich: der Aufbau von xxxx kommt mit einem Schwerpunkt 0,28 m über der Achse auf 0,195 s und ist damit die deutlich leichtere Regelaufgabe; der Entwurf vom 25. August rechnete mit geschätzten 128 ms.

3.5 Die Strecke als Übertragungssystem: Zustandsmodell und Übertragungsfunktion

Für den Reglerentwurf wird die Strecke um die aufrechte Lage linearisiert ($\sin\vartheta\approx\vartheta$, $\cos\vartheta\approx 1$, Produkte kleiner Größen gestrichen) und als System mit Eingang, Zuständen und Ausgang aufgeschrieben. Der Antrieb wird dabei — wie in Teil IV begründet — als Verzug erster Ordnung mit der Zeitkonstante $\tau_\mathrm{mot}$ zwischen befohlener und ausgeführter Geschwindigkeit angesetzt.

3.5.1 Zustandsgleichungen

Zustände $\mathbf x = (\vartheta,\ \omega,\ v)^\mathsf T$ — Neigung, Drehrate, Achsgeschwindigkeit; Eingang $u = v_\mathrm{soll}$; Störungen das äußere Moment $M$ und der Schwerpunktversatz $s$:

$$\dot\vartheta = \omega,\qquad \dot v = \frac{u - v}{\tau_\mathrm{mot}},\qquad J\,\dot\omega = m g l\,\vartheta - m l\,\dot v - d\,\omega + M + m g\,s$$

Mit $\dot v$ eingesetzt lautet das in Matrixform $\dot{\mathbf x} = \mathbf A\mathbf x + \mathbf B u + \mathbf B_M M + \mathbf B_s s$:

$$\mathbf A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\[2pt] \dfrac{m g l}{J} & -\dfrac{d}{J} & \dfrac{m l}{J\tau_\mathrm{mot}} \\[6pt] 0 & 0 & -\dfrac{1}{\tau_\mathrm{mot}} \end{pmatrix},\qquad \mathbf B = \begin{pmatrix} 0 \\[2pt] -\dfrac{m l}{J\tau_\mathrm{mot}} \\[6pt] \dfrac{1}{\tau_\mathrm{mot}} \end{pmatrix},\qquad \mathbf B_M = \begin{pmatrix} 0 \\ 1/J \\ 0 \end{pmatrix},\qquad \mathbf B_s = \begin{pmatrix} 0 \\ m g/J \\ 0 \end{pmatrix}$$

Mit den gemessenen Zahlen ($m = 1{,}248$ kg, $l = 44{,}5$ mm, $J = 6,196\cdot10^{-3}$ kg m², $d = 0{,}002$ Nms, $\tau_\mathrm{mot} = 2$ ms):

$$\mathbf A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 87,88 & -0,3228 & 4479,2 \\ 0 & 0 & -500 \end{pmatrix}\ \frac{1}{\mathrm s},\qquad \mathbf B = \begin{pmatrix} 0 \\ -4479,2 \\ 500 \end{pmatrix}$$

Die Ausgänge sind die wahre Neigung $y_1 = \vartheta$ (was der Regler eigentlich braucht), die Drehrate $y_2 = \omega$ (was der Kreisel liefert) und der Beschleunigungswinkel des Sensors (Teil III), der vor dem Tiefpass linear

$$y_3 = \vartheta - \frac{a_s}{g},\qquad a_s = \dot v + w\,\dot\omega$$

lautet und damit über $\dot v$ und $\dot\omega$ auch direkt vom Eingang abhängt ($y = \mathbf C\mathbf x + \mathbf D u$ mit $\mathbf D \neq 0$ in dieser Zeile — der Grund, warum die Stellgröße im Messwert erscheint, Teil V „Die schwierige Stelle“). Die Zahlenwerte aller Matrizen stehen in Modell/uebertragungsfunktion.json.

Die Eigenwerte von $\mathbf A$ sind die Pole der offenen Strecke:

$$\lambda_{1,2} = \frac{-d \pm \sqrt{d^2 + 4 J m g l}}{2J} = 9,21\ \mathrm{s^{-1}},\ -9,54\ \mathrm{s^{-1}},\qquad \lambda_3 = -\frac{1}{\tau_\mathrm{mot}} = -500\ \mathrm{s^{-1}}$$

Der positive Eigenwert ist das Kippen: $1/T = 9,37$ s⁻¹, um die kleine Reibung verschoben ($\lambda_1\lambda_2 = -mgl/J = -1/T^2$ exakt).

3.5.2 Die Übertragungsfunktion im Laplace-Bereich

Laplace-Transformation der Zustandsgleichungen (Anfangswerte null) und Auflösen nach $\Theta(s)$ ergibt

$$\boxed{\;G_u(s) = \frac{\Theta(s)}{V_\mathrm{soll}(s)} = \frac{-\,m l\, s}{(1 + \tau_\mathrm{mot} s)\,(J s^2 + d s - m g l)}\;} \qquad G_M(s) = \frac{\Theta(s)}{M(s)} = \frac{1}{J s^2 + d s - m g l}$$

Mit $T^2 = J/(mgl)$ und $2\delta T = d/(mgl)$ in Normalform:

$$G_u(s) = -\,\frac{1}{g}\cdot\frac{s}{(1 + \tau_\mathrm{mot} s)\,(T^2 s^2 + 2\delta T s - 1)}, \qquad T = 106,7\ \mathrm{ms},\ \delta = 0,0172$$

Drei Eigenschaften, die den ganzen Entwurf bestimmen, stehen darin offen:

Der Antriebspol $-1/\tau_\mathrm{mot}$ liegt fünfzigmal weiter links als die Kippbewegung und begrenzt den Kreis erst bei Verstärkungen weit über dem Entwurf (Teil VII, Reserven).

Probe (zwei Wege). Die Polynomform wurde an vier Stellen $s$ gegen $\mathbf C(s\mathbf I - \mathbf A)^{-1}\mathbf B$ aus dem Zustandsmodell gerechnet: Abweichung 1,0·10⁻14 relativ für $G_u$, 9,7·10⁻16 für $G_M$ — also dieselbe Funktion, einmal von Hand hergeleitet, einmal numerisch aus den Matrizen.

3.5.3 Die Abtastform: was der Regler alle 4 ms vorfindet

Der Regler greift alle $T_a = 4$ ms ein und hält die Stellgröße dazwischen fest (Halteglied nullter Ordnung, Teil IV). Dafür hat das lineare Modell eine exakte Lösung:

$$\mathbf x[k+1] = \mathbf\Phi\,\mathbf x[k] + \mathbf\Gamma\,u[k],\qquad \mathbf\Phi = e^{\mathbf A T_a},\quad \mathbf\Gamma = \mathbf A^{-1}(\mathbf\Phi - \mathbf I)\,\mathbf B$$

$$\mathbf\Phi = \begin{pmatrix} 1,000703 & 0,003998 & 0,020335 \\ 0,351385 & 0,999412 & 7,7422 \\ 0 & 0 & 0,135335 \end{pmatrix},\qquad \mathbf\Gamma = \begin{pmatrix} -0,020335 \\ -7,7422 \\ 0,864665 \end{pmatrix}$$

Die Eigenwerte von $\mathbf\Phi$ sind $e^{\lambda_i T_a}$: 0,135335, 0,962569, 1,037546 — der Kipp-Eigenwert $1{,}0375$ heißt: ohne Regler wächst eine Neigung je Takt um 3,75 Prozent. Der Simulator (nächster Abschnitt) rechnet dieselbe Strecke mit 32 expliziten Euler-Schritten je Takt; sein $\mathbf\Phi$ stimmt im Mechanikblock ($\vartheta$, $\omega$) auf 2,2·10⁻5 relativ mit $e^{\mathbf A T_a}$ überein. Nur die Antriebszeile ($e^{-T_a/\tau_\mathrm{mot}} = 0{,}135$) trifft Euler bei $T_a/\tau_\mathrm{mot} = 2$ mit 6,3 Prozent Fehler — genau der Wert, den $(1 - 2/32)^{32}$ gegen $e^{-2}$ erwarten lässt; er betrifft einen in 5 ms abgeklungenen Anteil und ist im Nachweis (Teil VII, Vergleich linear gegen nichtlinear) enthalten.

3.5.4 Sprungantwort der offenen Strecke — zwei Wege

Ein Sprung der Sollgeschwindigkeit um 10 mm/s aus der aufrechten Ruhe: das lineare Modell (Fortschaltung mit $e^{\mathbf A\,\mathrm dt}$) gegen die nichtlineare Bewegungsgleichung mit Runge-Kutta vierter Ordnung.

Nach 0,3 s stehen -4,249° (nichtlinear) gegen -4,249° (linear); die relative Abweichung von 1,1·10⁻4 ist der Preis der Linearisierung bei vier Grad Neigung — und zugleich der Beleg, dass Matrizen und Gleichung dasselbe System beschreiben. Das Bild zeigt auch, was die Nullstelle bedeutet: der Sprung wirkt nur in seinem Moment (über $\dot v$); danach ist die Geschwindigkeit konstant und die Strecke sich selbst überlassen.

3.6 Das Simulationsmodell der Strecke

3.6.1 Zustände und Schrittweite

Das Zeitmodell führt drei Zustände der Strecke:

dazu $x$ als Weg. Gerechnet wird in zwei Ebenen: das Regelraster mit $T = 4$ ms, in dem Sensor und Regler arbeiten, und darin feinschritte Rechenschritte der Mechanik. Die Stellgröße bleibt innerhalb eines Rasters konstant — genau wie im Gerät, wo die Schrittfrequenz zwischen zwei Regelzyklen nicht verändert wird.

3.6.2 Der Antrieb

dv = clip( (v_soll - v) / tau_mot , -a_max , +a_max )
v  = v + dv * dt
a_wagen = dv

Zwei Größen bilden den Antrieb ab: tau_mot ist der Verzug erster Ordnung zwischen Befehl und Ausführung (Rechenzeit des Treibers, Rampe der Bibliothek), a_max die Beschleunigungsgrenze. Über a_max hinaus würde der Motor Schritte verlieren — im Modell wird stattdessen abgeschnitten, und die Motoreinheit des Reglers begrenzt ihre Forderung von sich aus auf denselben Wert. Dadurch bleibt die ausgegebene Frequenz auch in der Simulation die wahre Radgeschwindigkeit.

3.6.3 Die Mechanik

domega = ( m*g*(l*sin(th) + s*cos(th))
         - m*a_wagen*(l*cos(th) - s*sin(th))
         - d*om + M ) / J
om = om + domega*dt
th = th + om*dt

Das ist die hergeleitete Gleichung, Glied für Glied. Das Verfahren ist das halbimplizite Euler-Verfahren: erst wird $\omega$ mit der neuen Beschleunigung fortgeschrieben, dann $\vartheta$ mit dem neuen $\omega$. Es ist von erster Ordnung und für dieses Problem gutmütig, weil es die Energie nicht systematisch aufschaukelt.

3.6.4 Nachweis, dass das Rechenmodell die Gleichung löst

Das Rechenmodell wird auf zwei Wegen gegen die Gleichung geprüft, die es lösen soll: gegen eine Runge-Kutta-Lösung derselben nichtlinearen Gleichung und — im Abschnitt „Die Strecke als Übertragungssystem“ — gegen die geschlossene Lösung $\mathbf\Phi=e^{\mathbf A T}$ des linearen Modells.

Geprüft wird gegen ein Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung derselben Gleichung mit 200 000 Schritten. Freies Kippen aus 0,2 Grad, mit Dämpfung und 2 mm Schwerpunktversatz, nach 0,2 s:

Der Fehler halbiert sich mit der Schrittweite — das ist das erwartete Verhalten erster Ordnung und belegt, dass kein Programmierfehler vorliegt, sondern nur das Verfahren begrenzt. Gerechnet wird mit 32 Schritten; für Suchläufe, bei denen es auf die dritte Stelle nicht ankommt, mit 8.

Zusätzlich geprüft wurde die geschlossene Lösung des freien Kippens, $\vartheta = \vartheta_0\cosh(t/T)$, und die Sprungantwort auf ein konstantes Störmoment, $\vartheta = M t^2/(2J)$. Beide werden im Rahmen der Verfahrensordnung getroffen.

3.6.5 Was das Streckenmodell nicht enthält

Die ersten beiden sind die einzigen, die im Betrieb wirklich ins Gewicht fallen können, und beide sind am Gerät zu prüfen, nicht zu rechnen.

4 TEIL III — Der Sensor: Modell, Grenzen und Einbaulage

4.1 Was der Beschleunigungsmesser wirklich misst

Ein Beschleunigungsmesser misst nicht die Beschleunigung, sondern die spezifische Kraft — die Beschleunigung abzüglich der Schwerebeschleunigung. Im Stillstand zeigt er deshalb nach oben und liefert die Lotrichtung. Wird er waagerecht beschleunigt, kippt die scheinbare Lotrichtung um

$$\Delta\vartheta = \arctan\frac{a}{g}$$

Das ist keine Störung, die sich wegfiltern ließe, sondern eine grundsätzliche Mehrdeutigkeit: Neigung und Beschleunigung sind aus einer einzigen Messung nicht zu trennen.

Und die Beschleunigung, die den Fehler erzeugt, ist die Stellgröße des Reglers selbst. Über den Sensor läuft damit eine zweite, unerwünschte Rückführung: der Regler beschleunigt, um aufzurichten, und genau diese Beschleunigung meldet ihm der Sensor als zusätzliche Neigung zurück — mit falschem Vorzeichen.

Sitzt der Sensor nicht auf der Drehachse, kommen zwei weitere Anteile hinzu. Bei einer Höhe $w$ über der Achse und einem Versatz $u$ nach vorn misst er

$$a_\mathrm{schein} = \ddot x + w\,\ddot\vartheta - u\,\dot\vartheta^2$$

Der erste Zusatzanteil ist von erster Ordnung und wird im Modell geführt; der zweite ist von zweiter Ordnung in der Drehrate und bei den auftretenden Werten belanglos.

4.2 Der Kreisel

Der Kreisel liefert die Drehrate unmittelbar, schnell und ohne Mehrdeutigkeit. Sein Mangel ist der Nullpunkt: der MPU6050 hat laut Datenblatt bis 20 °/s Nullpunktfehler. Integriert man die Drehrate zum Winkel, wächst dieser Fehler linear mit der Zeit — 1 °/s sind nach einer Minute 60 Grad.

Beide Messungen sind also für sich unbrauchbar: der eine ist absolut, aber verfälscht; der andere ist genau, aber driftet. Erst zusammen ergeben sie einen Winkel.

4.3 Die drei Wege der Verschmelzung

Der Komplementärfilter lautet

theta_hat += (omega + bias)*dt + (theta_acc - theta_hat)*dt/tau

also Integration der Drehrate mit langsamem Zug auf den Beschleunigungswinkel. Im Frequenzbereich ist das ein Hochpass auf den Kreisel und ein Tiefpass auf den Beschleunigungsmesser, beide mit der Eckfrequenz $1/\tau$.

Am Modell verglichen, Aufrichten aus 3 Grad mit dem Studentenregler:

Es gibt ein Optimum. Eine zu kurze Zeitkonstante lässt die eigene Beschleunigung als Scheinneigung durch; eine zu lange lässt den Nullpunktfehler des Kreisels einlaufen. Der Kalman schlägt alle Komplementärfilter, weil er als einziger den Kreiselnullpunkt als eigenen Zustand führt und ihn damit ausregelt statt ihn nur zu unterdrücken.

4.4 Der Kalman-Filter im Einzelnen

Verwendet wird die Fassung, die im Quelltext steht — zwei Zustände, Winkel $\hat\vartheta$ und Kreiselnullpunkt $\hat b$:

Vorhersage mit der gemessenen Drehrate $\omega_m$:

$$\hat\vartheta \leftarrow \hat\vartheta + T(\omega_m - \hat b)$$

$$P \leftarrow \begin{pmatrix}1 & -T\\ 0 & 1\end{pmatrix} P \begin{pmatrix}1 & 0\\ -T & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}Q_\vartheta T & 0\\ 0 & Q_b T\end{pmatrix}$$

Korrektur mit dem Beschleunigungswinkel $\vartheta_\mathrm{acc}$:

$$S = P_{11} + R,\qquad K_0 = \frac{P_{11}}{S},\qquad K_1 = \frac{P_{21}}{S}$$

$$y = \vartheta_\mathrm{acc} - \hat\vartheta,\qquad \hat\vartheta \leftarrow \hat\vartheta + K_0 y,\qquad \hat b \leftarrow \hat b + K_1 y$$

Die drei Beiwerte bestimmen das Verhalten. $R$ ist der wichtigste: er sagt, wie sehr dem Beschleunigungsmesser geglaubt wird. Die eingeschwungenen Verstärkungen bei 250 Hz:

Der bisherige Wert $R = 0{,}03$ ergibt eine Zeitkonstante von 0,232 s — der Filter ist damit langsamer, als das Fahrzeug kippt (106,7 ms), und lässt trotzdem die eigene Beschleunigung durch. Das ist die schlechteste beider Welten und der Grund, aus dem der Kreis mit diesen Werten schwach instabil ist.

4.4.1 Zwei Punkte, die am Gerät zählen

Der Filter braucht vier Sekunden, bis er eingeschwungen ist. Mit $P = 0$ beim Start ist $K_0$ zunächst ebenfalls null: der Filter hört dem Beschleunigungsmesser nicht zu und integriert nur den Kreisel. Ein Anfangsfehler bleibt in dieser Zeit stehen.

Abhilfe: die Fehlerkovarianz gleich auf ihren Endwert setzen. Die Firmware iteriert dazu beim Einschalten die Kovarianzgleichung bis zum Stillstand — das kostet wenige Millisekunden und macht das Verhalten vom ersten Takt an gleich.

Der Kreiselnullpunkt muss kalibriert werden. Der Filter findet ihn zwar selbst, braucht dafür aber rund zwanzig Sekunden, und so lange steht der Fehler im gemeldeten Winkel:

Da der MPU6050 bis 20 °/s haben darf, ist die Kalibrierung beim Einschalten keine Feinheit, sondern notwendig. Aus 200 Messungen bei 0,05 °/s Streuung bleiben etwa 0,004 °/s übrig; langsame Wärmedrift bis 2 °/s steckt der Filter danach weg.

4.5 Takt und Laufzeit — was feststeht und nicht geschätzt ist

Vier Zahlen der Sensorkette mussten nicht geschätzt werden. Sie ergeben sich aus der verwendeten Bibliothek und aus dem Datenblatt:

Die Ausgaberate von 100 Hz hat eine Folge, die über die Sensorik hinausgeht: sie ist der wirkliche Regeltakt der studentischen Fassung, nicht die 250 Hz der Hauptschleife. Da im Code weder beim Integrieren noch beim Differenzieren durch die Schrittweite geteilt wird, hängen $k_i$ und $k_d$ unmittelbar daran. Der neue Entwurf ist davon frei — er rechnet mit der Schrittweite aus der Uhr und ist von 100 bis 500 Hz unempfindlich.

Die eigene Fassung greift nicht auf den Bewegungsprozessor zurück, sondern liest die Rohwerte unmittelbar mit dem Regeltakt von 250 Hz. Dort gilt von den vier Zeilen nur die letzte: der 42-Hz-Tiefpass mit seinen 4,8 ms.

4.6 Das Sensormodell in der Simulation

Der Baustein wird mit seinen wirklichen Eigenschaften nachgebildet:

a_schein = a_wagen + w*domega - u*om^2
a_lp  += (a_schein - a_lp )*dt/tau_lp
th_lp += (theta    - th_lp)*dt/tau_lp
om_lp += (omega    - om_lp)*dt/tau_lp
theta_acc = th_lp - arctan2(a_lp, g)

tau_lp ist der eingeschaltete Tiefpass des MPU6050. setDLPFMode(42 Hz) gibt laut Datenblatt 4,8 ms Gruppenlaufzeit; genau dieser Wert wird als Zeitkonstante einer Verzögerung erster Ordnung angesetzt, und zwar für Beschleunigung, Neigung und Drehrate gleichermaßen — so, wie der Baustein ihn wirklich schaltet.

Auf die Rohwerte kommt Rauschen (0,05° auf den Beschleunigungswinkel, 0,05 °/s auf die Drehrate) und der Kreiselnullpunkt. Die Abfrage geschieht mit der Ausgaberate des Sensors, die vom Regelraster verschieden sein darf; zwischen zwei Abfragen rechnet der Regler mit dem zuletzt gemeldeten Wert weiter — genau wie im Gerät.

4.7 Was das Sensormodell nicht enthält

Die Erschütterung der Schrittmotoren. Sie liegt unmittelbar auf dem Beschleunigungsmesser, und ihre Amplitude ist nicht bekannt. Der 42-Hz- Tiefpass ist im Modell, ihre Anregung nicht. Das ist die größte verbleibende Unsicherheit der Sensorkette und der Grund, aus dem der Entwurf so ausgelegt ist, dass er auch bei zwanzigfachem Rauschen noch trägt.

4.8 Die Einbaulage und die Sensorkette im Modell

Der MPU6050 liefert im Modell drei Größen, alle durch denselben Tiefpass erster Ordnung mit der Gruppenlaufzeit 4,8 ms des 42-Hz-Filters (Datenblatt, setDLPFMode(MPU6050_DLPF_BW_42)): die Neigung $\theta_\mathrm{lp}$, die Drehrate $\omega_\mathrm{lp}$ und die scheinbare Beschleunigung. Weil der Sensor nicht auf der Achse sitzt, sondern $w=71$ mm darüber und $u=39$ mm davor (gemessen 28.09.), sieht er zusätzlich zur Wagenbeschleunigung die Beschleunigungen der Kippbewegung:

$$a_\mathrm{schein} = a + w\,\ddot\theta - u\,\dot\theta^2 .$$

Der Rohwinkel aus der Beschleunigung ist $\theta_\mathrm{acc} = \theta_\mathrm{lp} - \arctan(a_\mathrm{lp}/g)$; bei $a=3$ m/s² sind das 17° Messfehler — die schwierige Stelle jedes Balancierfahrzeugs. Dazu kommen weißes Rauschen (0,05° und 0,05 °/s als Nennwerte, zu messen: F5) und ein Kreiselnullpunkt (0,05 °/s nach der Startkalibrierung). Der Sensor liefert mit 250 Hz; der Zeitpunkt wird aus dem Zähler gerechnet, nicht fortlaufend addiert, damit kein Takt durch Rundung ausfällt.

5 TEIL IV — Die Schnittstellen zum abgetasteten Regler

Der digitale Regler berührt die Hardware an drei Stellen: er bekommt vom Sensor Rohwerte, er gibt an den Antrieb eine Schrittfrequenz, und er tut beides in einem festen Takt. Alles, was der Regler von der Welt weiß und in der Welt bewirkt, läuft über diese drei Schnittstellen — deshalb werden sie hier genau festgelegt, mit Zahlen, bevor der Regler entworfen wird.

5.1 Der Antrieb: Schrittfrequenz als Stellgröße

Die Schicht 3 gibt eine Schrittfrequenz aus; die Bibliothek FastAccelStepper fährt sie mit einer Rampe an. Im Modell steht dafür ein Verzug erster Ordnung $\dot v = (v_\mathrm{soll}-v)/\tau_\mathrm{mot}$, begrenzt auf $|\dot v|\le a_\mathrm{max}$, und die Umrechnung $v = f\cdot 2\pi r/N_s$ mit $N_s=1600$ Schritten je Umdrehung und $r$ dem Radradius. Die Schrittweite ist $\pi\cdot 64\,\mathrm{mm}/1600 = 0{,}1257$ mm (Rad Ø 64 mm gemessen am 28.09.2026; die Firmware rechnet seit dem Bau vom selben Abend damit, vorher mit 66 mm). Die Schrittquantisierung selbst — dass die Geschwindigkeit nur in Sprüngen von einem Schritt je Takt vorliegt — ist im Modell nicht abgebildet (Aufgabe F2); sie bestimmt das Restzittern bei kleinen Geschwindigkeiten.

Die Konsequenz für den Regler steht in Teil II: die Strecke ist geschwindigkeitsgeführt, die Stellgröße ist eine Geschwindigkeit, und der Integralanteil richtet auf. Die Grenzen des Antriebs — Rampe und Höchstfrequenz — sind harte Grenzen der Schnittstelle; ein Regler, der mehr fordert, verliert Schritte, und dann ist die ausgegebene Frequenz nicht mehr die Radgeschwindigkeit.

5.2 Der Sensor als Datenquelle

Die Firmware liest die Rohwerte des MPU6050 mit dem Regeltakt (250 Hz) und verschmilzt sie selbst (Kalman-Filter, Teil VI); der Bewegungsprozessor des Bausteins wird nicht benutzt. Vom Sensor gilt an der Schnittstelle nur der 42-Hz-Tiefpass mit 4,8 ms Gruppenlaufzeit (Teil III, „Takt und Laufzeit“) und die Einbaulage: 71 mm über der Achse, 39 mm nach vorn (gemessen). Was der Beschleunigungsmesser meldet, ist der Winkel der scheinbaren Lotrichtung — bei 3 m/s² eigener Beschleunigung 17° neben der Neigung. Diese Eigenschaft der Schnittstelle bestimmt die Filterung (Teil III) und den Nullpunkt (Teil VI).

5.3 Takt, Reihenfolge und Verzögerung

Die Reihenfolge je Takt ist die der Firmware: erst wird aufgezeichnet, was gerade ausgegeben wird, dann rechnet die Mechanik einen Takt mit dieser Ausgabe, dann liefert der Sensor, dann rechnen die Schichten 4, 1, 2, 3 den nächsten Stellwert. Der Stellwert wirkt also einen Takt später — das ist die Rechenzeitverzögerung des Geräts, nicht nachträglich hineingesetzt, sondern Folge der Reihenfolge.

Das Modell hält diese Reihenfolge Zeile für Zeile ein (Teil I, Bild); der Nachweis, dass Firmware und Modell dasselbe rechnen, steht in Teil VII.

6 TEIL V — Die Anforderungen an den Regler

Aus der Strecke (Teil II), dem Sensor (Teil III) und den Schnittstellen (Teil IV) folgen die Anforderungen; die Befunde an den vorhandenen Fassungen (Anhang F) sagen, woran es bisher scheiterte. Jede Anforderung hat eine Schranke und ein Prüfmittel — so wird sie in Teil VII nachgewiesen.

6.1 Die erste Anforderung: Aufrichten — aus der Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion der Strecke (Teil II) hat einen Pol rechts; der Regler muss ihn binden. Die Stellgröße ist eine Geschwindigkeit. Setzt man einen Regler in der Form

$$v = k_p\,\vartheta + k_i\!\int\!\vartheta\,\mathrm{d}t + k_d\,\dot\vartheta$$

an, so ist die Wagenbeschleunigung deren Ableitung, $\ddot x = \dot v = k_p\dot\vartheta + k_i\vartheta + k_d\ddot\vartheta$. Eingesetzt in die um $\vartheta = 0$, $s = 0$ linearisierte Gleichung $J\ddot\vartheta = mgl\vartheta - ml\ddot x - d\dot\vartheta$ folgt

$$\boxed{\;(J + m l k_d)\,\ddot\vartheta + (m l k_p + d)\,\dot\vartheta + m l\,(k_i - g)\,\vartheta = 0\;}$$

Damit sind die Rollen vertauscht gegenüber dem, was man erwartet:

Nach Hurwitz ist ein System zweiter Ordnung genau dann stabil, wenn alle drei Beiwerte dasselbe Vorzeichen haben. $J + m l k_d > 0$ und $m l k_p + d > 0$ sind unkritisch. Bleibt die eine Bedingung, die alles entscheidet:

$$\boxed{\;k_i > g = 9{,}81\ \frac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{rad}}\;}$$

Ohne Integralanteil im Winkelregler fällt das Fahrzeug immer, gleich wie groß $k_p$ und $k_d$ gewählt werden. Das ist keine Feinheit, sondern die Kernaussage: bei geschwindigkeitsgeführtem Antrieb richtet nur der Integralanteil auf.

Die Bedingung ist an drei laufenden Maschinen bestätigt:

Kennkreisfrequenz und Dämpfungsgrad folgen unmittelbar:

$$\omega_n = \sqrt{\frac{m l (k_i-g)}{J + m l k_d}},\qquad \zeta = \frac{m l k_p + d}{2\sqrt{(J + m l k_d)\,m l (k_i-g)}}$$

Mit den Beiwerten der Firmware ($K = 2,325$ m/s je rad, $T_n = 86,6$ ms, $T_v = 8,8$ ms, also $k_p = K$, $k_i = K/T_n = 26,84$, $k_d = K T_v = 0,0204$) und der gemessenen Strecke: $\omega_n = 11,36$ s⁻¹ (1,81 Hz), $\zeta = 0,787$ — ohne die Verzüge von Antrieb und Sensor; mit ihnen rechnet Teil VII.

6.2 Die zweite Anforderung: der Pol bei $s = 0$ — warum es die Schicht 4 braucht

Im geschlossenen Kreis kürzt die Nullstelle $s = 0$ der Strecke den Integrator des Winkelreglers: aus $1 - G_u(s)\,C(s) = 0$ fällt der Faktor $s$ heraus, und eine Wurzel $s = 0$ bleibt als Eigenbewegung des Kreises stehen. Anschaulich: hält der Winkelregler die Neigung auf seinem Sollwert, ist jede konstante Fahrgeschwindigkeit mit diesem Zustand verträglich — der innere Kreis sieht sie nicht. Fällt der Sollwinkel nicht mit dem wahren Gleichgewichtswinkel zusammen, wächst die Geschwindigkeit sogar ohne Grenze. Für die übergeordnete Schicht wird deshalb ein zweiter Zusammenhang gebraucht: wie hängt die Fahrgeschwindigkeit vom Sollwinkel ab?

Hält der innere Kreis den Winkel fest ($\ddot\vartheta = \dot\vartheta = 0$), so verlangt die Bewegungsgleichung

$$\ddot x = g\,\frac{l\sin\vartheta + s\cos\vartheta} {l\cos\vartheta - s\sin\vartheta} \;\approx\; g\left(\vartheta + \frac{s}{l}\right) = g\,(\vartheta - \vartheta_\mathrm{gl})$$

Die Strecke vom Sollwinkel zur Geschwindigkeit ist also ein Integrator mit der Verstärkung $g$. Ein Winkelfehler von einem Grad erzeugt $9{,}81 \cdot 0{,}0175 = 0{,}171$ m/s² dauernde Beschleunigung — nach zehn Sekunden 1,7 m/s. Daran zeigt sich, warum ein Zehntelgrad Nullpunktfehler nicht hinnehmbar ist, und daraus wird in Teil VI die äußere Schleife auf $\omega_n = 1$ rad/s und $\zeta = 0{,}8$ ausgelegt:

$$g\,K = 2\zeta\omega_n,\qquad \frac{g\,K}{T_n} = \omega_n^2$$

Damit ist der Pol bei $s = 0$ gebunden: im 16-Zustands-Modell des Teils VII erscheint er als Eigenwert $z = 0{,}99936$ (Abklingzeit 6,2 s) — der langsamste des Kreises, und mit Absicht: die Nullpunktkorrektur darf die Kippregelung nicht stören.

6.3 Die schwierige Stelle

Der Beschleunigungsmesser kann Neigung und Beschleunigung nicht unterscheiden. Er misst die scheinbare Lotrichtung, und die kippt bei waagerechter Beschleunigung um $\arctan(a/g)$:

Die Beschleunigung, die diesen Fehler erzeugt, ist die Stellgröße des Reglers selbst. Über den Sensor läuft damit eine zweite, unerwünschte Rückführung.

Mit den bisherigen Werten ($R_\mathrm{MEASURE} = 0{,}03$) ist der Filter mit 0,236 s Zeitkonstante langsamer als das Fahrzeug kippt (106,7 ms), und ein Beschleunigungssprung steht nach 0,15 s zur Hälfte im Messwert. Die exakte Eigenwertrechnung des abgetasteten Kreises ergibt dafür

$$|z|_\mathrm{max} = 1{,}0033$$

also einen langsam aufklingenden Grenzzyklus bei 0,48 Hz. Das deckt sich mit dem, was die Simulation als Zittern meldete.

Zwei Wege beheben das:

Nach der Vorgabe „strikt trennen, wenn es das System nicht verschlechtert” ist Weg A zu wählen, sofern er nicht schlechter ist. Der Abschnitt zur Auslegung weiter unten zeigt, dass er es nicht ist.

6.4 Was das Modell leistet und was nicht

Alle Zahlen dieses Berichts stammen aus zwei Modellen, die gegeneinander geprüft sind.

Nichtlineares Zeitmodell (Modell/segway_modell.py). Strecke, Sensor, alle vier Schichten, Begrenzungen, Rauschen. Geprüft gegen eine Runge-Kutta-Lösung vierter Ordnung derselben Bewegungsgleichung: der Fehler halbiert sich mit der Schrittweite, bei 32 Rechenschritten je Regeltakt beträgt er 0,047 % über eine Viertelsekunde.

Lineares Zustandsmodell des abgetasteten Kreises (Modell/segway_entwurf.py). Sechzehn Zustände: Strecke, Antriebsverzug, Sensortiefpass, Kalman mit Winkel und Kreiselnullpunkt, alle vier Schichten, eine Taktverzögerung. Aus den Eigenwerten folgt unmittelbar, ob der Kreis stabil ist und mit welcher Reserve.

Beide stimmen auf 0,002 bis 0,1 % überein. Damit stehen die Eigenwertaussagen nicht für sich.

Was das Modell nicht kann: es rechnet die Motorausgabe als stetige Geschwindigkeit. Ob der Motor bei wenigen Hertz mechanisch singt, ob ein Rad durchrutscht, ob der Untergrund nachgibt — das ist am Gerät zu prüfen.

6.5 Zwei Befunde am vorhandenen Aufbau, die Anforderungen wurden

6.5.1 Die Totzone erzeugt das Zittern, sie verhindert es nicht

MIN_SPEED_HZ = 80 hält die Motoren unterhalb von 1,04 cm/s an. Das erzeugt einen dauernden Grenzzyklus:

Eine Regelsperre um den Istwinkel — also nicht am Ausgang, sondern am Eingang des Reglers — ist noch deutlich schlechter:

Innerhalb des Bandes ist der Kreis offen, das Fahrzeug fällt frei, und beim Verlassen braucht es einen großen Ruck. Die Sperre verschlechtert das Zittern um zwei Größenordnungen und lässt die Motoren sechzigmal mehr arbeiten.

Im Quellcode von xxxx xxxx steht die Idee an drei Stellen, aber im Balancierbetrieb ist keine davon wirksam: die eigentliche Sperre (pidOutput ±20) ist auskommentiert, disableL(sL < MAX_SPEED / 12000) ergibt bei Ganzzahlrechnung mit #define MAX_SPEED 4000 genau null, und die 50-Hz-Sperre greift nur im Handbetrieb. Seine Maschine lief also ohne Sperre — und lief ruhig.

Warum es bei ihm nicht zitterte, ergibt die Rechnung mit den Ursachen einzeln zu- und abgeschaltet:

Der Hauptgrund ist die fehlende Sperre; halb so große Schrittweite und ein träger Aufbau kommen hinzu.

Vorbehalt: das Modell rechnet die Motorausgabe als stetige Geschwindigkeit. Ob der Motor bei wenigen Hertz mechanisch singt — der eigentliche Grund, aus dem solche Sperren eingebaut werden — kann es nicht zeigen. Der Wert bleibt deshalb in der Firmware einstellbar, steht aber auf null.

6.5.2 Der Kreiselnullpunkt bleibt unversorgt

Die bisherige Firmware kalibriert beim Einschalten den Beschleunigungsmesser, nicht aber den Kreisel. Der MPU6050 hat davon laut Datenblatt bis 20 °/s.

Der Kalman findet den Nullpunkt zwar selbst, braucht dafür aber rund zwanzig Sekunden — und so lange steht der Fehler im gemeldeten Winkel. Die neue Firmware misst ihn beim Start mit; aus 200 Messungen bleiben etwa 0,004 °/s übrig, und langsame Wärmedrift bis 2 °/s steckt der Filter weg.

6.5.3 Der Regler forderte mehr, als die Motoren leisten

Beim Aufrichten aus 5 Grad fordert der Winkelregler bis 39,8 m/s² Radbeschleunigung. setAcceleration(50000) entspricht 6,48 m/s². Über dieser Grenze gehen Schritte verloren — und dann ist die ausgegebene Frequenz nicht mehr die Radgeschwindigkeit. Damit fällt die Grundlage der Schichten 3 und 4: der Weg, den die Motoreinheit meldet, hat mit dem gefahrenen nichts mehr zu tun, und die Nullpunktkorrektur verschiebt den Nullpunkt nach falschen Zahlen.

Die Abhilfe gehört in die Motoreinheit, nicht in den Regler: eine Änderungsgrenze auf die ausgegebene Geschwindigkeit. Damit ist die gemeldete Geschwindigkeit unter allen Umständen die wahre.

Mit der Änderungsgrenze ist die geforderte Beschleunigung immer genau die zulässige und nie mehr:

Mit dem bisherigen setAcceleration(50000) ergibt der neue Regler 20 Grad Fangbereich; der alte erreichte damit 9 Grad.

Der Zahlenwert A_MAX ist am Gerät zu messen — Frequenzrampe steigern, bis der Motor stehenbleibt. Er ist keine Software-Einstellung, sondern eine Eigenschaft von Motor, Treiber und Spannung.

7 TEIL VI — Der digitale Regler in vier Schichten

7.1 Der Aufbau in vier Schichten

Das Blockschaltbild des ganzen Kreises steht in Teil I (Bild „Der modelltechnisch geschlossene Regelkreis“); hier die vier Schichten im Einzelnen.

Schicht 1  Winkelerfassung
           Rohdaten des Sensors. Verarbeitung wahlweise im Baustein
           selbst oder außerhalb im Kalman-Filter. Übergeben wird ein
           sauberer Istwinkel mit der geforderten Dynamik und die um
           den Kreiselnullpunkt bereinigte Drehrate.

Schicht 2  Winkelregler
           Bekommt den Istwinkel, gibt die Stellgröße aus. Die
           Stellgröße ist eine Radgeschwindigkeit in m/s.

Schicht 3  Motoreinheit
           Setzt die Stellgröße dynamisch sauber um. Sie kennt als
           einzige den Zusammenhang zwischen Hertz und Metern und
           meldet deshalb Geschwindigkeit und Weg zurück, ohne dass
           ein Geber verbaut wäre.

Schicht 4  Dynamische Nullpunktkorrektur, übergeordnet
           Fährt das Fahrzeug weg, obwohl null befohlen ist, stimmt
           der Nullpunkt nicht. Richtung und Betrag der Bewegung sind
           aus der Schrittfrequenz bekannt. Ein langsamer PI
           verschiebt den Nullpunkt der Schicht 1, bis Istwinkel null
           wirklich Stillstand bedeutet.

Die Reihenfolge ist fest. Jede Schicht kennt nur ihre Eingangsgrößen. Sollwertvorgabe, Aufzeichnung und Bedienung greifen nicht ein: die Regelung läuft als eigene Aufgabe auf Kern 1 in festem 4-ms-Takt, alles andere auf Kern 0, und ausgetauscht werden nur fertige Zahlen.

7.2 Die vier Schichten Zeile für Zeile — Modell und Firmware rechnen dasselbe

7.2.1 Schicht 1: Winkelerfassung

Kalman-Filter mit dem Zustand (Winkel, Kreiselnullpunkt) in Grad und Grad/s, Zeile für Zeile aus dem Sketch übernommen.

Prädiktion: $\hat\theta \leftarrow \hat\theta + \Delta t\,(\omega - \hat b)$; $P_{00} \leftarrow P_{00} + \Delta t\,(\Delta t\,P_{11} - P_{01} - P_{10} + Q_\theta)$, $P_{01} \leftarrow P_{01} - \Delta t\,P_{11}$, $P_{10} \leftarrow P_{10} - \Delta t\,P_{11}$, $P_{11} \leftarrow P_{11} + Q_b\,\Delta t$. Korrektur: $S = P_{00}+R$, $K_0 = P_{00}/S$, $K_1 = P_{10}/S$, $y = \theta_\mathrm{acc} - \hat\theta$, $\hat\theta \leftarrow \hat\theta + K_0 y$, $\hat b \leftarrow \hat b + K_1 y$, dann $P$ nachgeführt.

Beiwerte aus der Firmware: $Q_\theta = 0{,}001$, $Q_b = 0{,}003$, $R = 309{,}30$. Das große $R$ ist Absicht: der Beschleunigungsmesser kann Neigung und Beschleunigung nicht unterscheiden, also wird ihm wenig geglaubt. Die stationären Verstärkungen (Riccati-Gleichung bis zum Stillstand iteriert, im Gerät ebenso beim Start) sind $K_0 = 1{,}2596\cdot10^{-3}$ und $K_1 = -1{,}9685\cdot10^{-4}$ je Takt; die Zeitkonstante, mit der der Beschleunigungswinkel den Kreiselwinkel nachzieht, ist $\Delta t/K_0 \approx 3{,}2$ s. Modell und Gerät starten den Filter mit der eingeschwungenen Kovarianz, sonst hörte er vier Sekunden lang nur dem Kreisel zu. Der Istwinkel ist $\hat\theta$ minus dem von Schicht 4 nachgeführten Nullpunkt; die Drehrate ist $\omega - \hat b$.

7.2.2 Schicht 2: Winkelregler

PID in Normalform, Stellgröße eine Geschwindigkeit:

$$v = K\Big(e + \frac{1}{T_n}\int e\,\mathrm dt + T_v\,\dot e\Big),\qquad e = \theta_\mathrm{ist} - \theta_\mathrm{soll},$$

mit $K = 2{,}325385$ m/s je rad, $T_n = 86{,}638$ ms, $T_v = 8{,}766$ ms (Firmware, gelesen). Der D-Anteil kommt unmittelbar von der Drehrate des Kreisels — nichts wird differenziert. Der Integrator läuft in der Begrenzung nicht weiter (Anti-Windup: nur wenn $|v_\mathrm{roh}| < v_\mathrm{max}$ oder der Fehler dem Ausgang entgegenwirkt). Die Aufrichtbedingung aus Teil V, $k_i = K/T_n > g$, ist mit 26,84 > 9,81 erfüllt: bei einer geschwindigkeitsgeführten Strecke richtet der Integralanteil auf, der P-Anteil dämpft nur.

7.2.3 Schicht 3: Motorausgabe

Sollgeschwindigkeit → Schrittfrequenz. Erst die Änderungsgrenze ($|\Delta v| \le a_\mathrm{max}\Delta t$ je Takt), dann die Frequenzgrenze (6000 Hz = 0,778 m/s), dann die Totzone (0 Hz — abgeschaltet, denn sie erzeugt das Zittern, Teil VI). Gemeldet wird, was wirklich ausgegeben wird; daraus folgen $v_\mathrm{aus}$ und der Weg ohne jeden Geber. Diese Schicht ist die einzige, die Hertz und Meter je Sekunde ineinander umrechnet.

7.2.4 Schicht 4: Nullpunktkorrektur

PI-Regler auf die Geschwindigkeit: $e_v = v_\mathrm{wunsch} - v_\mathrm{aus}$, Nullpunkt $= K_N e_v + \frac{K_N}{T_{n,N}}\int e_v\,\mathrm dt$, begrenzt auf ±6°, mit $K_N = 0{,}081265$ rad je m/s und $T_{n,N} = 2{,}27226$ s (Firmware). Sie verschiebt den Nullpunkt der Schicht 1 so lange, bis das Fahrzeug bei Istwinkel null wirklich steht — der Gleichgewichtswinkel ist $-\arctan(s/l)$, nicht die Senkrechte, und der Sensor kann den Unterschied nicht sehen. Sie ist rund zehnmal langsamer als Schicht 2 und trägt den langsamsten Eigenwert des Kreises (unten).

7.3 Auslegung auf den schlechtesten Fall

Ein Entwurf, der nur im Nennfall stabil ist, taugt nichts: Masse, Schwerpunkthöhe und Trägheitsmoment des Aufbaus sind nicht gemessen, sondern geschätzt. Bewertet wurde deshalb die ganze Spanne:

Jede Ecke dieser Spanne wird einzeln durchgerechnet, dazu der Nennfall — 33 Fälle je Entwurf. Ein Entwurf gilt nur dann als brauchbar, wenn er in jedem dieser Fälle stabil ist. Unter den brauchbaren wird der mit der größten Reserve gewählt, und zwar der symmetrischen:

• nach oben: um welchen Faktor dürfen alle Reglerbeiwerte steigen,
• nach unten: um welchen Faktor dürfen sie sinken,

bevor der Kreis instabil wird. Die Reserve nach unten ist bei dieser Strecke die schärfere, weil unter $k_i = g$ das Aufrichten aufhört.

7.3.1 Die Entscheidung zwischen Weg A und Weg B

Beide Wege wurden getrennt ausgelegt. Weg B führt die Güte der Kompensation als zusätzliche Unsicherheit mit (0,6 bis 1,0), weil sie nicht bekannt ist.

Die Entscheidung fällt aber nicht an der Reserve, sondern an einer Empfindlichkeit. Nimmt man den nach Weg A ausgelegten Regler und schaltet die Kompensation nachträglich zu:

Bei Weg A ist die Kompensation entbehrlich: sie ändert die Reserve in der vierten Stelle. Beim schnellen Filter ist sie dagegen tragend — ohne sie fällt der Kreis um.

Und sie bringt eine Fehlerquelle mit, die es sonst nicht gäbe: das Vorzeichen hängt an der Einbaulage des Sensors. Ist es verdreht, wird aus der Kompensation eine Mitkopplung, und der Kreis wird instabil. Bei Weg A ist dieser Fall unmöglich, weil es die Verbindung gar nicht gibt.

Gewählt wird deshalb Weg A: langsamer Filter, keine Verbindung von Schicht 3 zurück nach Schicht 1. Die strikte Trennung kostet nichts und erspart eine Fehlermöglichkeit.

Der Preis ist ein träger Winkelmesswert — die Fusion hat bei R = 30 eine Zeitkonstante von 1,75 s. Das ist unbedenklich, weil der Winkel im Regelkreis vom Kreisel kommt und der Beschleunigungsmesser nur den langsamen Nullpunkt stützt. Genau dafür ist er auch geeignet, und für nichts anderes.

7.3.2 Die gewählten Beiwerte

Von 12 000 gewürfelten Entwürfen sind 5 297 in jeder Ecke der Spanne stabil. Unter diesen wurde gewählt:

Reserven im schlechtesten Fall der Spanne: die Beiwerte dürfen um den Faktor 2,09 steigen und auf das 0,49-fache sinken, bevor der Kreis instabil wird. Größter Eigenwertbetrag 0,99936.

Die Auswahlregel war die größte symmetrische Reserve. Davon wurde einmal abgewichen, und zwar begründet: der Entwurf mit der größten Reserve (2,12) hat eine dreimal langsamere Nullpunktkorrektur (Tn = 7,29 s). Er ist im Modell stabil, fährt aber bei 5 mm Schwerpunktversatz 3,34 m weit, bevor er steht. Der gewählte Entwurf braucht dafür 1,17 m.

Der Unterschied in der Reserve — drei Prozent — liegt unter der Auflösung einer Zufallssuche. Der Unterschied im Weg liegt es nicht: drei Meter durch den Raum zu fahren, bevor der Nullpunkt gefunden ist, ist am realen Aufbau ein Fehler, auch wenn das Modell dazu „stabil” sagt.

Auffällig ist der Wert von R_MEASURE. Er ist tausendmal größer als bisher und bedeutet, dass der Beschleunigungsmesser mit 0,13 Prozent je Takt in den Winkel eingeht, die Fusion also eine Zeitkonstante von 3,2 s hat. Das ist kein Versehen, sondern die Aussage des Entwurfs: der Beschleunigungsmesser taugt nicht zur Winkelmessung im Regelkreis, sondern nur zur Stützung des langsamen Nullpunkts. Den Winkel liefert der Kreisel.

7.4 Worauf die neue Firmware beruht

Die Frage, welche der drei vorhandenen Fassungen der neuen zugrunde liegt, hat eine zweigeteilte Antwort: die Hardwareschicht stammt vollständig aus einer von ihnen, der Regelteil aus keiner.

7.4.1 Übernommen aus segway_esp32_Doku.ino

Zeile für Zeile verglichen, findet sich das Folgende unverändert oder nur umbenannt wieder:

Aus der studentischen Fassung stammt keine einzige Zeile — sie enthält keines dieser Elemente, weil sie über den Bewegungsprozessor und über ledcWriteTone arbeitet. Von xxxx stammt mittelbar nur die Abschaltgrenze von 30 Grad, die über die Doku-Fassung durchgereicht wurde.

7.4.2 Neu

Der gesamte Regelteil: die vier Schichten, die Beiwerte in physikalischen Einheiten, die Änderungsgrenze in der Motoreinheit, die Kalibrierung des Kreiselnullpunkts, das eingeschwungene Starten der Fehlerkovarianz und $R_\mathrm{MEASURE} = 309$ statt $0{,}03$. Nichts davon steht in einem der Ausgangsprogramme; alles kommt aus der Auslegung am Modell.

7.4.3 Die Herkunft der Nullpunktkorrektur

Der Gedanke selbst ist nicht neu. Er hat drei Vorläufer, die alle dieselbe Frage beantworten wollten — was tun, wenn das Fahrzeug wegfährt, obwohl null befohlen ist:

Schicht 4 ist die vierte Fassung derselben Antwort. Sie unterscheidet sich in drei Punkten von allen dreien: sie kennt Vorzeichen und Betrag der Bewegung, sie ist aus der Streckenverstärkung ausgelegt statt eingestellt, und sie ist die erste, die im Betrieb wirklich läuft, statt auskommentiert dazustehen oder blind zu tasten.

In einem Satz: Hardware und Sensorik aus der eigenen Vorgängerfassung, die Regelung aus dem Modell, die Grundidee der Nullpunktkorrektur von xxxx — über zwei Umwege.

7.5 Was die Firmware anders macht

Arduino/segway_regelung/segway_regelung.ino, übersetzt mit arduino-cli 1.5.2 und esp32:esp32 3.3.11 warnungsfrei, 81 % Programm- speicher, 28 % Arbeitsspeicher.

7.5.1 Dauerlauf

Fünf Minuten, 2 mm Schwerpunktversatz, volles Rauschen:

Das Fahrzeug steht auf drei Hundertstel Grad genau auf seinem Gleichgewichtswinkel, und der Filter hat den Kreiselnullpunkt auf ein Prozent gefunden.

7.5.2 Sensoraussetzer

Der Regeltakt bleibt bei 250 Hz, der Sensor liefert langsamer; der Regler rechnet dann mit dem zuletzt gemeldeten Wert weiter.

Selbst bei einem Zehntel der Rate bleibt der Kreis stabil. Einzelne verlorene I²C-Züge sind damit unkritisch. Die Firmware sperrt trotzdem nach fünf Fehlversuchen in Folge — nicht wegen der Regelung, sondern weil ein dauerhaft stummer Sensor bedeutet, dass niemand mehr weiß, wo oben ist.

8 TEIL VII — Der geschlossene Regelkreis: Zustandsmodell, Simulation, Nachweis und Korrektur

8.1 Der geschlossene Kreis als Zustandsmodell

Für die lineare Analyse (segway_entwurf.py) wird derselbe Rechenweg um die aufrechte Lage linearisiert ($\sin\theta=\theta$, $\cos\theta=1$, $\arctan(a/g)=a/g$, keine Begrenzungen) und als Abbildung eines Zustandsvektors mit 16 Größen auf den nächsten Takt geschrieben:

Die Systemmatrix $A$ (16 × 16) entsteht, indem der linearisierte Taktschritt auf jeden Einheitsvektor angewandt wird — es gibt keine zweite, von Hand aufgestellte Matrix, die vom Simulator abweichen könnte. Zustände, die mitlaufen, ohne zurückzuwirken (Weg, geglättete Beschleunigung ohne Kompensation, alter Istwinkel bei D-Anteil vom Kreisel), werden vor der Eigenwertrechnung abgetrennt, nachdem geprüft ist, dass ihre Spalte außer der Diagonale leer ist. Stabil ist der Kreis, wenn alle Eigenwerte $|z|<1$ haben; die Abklingzeit des langsamsten Anteils ist $-T/\ln|z|_\mathrm{max}$.

Mit den gemessenen Zahlen (28.09.2026):

Die Verstärkungsreserve wird gemessen, indem alle Reglerbeiwerte ($K$ und $K_N$) mit einem Faktor multipliziert werden, bis ein Eigenwert den Einheitskreis erreicht (Bisektion): nach oben 2,43-fach, nach unten 0,459-fach. Ändert man die Strecke innerhalb ihrer Messunsicherheit ($T_p$ ± 0,004 s, $l$ 40–50 mm bei festem $J/(m l)$, $d$ bis 0,012 Nms), ändern sich die Reserven in der dritten Stelle; nur ein Treiberverzug von 6 ms statt 2 ms drückt die obere Reserve auf 2,20 (Anhang E).

8.2 Der geschlossene Kreis im Laplace-Bereich und in der z-Ebene

Bevor das vollständige Zustandsmodell des abgetasteten Kreises (oben) gerechnet wird, lässt sich der Kreis mit Papier und Bleistift schließen. Der Winkelregler der Schicht 2 lautet in Normalform $C(s) = K\,(1 + 1/(T_n s) + T_v s)$; der Sensor wirkt für die schnelle Kippbewegung als Tiefpass $S(s) = 1/(1+\tau_\mathrm{lp} s)$ mit $\tau_\mathrm{lp} = 4{,}8$ ms (der Kalman-Filter mit $K_0 = 1,3·10⁻3 je Takt folgt dem Kreisel praktisch verzögerungsfrei); die Strecke ist $G_u(s)$ aus Teil II. Die langsame Schicht 4 bleibt hier außen vor.

Aus $1 - G_u(s)\,C(s)\,S(s) = 0$ folgt nach Ausmultiplizieren das charakteristische Polynom

$$(1 + \tau_\mathrm{mot} s)(1 + \tau_\mathrm{lp} s)\,(J s^2 + d s - m g l)\,T_n \;+\; m l K\,(T_n T_v s^2 + T_n s + 1) = 0$$

vom Grad 4 — der Faktor $s$ von Zähler der Strecke und Integrator des Reglers hat sich gekürzt (Teil V). Ohne die beiden Verzüge bleibt die Gleichung zweiter Ordnung aus Teil V mit $\omega_n = 11,36$ s⁻¹ und $\zeta = 0,787$. Mit den Verzügen und den gemessenen Zahlen lauten die Koeffizienten 5,2·10⁻9, 3,7·10⁻6, 6,4·10⁻4, 1,1·10⁻2, 8,2·10⁻2, und die Wurzeln sind:

Die Kippbewegung — das konjugierte Paar mit dem kleinsten Betrag — trifft das vollständige Modell auf 7 Prozent: $1/|\mathrm{Re}\,s|$ = 108 ms Abklingzeit gegen 103 ms, 1,22 Hz gegen 1,34 Hz. Die beiden schnellen reellen Wurzeln (Antrieb und Sensortiefpass) weichen stärker ab — dort wirken die Taktverzögerung um einen Schritt, der Kalman-Filter und der Euler-Fehler der Antriebszeile (Teil II), alles Anteile, die nach wenigen Millisekunden abgeklungen sind. Der Kreis aus vier Zeilen Rechnung sagt also die Bewegung voraus, die man am Gerät sieht; das Zustandsmodell mit 16 Größen liefert die Feinheiten und die Reserven.

Die Reserven. Werden alle Reglerbeiwerte ($K$ und $K_N$) mit einem Faktor multipliziert, bleibt der abgetastete Kreis zwischen dem 0,46-fachen und dem 2,40-fachen stabil (Bisektion: 0,459 und 2,43). Der Laplace-Kreis vierten Grades kippt nach unten beim 0,36-fachen — dort geht $k_i$ gegen $g$ —, nach oben aber bis zum Dreifachen nicht: die obere Grenze setzt die Abtastung (Taktverzögerung und Halteglied), nicht die kontinuierliche Dynamik. Das ist der Grund, warum die Auslegung in Teil VI am abgetasteten Modell und nicht an der Übertragungsfunktion erfolgt.

8.3 Nichtlineare Nachprüfung

Die Eigenwerte gelten für den linearisierten Kreis. Frequenzbegrenzung, Totzone, Änderungsgrenze, Rauschen, Kreiselnullpunkt und der Schwerpunktversatz als echtes Moment sind unstetig oder nichtlinear und werden am vollständigen Modell durchgefahren.

8.3.1 Grenzen

Alle Zahlen dieses Abschnitts sind mit den gemessenen Streckengrößen gerechnet (Modell/nachweis_gemessen.py, 28.09.2026); der Vergleich mit dem Entwurf vom 25.08. steht weiter unten. Zum Vergleich: ohne Schicht 4 fällt das Fahrzeug schon bei 0,05 mm Schwerpunktversatz (Tafel „Mit und ohne Schicht 4“); mit ihr verträgt es 3 mm — sechzigmal so viel.

8.3.2 Wann darf angefahren werden

Abgeschaltet wird bei 30 Grad, freigegeben aber nicht dort — der Fangbereich beträgt 22 Grad. Würde bei 30 Grad wieder freigegeben, liefen die Motoren an, während das Fahrzeug noch fällt.

Aus welchem Zustand es wirklich noch aufrichtet (a_max = 6,48 m/s²):

Die Firmware gibt frei, wenn eine halbe Sekunde lang beides gilt: Winkel unter 5 Grad und Drehrate unter 60 °/s. Bei 5 Grad reicht es bis 120 °/s — also Faktor zwei Reserve. In der Handhabung heißt das: Fahrzeug aufrichten, kurz ruhig halten, dann übernimmt es.

8.3.3 Die Forderung „Istwinkel null, also keine Bewegung”

Nach 60 s eingeschwungen, gemessen über die letzten 20 s:

Der nachgeführte Nullpunkt trifft dabei den berechneten Gleichgewichtswinkel: bei 2 mm Schwerpunktversatz läuft er auf −2,586°, und $-\arctan(2\,\mathrm{mm}/44{,}5\,\mathrm{mm}) = -2{,}575°$; der Rest von 0,011° ist der verbliebene Kreiselnullpunkt.

8.3.4 Schicht 4 findet den berechneten Gleichgewichtswinkel

Der Rest von 0,011° ist der verbliebene Kreiselnullpunkt. Das Wandern während der Suche ist genau das, was am laufenden Gerät zu sehen war — mit dem Unterschied, dass es hier nach knapp einer Minute an einem festen Punkt endet.

8.3.5 Mit und ohne Schicht 4

Gleicher Versatz, 40 s:

Ein halber Millimeter ist die Genauigkeit, mit der ein Akku sitzt oder ein Kabel liegt. Ohne Schicht 4 ist das Fahrzeug damit nicht betreibbar; mit ihr braucht es bei 44,5 mm Schwerpunkthöhe 0,3 m Fahrweg je halben Millimeter, bis der Nullpunkt gefunden ist — deshalb die Empfehlung in „Korrektur der Reglerparameter“, den gefundenen Nullpunkt im Gerät zu speichern.

8.3.6 Rauschen

Die beiden folgenden Tafeln (Rauschen, Abtastrate) stammen aus dem Nachweis vom 25.08. mit den damals geschätzten Streckengrößen; sie sind mit den gemessenen Zahlen noch nicht wiederholt (offene Aufgabe F8). Die Aussage — der Kreis bleibt über zwanzigfaches Rauschen und ein Verhältnis 1 : 5 in der Abtastrate stabil — hängt nicht an der dritten Stelle der Streckengrößen.

Erwartet werden die Werte der zweiten Zeile. Auch bei zwanzigfachem Rauschen bleibt der Kreis stabil, das Zittern wächst nur mit.

8.3.7 Fahrbefehl

8.3.8 Abtastrate

Beiwerte unverändert, nur der Takt geändert:

Derselbe Regler läuft über ein Verhältnis von 1 zu 5 in der Abtastrate ohne jede Anpassung. Das ist der Lohn der physikalischen Einheiten — bei der alten Fassung fiel der Segway bereits um, wenn man nur die Mikroschrittteilung änderte.

Daraus folgt zugleich, dass der Schwankungsbereich des Regeltakts unkritisch ist: vTaskDelayUntil hält den Mittelwert von 4 ms genau, der einzelne Abstand schwankt um bis zu einen FreeRTOS-Takt, also 25 Prozent. Das liegt weit innerhalb der geprüften Spanne. Gerechnet wird trotzdem mit der wirklichen Schrittweite aus der Uhr.

8.4 Bilder

8.5 Der Nachweis mit den gemessenen Streckengrößen (28. September 2026)

Alle Streckengrößen dieses Manuskripts waren bis zum 28. September geschätzt (0,25–0,50 kg, Schwerpunkt 0,08–0,18 m); der Entwurf in Teil VI wurde deshalb auf die ganze Spanne ausgelegt, Kippzeitkonstante 87 bis 191 ms. Am 28. September wurden gewogen und gemessen: Masse 1,248 kg; Spurweite 143 mm, Reifenbreite 26,5 mm, Raddurchmesser 64 mm; Sensor 71 mm über der Achse und 39 mm nach vorn; Akkubügel 134 mm über der Achse; und — als die eine Größe, die in der Kippdynamik steht — die Schwingungsdauer des um die Radachse hängenden Aufbaus (Räder festgehalten, Motoren stromlos, Handyvideo, Bildauswertung mit Merkmalspunkten und RANSAC):

$$T_p = 0{,}6702 \pm 0{,}0041\ \mathrm{s} \quad\Rightarrow\quad T = \frac{T_p}{2\pi} = \sqrt{\frac{J}{m\,g\,l}} = 106{,}7\ \mathrm{ms}, \qquad \frac{J}{m\,l} = g\left(\frac{T_p}{2\pi}\right)^2 = 111{,}6\ \mathrm{mm}.$$

Die Rechnung aus der Konstruktion (STL-Dateien, gewogene Massen von Gesamtgerät und Akku) hatte zuvor 0,666 s und 105,9 ms ergeben — zwei unabhängige Wege, Abweichung 0,6 %. Ein erstes Video mit dem Fahrzeug an einer von Hand gehaltenen Schnur war dagegen ein Doppelpendel (Perioden 1,013 s und 0,510 s im Verhältnis 1,99) und ließ nur eine Spanne zu; es ist in Konstruktion/MASSE_UND_GEWICHTE.md dokumentiert.

Mit diesen Zahlen wurde der Nachweis aus Teil VII unverändert wiederholt (Modell/nachweis_gemessen.py, Programme aus Anhang D unverändert; Beiwerte aus der Firmware gelesen; Ergebnisse in Modell/gemessen_2026-09-28/, Blatt NACHWEIS_gemessen_2026-09-28.pdf):

Der Regler bleibt: stabil, dieselben Reserven, größerer Fangbereich. Was sich ändert, ist der Maßstab des Schwerpunktversatzes — bei 44,5 mm Schwerpunkthöhe ist 1 mm Versatz schon 1,3°, die Schicht 4 verträgt 3 mm und braucht dafür 0,3 m Fahrweg je 0,5 mm. Für den Prüfstand heißt das: entweder ±0,5 m Fahrweg oder den gefundenen Nullpunkt im Gerät speichern und beim Start vorgeben. Der Anschlag des Sollwinkels (6°) kann auf 10° gesetzt werden, ohne den Fangbereich zu berühren — eine Entscheidung für die Neueinstellung am Gerät. Nicht gerechnet, weil nicht gemessen: die Beschleunigungsgrenze der Motoren mit 1,25 kg (die Rampe 6,48 m/s² verlangt 0,27 Nm an beiden Rädern zusammen), der Treiberverzug und das Sensorrauschen.

8.6 Korrektur der Reglerparameter

Der Regler wurde auf die Spanne der geschätzten Strecke ausgelegt (Teil VI); die Messungen vom 28.09.2026 setzen die Strecke in diese Spanne hinein (Kippzeitkonstante 106,7 ms bei 87–191 ms). Der Nachweis mit den gemessenen Zahlen (Abschnitt oben) sagt, was zu korrigieren ist und was nicht:

Die eigentliche Korrekturschleife schließt sich am Gerät: die Stoßantwort des stehenden Fahrzeugs (Prüfstand, Teil VIII) liefert Eigenfrequenz und Dämpfung des realen Kreises; das Modell sagt sie voraus (1,34 Hz mit 0,10 s Abklingzeit für die Kippbewegung, 0,11 Hz mit 2,5 s für Nullpunkt und Weg). Stimmen sie, ist das Modell belegt und die Beiwerte folgen aus ihm; weichen sie ab, nennt die Abweichung die falsch angenommene Größe. Erst dann wird an den Beiwerten gedreht — nicht am Gerät nach Gefühl, sondern im Modell mit derselben Auslegung wie in Teil VI.

8.7 Wie das Modell geprüft ist

Ein Modell, das nur behauptet, ist nichts wert; jeder Baustein hat eine unabhängige Gegenprobe:

Was das Modell nicht enthält und warum: Schrittquantisierung und Schrittverlust als Ereignis (F2, F3), Elastizität der Reifen, Spiel in den Naben, Rechenzeitschwankungen des ESP32 (F4), das Rastmoment der Motoren im Betrieb (bestromt entfällt es), die Dynamik des Prüfstands (Fangleine, Führungsleisten). Alles davon ist am Gerät messbar und kommt mit der Stoßantwort (D4) als Beleg.

8.8 Wie weit die Aussagen tragen

Die Kette der Nachweise ist so aufgebaut, dass jede Stufe die vorige stützt:

1. Das Streckenmodell trifft eine Runge-Kutta-Lösung derselben Bewegungsgleichung auf 0,047 % über eine Viertelsekunde.
2. Das lineare Zustandsmodell und das nichtlineare Zeitmodell liefern denselben Verlauf auf 0,002 bis 0,1 %.
3. Die Auslegung fordert Stabilität in jeder Ecke der Unsicherheitsspanne, nicht nur im Nennfall.
4. Der gewählte Entwurf wird am vollständigen nichtlinearen Modell nachgefahren.
5. Die Firmware wurde unabhängig ein zweites Mal in Python aufgeschrieben — die Beiwerte werden dabei aus dem Quelltext gelesen, nicht abgeschrieben — und rechnet auf 10⁻⁸ Grad dasselbe wie das Modell.

Damit gilt: was das Modell sagt, sagt es auch über das Gerät — soweit das Modell die Wirklichkeit trifft.

Und da bleiben Lücken, die ehrlich zu benennen sind:

Der Entwurf ist so gebaut, dass er diese Lücken verträgt: er ist über eine Spanne von Faktor zwei in Masse, Schwerpunkthöhe und Trägheitsmoment stabil, über ein Verhältnis von 1 zu 5 in der Abtastrate, und bei zwanzigfachem Rauschen. Das ersetzt die Messung nicht, aber es macht sie zur Bestätigung statt zur Voraussetzung.

9 TEIL VIII — Inbetriebnahme, Prüfstand und offene Messungen

9.1 Inbetriebnahme am Gerät

Die Reihenfolge ist wichtig — jeder Schritt setzt den vorigen voraus.

1. Aufspielen. Ordner Arduino/segway_regelung, Board „ESP32 Dev Module”, 115200 Baud, Partitionsschema mit OTA. Steht das Fahrzeug im Netz, gehen weitere Übertragungen über OTA unter dem Namen segway.

Falle aus dem letzten Mal: liegt neben MPU6050 noch ein Ordner I2Cdev in Documents\Arduino\libraries, bricht das Binden mit „multiple definition” ab. Diese Fassung braucht keine MPU-Bibliothek — sie spricht den Baustein unmittelbar an.

2. Motoren aus, Sensor prüfen. Treiber stromlos lassen (Stecker ab), Fahrzeug von Hand neigen und im Browser den Istwinkel beobachten. Er muss dem tatsächlichen Winkel folgen, und er muss beim Vorwärtsneigen positiv werden. Wird er negativ, ist die Schaltfläche „Richtung” zu betätigen — das dreht den Sensor, nicht den Motor, und ist die einzige richtige Stelle dafür.

3. Rechenzeit ablesen. Die Anzeige „Rechenzeit je Takt” muss deutlich unter 4000 µs liegen. Erwartet werden rund 500 bis 900 µs, davon etwa 400 für den I²C-Zug.

4. Größte Beschleunigung messen — siehe den folgenden Abschnitt. Das ist die einzige Zahl, die nicht aus dem Modell kommen kann.

5. Nullpunkte messen. Beim Einschalten hält man das Fahrzeug eine Sekunde lang senkrecht und ruhig — gemessen werden Senkrechte und Kreiselnullpunkt. Ruhig ist wichtiger als senkrecht: die Senkrechte findet Schicht 4 nach, den Kreiselnullpunkt nicht.

6. Erster Balancierversuch, festgehalten. Freigabe erteilen, Fahrzeug an der Oberkante lose führen. Beobachten:

• Der Istwinkel muss um null pendeln, nicht davonlaufen.
• Der angezeigte Nullpunkt wandert in den ersten zwanzig Sekunden langsam auf einen festen Wert zu. Das ist Schicht 4 bei der Arbeit. Bleibt er bei null stehen, obwohl das Fahrzeug wegfährt, stimmt das Vorzeichen nicht.
• Der Weg darf sich nicht dauernd in eine Richtung vergrößern.

7. Freistehend. Erst wenn Schritt 6 sauber läuft.

8. Mitschnitt. Schaltfläche „Mitschnitt”, 30 s stehen lassen, dann kommt die Tabelle über die serielle Schnittstelle. Damit lässt sich das Modell gegen das Gerät abgleichen — bis dahin sind Masse, Schwerpunkthöhe und Trägheitsmoment geschätzt.

9.1.1 Die Messung von A_MAX

A_MAX ist die größte Beschleunigung, die die Räder wirklich annehmen, ohne dass Schritte verloren gehen. Sie ist keine Softwareeinstellung, sondern eine Eigenschaft von Motor, Treiber, Spannung und Radträgheit.

Sie ist deshalb im Betrieb verstellbar, damit sie sich messen lässt, ohne für jeden Versuch neu aufzuspielen.

Vorgehen

1. Fahrzeug auf den Rücken legen, Räder frei drehbar, „Halt” drücken.
2. Im Browser den Schieber „A_MAX” auf einen kleinen Wert stellen, etwa 2 m/s². Er wirkt sofort; alternativ /rampe?a=2.0 aufrufen.
3. „Rampentest” drücken. Die Motoren fahren dann zehnmal von +0,2 m/s auf −0,2 m/s und zurück, mit genau dieser Beschleunigung, unter Umgehung der vier Schichten. Alternativ /rampentest?a=2.0&v=0.2.
4. Zuhören und zusehen. Solange der Motor sauber durchdreht, ist der Wert zulässig. Sobald er beim Richtungswechsel rasselt, stehenbleibt oder hörbar Schritte verliert, ist die Grenze überschritten.
5. Den Wert schrittweise erhöhen und Schritt 3 wiederholen, bis das eintritt. Vom letzten sauberen Wert 20 Prozent abziehen — die Reserve ist für Last, warme Motoren und schwächere Akkuspannung.
6. Den gefundenen Wert in A_MAX_VORGABE im Quelltext eintragen, damit er das Einschalten überlebt.

Was davon abhängt — und was nicht

Die Reglerbeiwerte hängen nicht davon ab. Über die ganze Spanne von 1,5 bis 25 m/s² bleiben Restzittern und Nullpunkttoleranz unverändert; nur der Fangbereich wandert mit:

Die folgende Tafel stammt aus dem Nachweis vom 25.08. mit den damals geschätzten Streckengrößen (Fangbereich 20,5° statt 22,0° heute); sie zeigt die Abhängigkeit von der Rampe, nicht die heutigen Absolutwerte.

A_MAX zu ändern heißt also, den Fangbereich zu ändern — nicht, neu auslegen zu müssen. Das ist die praktische Folge davon, dass die Beiwerte in physikalischen Einheiten stehen.

Der Sprung zwischen 3 und 4 m/s² ist die Stelle, an der die Rampe aufhört, das Aufrichten zu begrenzen. Oberhalb von 10 m/s² wird kaum noch etwas gewonnen, weil dann die Frequenzgrenze wirkt und nicht mehr die Rampe.

Die Gegenprobe im Betrieb

Die Bedienseite zeigt „gefordert (Spitze)“: die größte Beschleunigung, die der Regler seit dem letzten Zurücksetzen verlangt hat. Nach einem Balancierversuch gilt:

• liegt sie deutlich unter A_MAX, ist Reserve da;
• liegt sie dauernd genau auf A_MAX, begrenzt die Rampe das Aufrichten — dann lohnt es, A_MAX zu erhöhen, sofern die Motoren es hergeben;
• lässt sich A_MAX nicht weiter erhöhen, ist der Fangbereich mechanisch ausgereizt. Dann hilft nur ein stärkerer Motor, eine höhere Spannung oder ein leichteres Rad.

Am Modell fordert der Regler beim Aufrichten aus 5 Grad bis zu 40 m/s², wenn man ihn ließe. Die Begrenzung in der Motoreinheit sorgt dafür, dass er nie mehr verlangt, als die Räder annehmen — und nur deshalb bleibt die ausgegebene Frequenz die wahre Radgeschwindigkeit, auf der Schicht 3 und Schicht 4 beruhen.

9.2 Der Hardwaretest: Kamera, Synchron-LED, Bildauswertung und das Nachziehen des Reglers

Das Modell sagt voraus, wie sich der Kreis bewegt (Teil VII: Kippbewegung mit Eigenfrequenz und Abklingzeit, Nullpunktkorrektur mit ihrer Zeitkonstante). Der Hardwaretest misst genau diese Größen am Gerät, mit zwei voneinander unabhängigen Winkelmessungen, und schließt daraus die Schleife zurück auf die Beiwerte. Das Bild zeigt den Ablauf; die Abschnitte darunter nennen jeden Schritt mit seinem Mittel.

Aufbau. Das Fahrzeug steht auf dem Prüfstand (Abschnitt „Der Prüfstand und die Maße“) an der Fangleine zwischen den Führungsleisten; der Fahrweg muss die Nullpunktsuche zulassen (0,3 m je 0,5 mm Schwerpunktversatz, Teil VII). Die Laptop-Kamera steht seitlich in Achshöhe und fest; der Maßstab im Bild kommt aus dem Raddurchmesser $2r$, der Drehwinkel braucht ihn nicht.

Zeitmarke. Der Befehl /log startet den Mitschnitt mit $f_\mathrm{log}$ (Spalten: Zeit, Istwinkel, Drehrate, Schrittfrequenz, Nullpunkt, led) und lässt die Synchron-LED an GPIO 23 dreimal blitzen (12 Takte an, 38 aus). Der Blitz steht im Video als hellster Bildpunktbereich und im Mitschnitt als Spalte led; aus beiden folgt der Zeitversatz $\Delta t$ zwischen Kamera und ESP32 auf ein Bild genau. Damit liegen $\theta_\mathrm{ist}(t)$ des Kalman-Filters und $\theta_\mathrm{cam}(t)$ der Kamera auf derselben Zeitachse.

Bildauswertung. Je Bild werden Merkmalspunkte (AKAZE) auf dem Aufbau gefunden und gegen ein Bezugsbild mit einer Ähnlichkeitstransformation (RANSAC) verglichen; der Drehwinkel der Transformation ist $\theta_\mathrm{cam}$. Der Hintergrund wird über ein Medianbild ausgeblendet. Das ist dasselbe Verfahren, mit dem die Kippzeitkonstante aus dem Radpendel-Video gemessen wurde (Konstruktion/radpendel_auswertung.py, 0,6 Prozent); es läuft heute als Skript und ist für die Laborseite (getUserMedia, Stufe 4 des Laborplans) vorgesehen.

Zwei Winkel. $\theta_\mathrm{cam}$ misst die Neigung des Aufbaus gegen die Senkrechte des Bildes, $\theta_\mathrm{ist}$ ist der geschätzte Winkel des Kalman-Filters abzüglich des nachgeführten Nullpunkts. Im Stand müssen beide bis auf den Gleichgewichtswinkel $-\arctan(s/l)$ und den Restfehler der Kamera (Bildrate, Kantenlage) übereinstimmen; ein Versatz zeigt einen Sensorfehler oder eine falsche Einbaulage $w$, $u$, eine Verzögerung einen zu langsamen Filter.

Stoßantwort. Ein kurzer Stoß von Hand (später /stoss als kurzer Sollwertsprung, Stufe 2) lenkt den Aufbau aus; aus $\theta_\mathrm{cam}(t)$ und $\theta_\mathrm{ist}(t)$ werden durch Ausgleich einer abklingenden Schwingung $\theta_0 e^{-t/\tau_K}\cos(2\pi f_K t+\varphi)$ die Eigenfrequenz $f_K$, die Abklingzeit $\tau_K$ und aus den letzten Sekunden das Restzittern bestimmt. Vorhergesagt sind sie in Teil VII (Wurzeln des Kreises); die Schranke für „stimmt“ ist $\pm 15$ Prozent in $f_K$ und $\pm 30$ Prozent in $\tau_K$, weil die Kamera bei 30 Bildern je Sekunde eine Schwingung von rund 1,3 Hz mit etwa 23 Bildern je Periode auflöst.

Entscheidung und Nachziehen. Stimmen die Kennwerte, ist das Modell belegt und die Beiwerte bleiben. Weichen sie ab, wird nicht am Regler gedreht, sondern zuerst die Strecke nachgeführt: mit festen Beiwerten hängen $f_K$ und $\tau_K$ im linearen Modell des Teils VII an $J/(m\,l)$, $d$ und $\tau_\mathrm{mot}$; die drei Größen werden so bestimmt, dass das Modell die gemessene Stoßantwort trifft (Ausgleich mit dem Zustandsmodell, Modell/segway_entwurf.py). Erst mit der nachgeführten Strecke werden die Beiwerte neu ausgelegt — in der Laborseite über „Regler automatisch auslegen“ (Suche über $K$, $T_n$, $T_v$ mit Verstärkungsreserven, Teil VI) — und mit /param in den Flash des ESP32 geschrieben (Stufe 2). Dann wieder Freigabe, Stoß, Vergleich: die Schleife endet, wenn Gerät und Modell dieselben Kennwerte liefern.