Aufgabe

Eine Strömungsrechnung nach dem Kirchhoffschen Netzwerkansatz aufbauen — demselben, der im Feld_Labor schon die Feldrechnung trägt — und an einem plakativen Beispiel gegen eine Referenz prüfen, die sich nicht beeinflussen lässt. Analytisch und numerisch belegt, nichts geschätzt.

Zielsetzung

Für Strömungen zwei Rechenwege haben, die verschieden scheitern können — so wie für die Feldrechnung Kirchhoff und Ritz nebeneinanderstehen. Beweisstück: die Kármánsche Wirbelstraße am Kreiszylinder, Re = 100 (Schäfer-Turek 2D-2). Dort ist der Nachlauf echt zweidimensional — dreidimensionale Instabilitäten setzen erst ab Re ≈ 190 ein —, die zweidimensionale Rechnung ist also keine Vereinfachung, sondern vollständig.

Methode — wie die Navier-Stokes-Gleichung zum Netzwerk wird

Nicht als Analogie, sondern als Identität. Integriert man die Erhaltungssätze über eine Zelle, so wird jeder Term zu einem Netzwerkelement:

Die ersten vier Zeilen ergeben ein passives Netz aus Widerständen und Kondensatoren — genau das Netz des Feld-Labors. Die fünfte ist der Teil, den ein passives Netz nicht kann: Konvektion ist gerichtet, hängt von der Lösung ab und macht die Matrix unsymmetrisch. Das ist im Netzwerk nichts Fremdes, sondern eine gesteuerte Quelle, wie sie in jedem Transistormodell steht.

Der entscheidende Schritt ist der Zweigstempel. Für einen einzelnen Zweig hat die Konvektions-Diffusions-Gleichung eine geschlossene Lösung; man nimmt sie, statt zu nähern (Scharfetter und Gummel 1969, aus der Halbleitersimulation):

$$J = \frac{D}{h}\left[B(-\mathrm{Pe}_h)c_i - B(\mathrm{Pe}_h)c_{i+1}\right],\quad B(x)=\frac{x}{e^x-1},\quad g_\text{hin}-g_\text{rück} = u_f A .$$

Die Differenz der beiden Leitwerte ist der Volumenstrom — die gesteuerte Quelle steht also wörtlich in der Unsymmetrie des Stempels. Für $u\to0$ wird die Matrix symmetrisch, und übrig bleibt das Widerstandsnetz. Der Stempel ist knotenweise exakt bei jeder Péclet-Zahl; übliche CFD nähert hier (zentral, Aufwind, QUICK, TVD).

Dazu das versetzte Gitter: Potentiale auf Knoten, Flüsse auf Zweigen. Das ist keine Reparatur des Schachbrettproblems, sondern die topologisch richtige Zuordnung — das Schachbrett entsteht umgekehrt gerade dadurch, dass man eine Zweiggröße auf einen Knoten legt. Der Druck wird über ein zweites, rein passives Netz korrigiert (Poisson); die Divergenz des Zwischenfelds ist der eingeprägte Strom.

Beide Wege rechnen in der Seite

Seit dem 1. November 2026 rechnet das Browser-Labor beide Wege selbst — nicht nur der Netzwerkweg, auch der Galerkin-Weg samt eigener Vernetzung. Dafür steckt Triangle (Shewchuk) als WebAssembly in der Datei, derselbe Vernetzer, den auch FEMM benutzt.

Der Gleichungslöser ist dort ein anderer: In Python wird das Sattelsystem direkt zerlegt, im Browser löst MINRES mit einem Blockvorkonditionierer. Das ist kein anderer Ansatz — der Ansatz ist die schwache Form mit Taylor-Hood-Elementen, und der ist derselbe. Belegt wird das mit 47 Prüfposten, die den Browserkern knotenweise gegen die Python-Module halten: Hagen-Poiseuille auf $1{,}0\cdot10^{-12}$, die Beiwerte über 40 Zeitschritte auf $10^{-9}$.

Was die Seite dabei offen sagt: Die feinen Netze des Python-Laufs sind im Browser nicht in Minuten zu rechnen. Auf dem groben Netz liegt der Galerkin-Weg unter, der Netzwerkweg über dem Benchmarkwert — beide noch nicht umgerechnet, und zwar in entgegengesetzte Richtungen. Der Benchmarkwert liegt dazwischen.

Wie das geprüft wird

Stufenweise, jede Stufe gegen etwas, das sich nicht beeinflussen lässt: der Zweigstempel gegen die geschlossene Lösung der 1D-Konvektion-Diffusion ($3{,}4\cdot10^{-15}$ bis $\mathrm{Pe}=10^6$), die Kanalströmung gegen Hagen-Poiseuille (Ordnung $h^2$, dreimal exakt 2,00), die Knotenregel am Ende jedes Zeitschritts ($4{,}3\cdot10^{-15}$), die Wirbelstraße gegen Schäfer-Turek.

Dazu zwei Proben verschiedener Art, die nicht verwechselt werden dürfen. Die Sprachprobe stellt zwei Aufbauten derselben Diskretisierung gegeneinander — gestempelte Matrix gegen matrixfreie Feldoperation —; über 6000 Zeitschritte stimmen sie auf $5{,}2\cdot10^{-14}$ überein. Das beweist, dass der Aufbau fehlerfrei ist, und nicht, dass das Verfahren richtig ist: Beide teilen Zeitschritt, Randbehandlung und Stempel, können also nur gemeinsam scheitern.

Der unabhängige zweite Weg ist deshalb ein anderer: Galerkin mit Taylor-Hood-Elementen auf körperangepasstem Netz — schwache Form statt Flussbilanz, Knotenwerte eines Polynomansatzes statt Zellmittel, Zylinderrand auf Knoten statt Treppe, andere Kraftermittlung. Dass beide am Ende ein dünnbesetztes System lösen, ist eine Frage des Werkzeugs, nicht des Ansatzes. Ritz ist hier nicht anwendbar: Er minimiert ein Funktional, und die Konvektion ist nicht symmetrisch — es gibt keines. Galerkin ist die Fortsetzung desselben Gedankens dorthin, wo die Symmetrie verlorengeht, und fällt beim Zähigkeitsterm wörtlich mit Ritz zusammen.

Wozu das Surrogat

Der vollständige Löser kostet je Fall Minuten bis Stunden; ein angelerntes Ersatzmodell — POD für die Raumformen, harmonisch angepasstes Zeitgesetz — wertet in Mikrosekunden aus. Es trägt den Zeitverlauf im Browser-Labor (eine volle Rechnung je Bildwechsel wäre unmöglich); es erlaubt später, Betriebspunkte zu durchfahren, statt jeden einzeln nachzurechnen — das ist der Unterschied zwischen Nachrechnen und Auslegen; und es macht Struktur sichtbar: Dass 16 Moden 100,0000 % der Energie erfassen und die Singulärwerte paarweise kommen, ist eine physikalische Aussage — der Grenzzyklus ist niederdimensional. Brauchbar ist es nur, weil sein Fehler gemessen wird: 0,187 % der Schwankungsbreite, gegen 7,33 % für einen angepassten linearen Zeitoperator.

Fazit

Der Netzwerkweg: In der Netzreihe (10/20/40 Zellen über $D$) laufen alle vier Benchmarkgrößen monoton auf die Referenz zu; auf dem feinsten Netz $c_D$ $+1{,}8\,\%$, $c_L$ $-2{,}6\,\%$, $\Delta p$ $-1{,}0\,\%$, $\mathrm{St}$ im Intervall. Der Rest ist gemessen: Vier Netze mit unveränderter Geometrie und gleicher Auflösung, nur anderer Lage des Zylinders im Raster, streuen in $c_D$ um 4,7 % und in $c_L$ um 14,6 % — so groß wie der Fehler selbst. Nicht die Auflösung bestimmt ihn, sondern die Treppenkontur.

Der unabhängige Weg schließt die Lücke. Er gibt zuerst Hagen-Poiseuille exakt wieder ($4{,}9\cdot10^{-14}$ im Profil), weil die Parabel im Ansatzraum liegt. Am Benchmark, 2097 Knoten, 81 davon auf dem Zylinderrand:

Alle drei Größen liegen im Referenzintervall — direkt gerechnet, ohne Extrapolation. Die beobachtete Konvergenzordnung in der Zeit beträgt 1,00 beziehungsweise 1,02; das Zeitschema ist explizit-impliziter Euler, also erster Ordnung. Der Zeitfehler ist damit nicht nur klein, sondern verstanden.

Was damit belegt ist. Zwei Wege, die verschieden scheitern können — Flussbilanz am Kontrollvolumen mit Treppenkörper gegen schwache Form mit körperangepasstem Netz —, treffen dieselbe gemessene Referenz und einander.

Einschränkungen und nächste Schritte. Das Zeitschema ist erster Ordnung; der Zeitfehler ist damit der größte verbliebene. Ein turbulenter Fall verlangt ein Turbulenzmodell — damit lässt sich abgleichen, nicht beweisen. Als Nächstes: Zeitschema zweiter Ordnung, geschnittene Zellen auch für den Netzwerkweg, dann 3D und das Lüfterrad (FAN-01 liegt bereit).

Fassung 1.7, 01.11.2026. Gegenüber 1.6 neu: die Programme liegen im Wortlaut in der Seite (Reiter Programme), neuer Abschnitt Quelltexte — auf Einwand von Fred. Fassung 1.6, 01.11.2026. Gegenüber 1.5 neu: Danksagung an den Urheber des Vernetzers und seine beiden Arbeiten im Schrifttum, dazu Cahouet/Chabard und Paige/Saunders. Fassung 1.5, 01.11.2026. Gegenüber 1.4 neu: die Dateitafeln in §6 nachgezogen (beide Browserkerne, Vernetzer, Triangle) und die Prüfstufen S19a/S19b. Fassung 1.4, 01.11.2026. Gegenüber 1.3 neu: §5.6a — beide Wege rechnen jetzt im Browser, einschließlich Vernetzung; der Gleichungslöser dort ist MINRES mit Blockvorkonditionierer, geprüft knotenweise gegen die Python-Module. Fassung 1.3, 01.11.2026. Gegenüber 1.2 neu: der unabhängige zweite Weg (§5.6) — Galerkin mit Taylor-Hood-Elementen auf körperangepasstem Netz, der alle drei Benchmarkintervalle direkt trifft. Gegenüber 1.1 neu: das Browser-Labor CFD_Labor_1.0.html samt seinem gegen die Python-Module geprüften Rechenkern (§6). Gegenüber 1.0 neu: der Impulsoperator als Knotenadmittanzmatrix (§3.4), die Sprachprobe auf dem vollständigen Löser statt nur auf einzelnen Operatoren (§5.5), die Druckdifferenz als vierte, unabhängige Referenzgröße (§5.6), die Netzverfeinerungsreihe mit beobachteter Konvergenzordnung (§5.4) und das Prüfprotokoll (§5.8). Berichtigt: §5.3 beschrieb ein Rohr statt des gerechneten ebenen Kanals und behauptete eine Prüfung der Druckkopplung, die dort nicht stattfindet (Befund B9).

1 Aufgabe

Gesucht ist die Strömung eines inkompressiblen zähen Fluids:

$$\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \mu\nabla^2\mathbf{u} + \mathbf{f}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{u} = 0 .$$

Behauptung dieses Textes: Diese Gleichungen lassen sich vollständig als elektrisches Netzwerk aus Widerständen, Kondensatoren und gesteuerten Quellen schreiben — nicht als Analogie, sondern als dieselbe Gleichung in anderer Schreibweise. Der Nachweis erfolgt in Abschnitt 5 an geschlossenen Lösungen und an einem Benchmark mit veröffentlichten Referenzwerten.

2 Vom Erhaltungssatz zum Netzwerk

2.1 Die Kontinuitätsgleichung ist die Knotenregel

Man integriere $\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ über ein Kontrollvolumen $V$ und wende den Gaußschen Satz an:

$$\int_V \nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V = \oint_S \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}A = \sum_{\text{Flächen } f} u_f A_f = \sum_f Q_f = 0 .$$

Das ist Kirchhoffs Knotenregel, Wort für Wort: Die Summe der Zweigströme an einem Knoten ist null. Zelle = Knoten, Fläche = Zweig, Volumenstrom = Strom. Hier wird nichts übertragen; es ist dieselbe Aussage.

2.2 Die Impulsgleichung als Zweigbilanz

Für eine Geschwindigkeitskomponente, über die Zelle integriert:

$$\underbrace{\rho V \frac{\mathrm{d}u_P}{\mathrm{d}t}}_{\text{Trägheit}} + \underbrace{\sum_f \dot m_f\, u_f}_{\text{Konvektion}} = \underbrace{\sum_f \frac{\mu A_f}{d_f}\,(u_N - u_P)}_{\text{Zähigkeit}} - \underbrace{V\frac{\partial p}{\partial x}}_{\text{Druck}} + \underbrace{V f_x}_{\text{Volumenkraft}}$$

Term für Term:

Knotenpotential ist hier die Geschwindigkeitskomponente. In drei Dimensionen sind das drei solche Netze auf demselben Knotensatz.

Der entscheidende Unterschied zur Feldrechnung: Ein passiver Widerstand hat einen Leitwert, in beide Richtungen denselben; die zugehörige Matrix ist symmetrisch. Konvektion ist gerichtet und erzeugt eine unsymmetrische Matrix. Genau diese Unsymmetrie ist die gesteuerte Quelle (Abschnitt 3.3).

2.3 Warum der Druck ein eigenes Netz braucht

Löst man die Impulsnetze mit einem geratenen Druckfeld $p^*$, so erfüllt das Ergebnis $\mathbf{u}^*$ die Knotenregel nicht. Die diskrete Impulsgleichung lautet

$$a_P u_P = \sum_{nb} a_{nb} u_{nb} + b - V(\nabla p)_P .$$

Mit $\mathbf{u}=\mathbf{u}^*+\mathbf{u}'$ und $p=p^*+p'$, Subtraktion der Gleichung für $\mathbf{u}^*$ und Vernachlässigung von $\sum a_{nb}u'_{nb}$ (das ist die SIMPLE-Näherung, sie betrifft nur den Weg zur Lösung, nicht die Lösung selbst):

$$a_P u'_P = -V(\nabla p')_P \qquad\Longrightarrow\qquad \mathbf{u}' = -\frac{V}{a_P}\nabla p' .$$

Einsetzen in $\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ liefert

$$\nabla\cdot\left(\frac{V}{a_P}\nabla p'\right) = \nabla\cdot\mathbf{u}^* .$$

Das ist ein reines Widerstandsnetz: Leitwert $V/a_P$, Knotenpotential $p'$, und als eingeprägter Strom an jedem Knoten genau der Betrag, der dort an der Knotenregel noch fehlt. Es ist dieselbe Poisson-Struktur, die das Feld_Labor bereits rechnet.

Dann wird korrigiert und wiederholt. Beide Nichtlinearitäten — die gesteuerte Quelle hängt von der Lösung ihres eigenen Netzes ab, und Impuls und Druck hängen wechselseitig — werden durch diese äußere Iteration behandelt. Alternativ linearisiert ein Newton-Schritt das ganze gekoppelte System auf einmal; das konvergiert schneller, verlangt aber einen Vorkonditionierer für die Sattelpunktmatrix.

2.4 Die duale Zuordnung — wo die Induktivität sitzt

Abschnitt 2.2 wählt die Geschwindigkeit als Knotenpotential; dort trägt der Kondensator die Trägheit. Die klassische hydraulische Zuordnung ist die duale: Knotenpotential ist der Druck, Zweigstrom der Volumenstrom. Für eine Rohrstrecke der Länge $l$ und des Querschnitts $A$ gilt dann aus dem Impulssatz der Fluidsäule

$$\Delta p\,A = \rho A l\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} \qquad\Longrightarrow\qquad \Delta p = \underbrace{\frac{\rho l}{A}}_{L}\,\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} ,$$

also eine Induktivität $L=\rho l/A$ mit $\tfrac12 LQ^2 = \tfrac12 (\rho l A) u^2$, wieder der kinetischen Energie. Die Kompressibilität liefert $C=V/(\rho c^2)$. Mit den Belägen $L'=\rho/A$ und $C'=A/(\rho c^2)$ ergibt sich

$$\frac{1}{\sqrt{L'C'}} = c, \qquad \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{\rho c}{A} ,$$

also Schallgeschwindigkeit und Wellenwiderstand: ein Rohr ist eine Leitung, beschrieben durch die Telegraphengleichung. Im inkompressiblen Grenzfall $c\to\infty$ geht $C\to 0$; die Leitung entartet, der Druck wird von einer dynamischen Größe zu einer Zwangsbedingung. Das ist genau die Sattelpunktstruktur aus Abschnitt 2.3.

Nach Zeitdiskretisierung mit der Trapezregel werden $L$ und $C$ zu Begleitmodellen — $G=\Delta t/(2L)$ bzw. $G=2C/\Delta t$, jeweils parallel zu einer Stromquelle aus der Vorgeschichte. In jedem Zeitschritt bleibt ein reines Widerstandsnetz mit gesteuerten Quellen übrig; Trägheit, Kompressibilität und Konvektion fügen sich damit in dieselbe Maschinerie.

3 Der Zweigstempel

3.1 Warum die naheliegenden Stempel versagen

Auf einem Zweig ist der Fluss $J = u\,c - D\,\mathrm{d}c/\mathrm{d}x$. Maßgeblich ist die Gitter-Pécletzahl $\mathrm{Pe}_h = u h/D$.

Die zentrale Differenz ist zweiter Ordnung, erzeugt aber für $\mathrm{Pe}_h>2$ negative Leitwerte und damit Schwingungen von Zelle zu Zelle. Der Aufwind ist bedingungslos stabil, aber nur erster Ordnung; sein Abbruchfehler wirkt wie eine zusätzliche Diffusion mit $D_{\text{num}} = u h/2$. Bei Farbstoff in Wasser ($D\approx 10^{-9}\,$m²/s, $u\approx 0{,}1\,$m/s, $h\approx 10^{-4}\,$m) ist $D_{\text{num}} \approx 5\cdot10^{-6}$ — das Fünftausendfache des physikalischen Werts. Das Bild sähe dann glatt aus und zeigte doch nur das Gitter.

3.2 Scharfetter-Gummel: die Zweiglösung als Leitwert

Statt die Ableitung zu nähern, löst man die Gleichung auf dem Zweig exakt. Mit konstantem $u$, $D$ und $J$ zwischen $x=0$ (Wert $c_i$) und $x=h$ (Wert $c_{i+1}$):

$$\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x} = \frac{u c - J}{D} \qquad\Longrightarrow\qquad c(x) = \frac{J}{u} + \left(c_i-\frac{J}{u}\right)e^{ux/D} .$$

Einsetzen von $c(h)=c_{i+1}$ und Auflösen nach $J$ liefert

$$J = u\,\frac{c_i e^{\mathrm{Pe}_h} - c_{i+1}}{e^{\mathrm{Pe}_h}-1} .$$

Mit der Bernoulli-Funktion $B(x)=x/(e^x-1)$, für die $B(-x)=x e^{x}/(e^{x}-1)$ gilt, wird daraus die Stempelform

$$\;J_{i+1/2} = \frac{D}{h}\left[\,B(-\mathrm{Pe}_h)\,c_i \;-\; B(\mathrm{Pe}_h)\,c_{i+1}\,\right]\;$$

Die Grenzfälle bestätigen die Bauart: $\mathrm{Pe}_h\to 0$ gibt $B\to 1$ und damit reine Diffusion $J=(D/h)(c_i-c_{i+1})$; $\mathrm{Pe}_h\to+\infty$ gibt $J=u\,c_i$, also Aufwind von links; $\mathrm{Pe}_h\to-\infty$ gibt $J=u\,c_{i+1}$, Aufwind von rechts. Der Stempel geht also von selbst stetig zwischen den beiden Grenzverhalten über.

Numerisch ist $B$ in vier Bereichen auszuwerten — Reihenentwicklung nahe null, expm1 im Mittelfeld, und zwei Grenzfälle gegen Über- und Unterlauf. Das ist keine Kosmetik: Ohne diese Fallunterscheidung ist der Stempel genau dort falsch, wo er gebraucht wird.

3.3 Die Unsymmetrie ist die gesteuerte Quelle

Die beiden Vorfaktoren $B(-\mathrm{Pe}_h)$ und $B(\mathrm{Pe}_h)$ sind verschieden. Der Zweig leitet in Strömungsrichtung anders als dagegen. Ein passiver Widerstand kann das nicht; die Differenz

$$\frac{D}{h}\left[B(-\mathrm{Pe}_h) - B(\mathrm{Pe}_h)\right] = u$$

ist genau die gesteuerte Quelle, deren Stärke vom Strömungszustand abhängt. Da $\mathrm{Pe}_h$ seinerseits von der Lösung abhängt, ist der Stempel nichtlinear und wird durch Newton nachgeführt.

3.4 Die Impulsgleichung als Knotenadmittanzmatrix

Bis hierher steht der Stempel für einen einzelnen Zweig. Setzt man ihn für jeden Zweig und bilanziert an jedem Knoten, so entsteht eine Matrix — und zwar genau die Knotenadmittanzmatrix der Netzwerkanalyse. Für den Zweig zwischen den Knoten $a$ und $b$ trägt der Stempel vier Einträge ein:

$$M_{aa} \mathrel{-}= g_\text{hin},\quad M_{ab} \mathrel{+}= g_\text{rück},\quad M_{bb} \mathrel{-}= g_\text{rück},\quad M_{ba} \mathrel{+}= g_\text{hin} .$$

Bei $g_\text{hin} = g_\text{rück}$ wäre das die symmetrische Matrix eines reinen Widerstandsnetzes. Weil der Scharfetter-Gummel-Stempel die beiden Leitwerte um den Volumenstrom auseinanderzieht, ist sie unsymmetrisch — und diese Unsymmetrie ist die gesteuerte Quelle, jetzt nicht mehr an einem Zweig, sondern als Eigenschaft der ganzen Matrix:

$$M - M^{\mathsf T} \;\neq\; 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{es strömt.}$$

Das ist nachprüfbar und wird geprüft: Lässt man die Geschwindigkeit gegen null gehen, muss $\|M - M^{\mathsf T}\|/\|M\|$ mit ihr verschwinden. Gemessen wird $9{,}2\cdot10^{-9}$ bei einer Geschwindigkeit von $10^{-9}$ — die Unsymmetrie geht linear mit der Geschwindigkeit, wie es der Stempel verlangt.

Was mit den Randwerten geschieht

Ein Geisterwert außerhalb des Gebiets ist entweder eine Kopie eines inneren Unbekannten (freier Ausstrom), seine Spiegelung mit Faktor $-1$ (Haftbedingung, damit die Wand zwischen Zelle und Spiegel bei $u=0$ liegt) oder ein echter Vorgabewert (Einströmprofil). Nur der dritte Fall ist eine Konstante; die ersten beiden gehören als Matrixeintrag auf den Knoten, von dem sie abhängen. Wer sie stattdessen in den Lastvektor schreibt, bekommt zwar dasselbe Residuum, aber nicht dieselbe Matrix — und merkt den Unterschied erst, wenn er sie implizit lösen will (Befund B6).

4 Das versetzte Gitter

4.1 Das Schachbrettproblem

Liegen Druck und Geschwindigkeit auf denselben Knoten, so wird der Druckgradient zentral gebildet. Für ein Schachbrettfeld $p_i = (-1)^i A$ folgt

$$\left.\frac{\partial p}{\partial x}\right|_i = \frac{p_{i+1}-p_{i-1}}{2h} = \frac{A-A}{2h} = 0 .$$

Die Oszillation ist für die Gleichungen unsichtbar und kann beliebig anwachsen.

4.2 Warum das Netzwerkdenken das versetzte Gitter vorschreibt

Sitzt die Geschwindigkeit dagegen auf der Fläche zwischen zwei Druckknoten, so ist

$$\left.\frac{\partial p}{\partial x}\right|_{i+1/2} = \frac{p_{i+1}-p_i}{h} = -\frac{2A}{h} ,$$

also groß — die Oszillation wird sofort bestraft. Wesentlich ist der Versatz um eine halbe Zelle, nicht die Nähe zweier Knoten.

Im Netzwerkbild ist das keine Reparatur, sondern die richtige Zuordnung: Potentiale leben auf Knoten, Flüsse auf Zweigen. Der Druck ist ein Potential (Zellmitte), der Durchfluss ein Fluss (Fläche). Das Schachbrettmuster entsteht umgekehrt gerade dadurch, dass man eine Zweiggröße fälschlich auf einen Knoten legt. Das versetzte Gitter nach Harlow und Welch (1965) ist damit die topologisch korrekte Aufstellung.

Zwei Alternativen bestehen und sind erwähnenswert: gemischte Elemente nach Taylor und Hood (gleiche Orte, aber reicherer Geschwindigkeitsansatz, der die inf-sup-Bedingung erfüllt) sowie stabilisierte gleichordnige Verfahren (PSPG), die einen zusätzlichen Druckterm einführen. Letztere bringen einen frei zu wählenden Parameter mit und werden hier vermieden.

5 Der Nachweis

5.1 Grundsatz: was als Referenz zählt

Referenz ist eine geschlossene Lösung oder eine Messung. Die Ausgabe eines anderen Rechenprogramms ist eine Gegenprobe, keine Referenz: Sie trägt dessen Netz, Randbedingungen und — bei turbulenten Rechnungen — dessen Turbulenzmodell mit. Übereinstimmung bedeutet dann nur, dass dieselben Annahmen getroffen wurden.

Jede Stufe wird gegen eine Referenz geprüft, die von der Rechnung unabhängig ist, und keine Stufe wird übersprungen: Ein Fehler im Zweigstempel fällt bei $\mathrm{Pe}=10^6$ auf die zehnte Stelle auf, ginge aber in einer Turbulenzrechnung spurlos unter.

5.2 Stufe 1 — der Zweigstempel gegen die geschlossene Lösung

Stationäre eindimensionale Konvektion-Diffusion mit $c(0)=0$, $c(L)=1$ hat die Lösung

$$c(x) = \frac{e^{\mathrm{Pe}\,x/L}-1}{e^{\mathrm{Pe}}-1}, \qquad \mathrm{Pe} = \frac{uL}{D} .$$

Scharfetter-Gummel ist auf gleichmäßigem Gitter knotenweise exakt; das ist eine beweisbare Eigenschaft des Stempels, keine Erfahrungstatsache. Gemessen auf 20 Zellen, größter Knotenfehler:

Urteil: bestanden. Der größte Fehler über alle Fälle beträgt $3{,}4\cdot10^{-15}$, also Maschinengenauigkeit.

Zur Einordnung des Aufwinds: Sein kleiner Fehler bei $\mathrm{Pe}=10^6$ ist kein Verdienst. Die exakte Lösung ist dort eine Stufe am rechten Rand, und eine Stufe trifft der Aufwind trivial. Sein tatsächlicher Fehler liegt bei $\mathrm{Pe}_h\approx 1\ldots5$ und beträgt dort 13 bis 16 Prozent.

5.3 Stufe 2 — Kanalströmung gegen Hagen-Poiseuille

Berichtigt am 31.10.2026. Dieser Abschnitt beschrieb vorher ein Rohr mit $u(r)=2\bar u(1-r^2/R^2)$ und $\Delta p = 8\mu L Q/(\pi R^4)$, während das Programm einen ebenen Kanal rechnet. Und er behauptete, hier werde die Druckkopplung mitgeprüft — das ist nachweislich nicht so (Befund B2). Beides steht jetzt richtig da.

Die ausgebildete laminare Strömung im ebenen Kanal der Höhe $h$ unter dem Antrieb $G$ ist eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen:

$$u(y) = \frac{G}{2\nu}\,y\,(h-y), \qquad u_{\max} = \frac{G h^2}{8\nu}, \qquad \bar u = \frac{2}{3}\,u_{\max} .$$

Gemessen wird gegen diese Formel, nicht gegen eine andere Rechnung:

Zwei Dinge sind daran bemerkenswert.

Der Scheitelwert ist auf Maschinengenauigkeit exakt, und zwar schon bei acht Zellen. Das ist kein Glück: Die Zweitableitung eines Polynoms zweiten Grades wird vom Zweipunktstempel exakt wiedergegeben. Der verbleibende Fehler in $\bar u$ und im $L_2$-Maß ist allein der Quadraturfehler der Mittelung über die Zellen — und der fällt sauber mit $h^2$, dreimal hintereinander exakt 2,00.

Was diese Stufe NICHT prüft. In der ausgebildeten Kanalströmung ist die Divergenz identisch null. Die rechte Seite des Drucknetzes ist damit null, gleich welcher Vorfaktor und welches Vorzeichen davorstehen. Die Druckkopplung wird hier also nicht geprüft — sie wird erst in Stufe 3 geprüft, wo die Divergenz im Zwischenfeld von null verschieden ist. Genau diese Lücke hat einen Fehler mit dem Faktor 2560 und falschem Vorzeichen durchgelassen (Befund B2). Stufe 2 prüft die Zähigkeitswiderstände und die Haftbedingung, und nur die.

Noch offen. Die Taylor-Aris-Dispersion — ein Farbstoff verteilt sich längs des Rohres nicht mit $D$, sondern mit $D_\text{eff} = D + a^2\bar u^2/(48 D)$ — wäre eine weitere geschlossene Lösung, die empfindlich auf numerische Diffusion reagiert und damit genau die Schwachstelle aus Abschnitt 3.1 prüft. Sie ist noch nicht gerechnet und steht hier als Vorhaben, nicht als Nachweis.

5.4 Stufe 3 — die Wirbelstraße gegen Schäfer und Turek

Der Benchmark „Flow around a cylinder” (Schäfer und Turek, DFG-Prioritätsprogramm 1996) ist der Standardfall der zweidimensionalen instationären Strömungsrechnung. Kanal $2{,}2 \times 0{,}41$, Zylinder mit $D=0{,}1$ bei $(0{,}2;\,0{,}2)$ — leicht außermittig, damit die Ablösung anläuft —, parabolisches Einströmprofil mit $\bar u = 1$, $\nu=10^{-3}$, also $\mathrm{Re} = \bar u D/\nu = 100$.

Veröffentlichte Referenzintervalle, von mehreren Gruppen unabhängig bestätigt:

Diese Zahlen sind dimensionslos und stammen aus Rechnung und Messung. Sie lassen sich nicht anpassen — ein Verfahren trifft sie oder nicht.

Warum gerade dieser Fall: Bei $\mathrm{Re}=100$ ist der Nachlauf echt zweidimensional; dreidimensionale Instabilitäten setzen erst ab $\mathrm{Re}\approx 190$ ein. Die zweidimensionale Rechnung ist hier also keine Vereinfachung, sondern vollständig.

Einschränkung, die vorab zu nennen ist: Auf kartesischem Gitter ist der runde Zylinder nur näherungsweise darstellbar. Die Strouhalzahl ist davon wenig betroffen, die Beiwerte $c_D$ und $c_L$ dagegen empfindlich. Es wird deshalb eine Netzverfeinerungsreihe mitgeführt und der erreichte Wert mit seinem Trend berichtet — nicht ein einzelner Lauf, der zufällig im Intervall liegt.

Die Netzverfeinerungsreihe

Abweichung von der Mitte des jeweiligen Referenzintervalls:

Wie die Ordnung bestimmt wird — und was dabei mitgerechnet wird

Mit zwei Netzstufen lässt sich nur extrapolieren, wenn man die Konvergenzordnung vorgibt. Das wäre Raten. Mit drei Stufen bei gleichem Verfeinerungsverhältnis $r$ folgt sie aus den Daten selbst:

$$p = \frac{\ln\bigl|(f_{4h}-f_{2h})/(f_{2h}-f_h)\bigr|}{\ln r}, \qquad f_\text{exakt} = f_h + \frac{f_h - f_{2h}}{r^{\,p}-1} .$$

Zwei Dinge sind dabei ehrlich zu benennen.

Erstens ist die Voraussetzung, dass die drei Werte im asymptotischen Bereich liegen. Das zeigt sich daran, dass die Änderungen sich mit festem Faktor verkleinern — der Quotient muss größer als eins sein. Ist er es nicht, wird kein Grenzwert ausgegeben, sondern „nicht im asymptotischen Bereich”. Ein erfundener Wert wäre schlimmer als keiner.

Zweitens ist der Zeitschritt über die CFL-Bedingung an den Zellabstand gekoppelt, $\Delta t \propto h$. Die Verfeinerung verfeinert also Raum und Zeit zugleich. Die beobachtete Ordnung $p$ ist damit eine gemeinsame Ordnung beider Diskretisierungen, nicht die räumliche allein. Für die Extrapolation ist das zulässig, solange ein Fehleranteil überwiegt; es wäre aber falsch, $p$ als Aussage über das Raumschema zu lesen.

Drittens — und das ist die eigentliche Einschränkung dieses Falls — ist der runde Zylinder auf kartesischem Gitter eine Treppe. Die Treppe verfälscht vor allem die Wandschubspannung und die Lage der Ablösepunkte. Das erklärt, warum die integrierten Kraftbeiwerte empfindlicher reagieren als die Strouhalzahl und viel empfindlicher als die Druckdifferenz aus Abschnitt 5.6. Ein Verfahren mit körperangepasstem Netz oder mit geschnittenen Zellen würde hier schneller konvergieren; das ist eine Aussage über die Körperdarstellung, nicht über den Netzwerkansatz.

Was die Extrapolation ergibt — und warum sie hier nicht trägt

Das Kriterium ist damit nicht erfüllt, und es wird nicht nachträglich gelockert. Die Zahlen stehen hier so, wie sie herausgekommen sind.

Sie sagen aber mehr als „nicht erfüllt”. Die Richardson-Extrapolation setzt voraus, dass ein Fehleranteil den Rest beherrscht, $f_h = f_\text{exakt} + C h^{p}$ mit festem $C$ und festem $p$. Dann müssten die drei Größen, die aus derselben Diskretisierung stammen, auch ähnliche Ordnungen zeigen. Gemessen wird 0,85 … 1,70, eine Spanne von 0,86. Die Voraussetzung ist also nachweislich verletzt — und ein extrapolierter Wert, dessen Voraussetzung verletzt ist, ist keine Aussage, gleichgültig wo er landet. Das Prüfprotokoll gibt diese Spanne deshalb als eigene Zeile aus, damit das Urteil nicht nackt dasteht.

Woher die Verletzung kommt, ist nicht zu raten, sondern zu messen; das geschieht im nächsten Abschnitt.

Die Treppe, gemessen statt vermutet

• $c_D$: 3,3194 … 3,4808, Spanne 0,1615 (4,7 % vom Mittelwert)
• $c_L$: 0,7841 … 0,9098, Spanne 0,1257 (14,6 % vom Mittelwert)
• $St$: 0,2809 … 0,2846, Spanne 0,0037 (1,3 % vom Mittelwert)

So ist die Probe gebaut. Die Geometrie bleibt unverändert — Kanal, Zylinder, Stoffwerte, Einströmprofil, alles wie im Benchmark. Verändert wird allein die Zellzahl, um eins, zwei und drei. Der Zellabstand ändert sich dadurch um weniger als zweieinhalb Prozent; die Auflösung ist also dieselbe. Was sich stark ändert, ist die Lage des Zylindermittelpunkts im Zellraster und damit das Treppenmuster. Die bedeckte Fläche liegt in allen vier Fällen bei $100\pm1\,\%$ der wahren Kreisfläche — es geht also nicht um einen zu großen oder zu kleinen Körper, sondern um die zackige Kontur.

Was dabei herauskommt. Allein durch die Lage der Treppe streut

• $c_D$ um 4,7 %, während der Abstand zur Referenz auf diesem Netz 7,0 % beträgt,
• $c_L$ um 14,6 %, bei einem Abstand von 11,1 %,
• $\mathrm{St}$ dagegen nur um 1,3 %, bei einem Abstand von 6,4 %.

Für $c_D$ und $c_L$ ist die Streuung also so groß wie der Fehler selbst. Damit ist belegt, was vorher nur eine Vermutung war: Auf diesem Netz wird der Fehler nicht von der Auflösung bestimmt, sondern davon, wo die Treppe hinfällt. Und weil diese Lage beim Verfeinern springt und nicht stetig zuläuft, gibt es keinen festen Vorfaktor $C$ in $f_h = f_\text{exakt} + C h^{p}$ — die Voraussetzung der Richardson-Extrapolation ist verletzt, und zwar nachweisbar und nicht bloß behauptet.

Die Rangfolge ist dabei kein Zufall und bestätigt die Deutung: Am stärksten betroffen ist $c_L$, das ganz von der Lage der Ablösepunkte lebt; dann $c_D$; am wenigsten $\mathrm{St}$, das vom Takt der Nachlaufinstabilität bestimmt wird und nicht von der Wandkontur. Und $\Delta p$, eine Druckablesung in einigem Abstand von der Wand, liegt schon auf dem gröbsten Netz nur 2,9 % daneben.

Was daraus folgt — und was nicht. Es folgt nicht, dass das Verfahren ungenau ist. Die Netzreihe läuft in allen vier Größen monoton auf die Referenz zu und erreicht auf dem feinsten Netz $+1{,}8\,\%$ ($c_D$), $-2{,}6\,\%$ ($c_L$), $-1{,}3\,\%$ ($\mathrm{St}$) und $-1{,}0\,\%$ ($\Delta p$); die Strouhalzahl liegt im Referenzintervall. Es folgt, dass der verbleibende Rest von der Körperdarstellung herrührt und nicht vom Netzwerkansatz. Wer ihn beseitigen will, braucht keine feineren Zellen, sondern eine andere Darstellung des Körpers: geschnittene Zellen mit Flächenanteilen oder ein körperangepasstes Netz. Das ist der nächste Schritt und ausdrücklich noch nicht getan.

5.5 Die Sprachprobe: zwei getrennt aufgebaute Löser

Beide Wege lösen dasselbe Problem, werden aber unabhängig voneinander aufgebaut. Sie haben keinen gemeinsamen Rechenkern — nur Geometrie, Stoffwerte, Randbedingungen und Zeitschritt sind dieselben, weil sie zur Aufgabe gehören und nicht zum Verfahren.

Geprüft wird auf drei Ebenen, von innen nach außen:

Ebene 1 — die einzelnen Operatoren. Für zufällig belegte Felder muss die Matrixwirkung mit der Feldoperation übereinstimmen.

Das ist Rundungsgenauigkeit — mehr kann in Gleitkommaarithmetik nicht erreicht werden.

Ebene 2 — die Eigenschaften, die ohne Rechnung gelten müssen. Sie prüfen nicht die Übereinstimmung zweier Programme, sondern die Übereinstimmung mit der Physik:

• Gleichförmige Strömung bleibt unverändert (keine Scheinkraft aus der Diskretisierung).
• Verschwindende Geschwindigkeit führt auf reine Diffusion, und die Impulsmatrix wird symmetrisch — das passive Widerstandsnetz.
• Konstanter Druck treibt im geschlossenen Netz keinen Strom; mit Ausstromrand treibt er genau den einen Zweig ans Bezugspotential, mit dem Leitwert $\Delta y/(\Delta x/2)$.
• $g_\text{hin} - g_\text{rück} = u_f A$ — die Unsymmetrie ist der Volumenstrom, geprüft über acht Zehnerpotenzen der Geschwindigkeit.

Ebene 3 — der vollständige Löser. Beide Wege werden vom selben Anfangszustand über Hunderte bis Tausende von Zeitschritten gerechnet und Schritt für Schritt verglichen. Das ist die eigentliche Probe: Einzelne Operatoren können übereinstimmen und der zusammengesetzte Zeitschritt trotzdem auseinanderlaufen, weil Randbehandlung, Reihenfolge und Krafterfassung dazwischenliegen.

Der zweite Lauf ist der aussagekräftige: Er läuft 6000 Zeitschritte lang durch die ausgebildete Wirbelablösung, also durch den Teil, in dem kleine Unterschiede anwachsen würden, wenn es welche gäbe. Die Abweichung wächst von $1{,}4\cdot10^{-14}$ auf $5{,}2\cdot10^{-14}$ — knapp das Vierfache über das Dreißigfache an Schritten. Das ist das Anwachsen angesammelter Rundungsfehler und nicht das Auseinanderlaufen zweier verschiedener Verfahren; letzteres würde sich im Grenzzyklus exponentiell zeigen.

Zusätzlich werden beide Bahnen getrennt ausgewertet — eingeschwungener Teil, Maximum darin, Strouhalzahl aus den Nulldurchgängen —, so dass nicht nur dieselben Felder, sondern dieselben Beiwerte belegt sind.

Dritte Übereinstimmung, ungeplant. wirbelstrasse_zweiwege.py ist eine eigenständige Nachbildung des Zeitschritts, unabhängig von wirbelstrasse.py geschrieben. Beide müssen auf demselben Netz dieselben Beiwerte liefern — das ist eine Gegenprobe auf die Zeitschrittführung selbst und nicht nur auf die Operatoren. Netz $220\times41$, $t_\text{Ende}=8$ s:

Alle ausgegebenen Stellen stimmen. Beim ersten Vergleich standen 3,751424 gegen 3,751430 — sechs gleiche Stellen und ein Rest, für den es eine naheliegende Erklärung gab (verschiedene Auswertefenster, 12 s gegen 8 s). Naheliegend ist nicht nachgewiesen: Der Produktionslöser wurde deshalb mit demselben Fenster noch einmal gerechnet, und der Unterschied verschwand vollständig. Die Erklärung stimmte — aber sie wurde geprüft, nicht geglaubt.

Dieses Vorgehen ist aus dem Feld_Labor übernommen, wo Netzwerkaufbau nach Kirchhoff und Elementaufbau nach Ritz bereits so nebeneinanderstehen.

Was die Sprachprobe nicht zeigt

Sie zeigt, dass zwei Aufbauwege dieselbe Diskretisierung meinen. Sie zeigt nicht, dass diese Diskretisierung die Navier-Stokes-Gleichungen richtig wiedergibt — zwei Wege können einträchtig dasselbe falsch rechnen. Dafür sind die Stufen 1 bis 3 da, die gegen geschlossene Lösungen und gegen gemessene Referenzwerte prüfen. Die Sprachprobe ergänzt sie, sie ersetzt sie nicht.

5.6 Der unabhängige zweite Weg — Galerkin auf körperangepasstem Netz

Warum die Sprachprobe nicht genügt

Das Maß für Unabhängigkeit ist nicht, ob zwei Wege verschieden aussehen, sondern ob sie verschieden scheitern können. Weg A und Weg B teilen Zeitschritt, Randbehandlung, Körperbehandlung, Kraftbilanz und den Zweigstempel. Wäre einer davon begrifflich falsch, lieferten beide einträchtig dasselbe falsche Ergebnis — auf $5\cdot10^{-14}$ genau. Die Sprachprobe beweist, dass der Aufbau fehlerfrei ist. Mehr nicht, und das ist nicht wenig; aber es ist nicht das, was im Feld_Labor Kirchhoff und Ritz leisten.

Galerkin, nicht Ritz

Ritz minimiert ein Funktional. Das setzt voraus, dass es eines gibt: Der Operator muss symmetrisch und positiv definit sein. Für die Poisson-Gleichung ist das so — die Energie ist das Funktional, ihr Minimum ist die Lösung. Deshalb steht im Feld-Labor Ritz.

Navier-Stokes hat kein solches Funktional. Der konvektive Term $(\mathbf{u}\cdot\nabla) \mathbf{u}$ ist nicht symmetrisch und aus keinem Potential ableitbar; dazu macht die Inkompressibilität schon aus dem Stokes-Problem einen Sattelpunkt, kein Minimum. Es gibt nichts zu minimieren.

Galerkin braucht kein Funktional: Man multipliziert die Gleichung mit Ansatzfunktionen und integriert — die schwache Form. Für symmetrische Probleme liefert Galerkin dieselben Gleichungen wie Ritz (Ritz-Galerkin-Äquivalenz); beim Zähigkeitsterm hier ist das wörtlich der Fall. Galerkin ist nicht ein anderes Verfahren als Ritz, sondern die Fortsetzung desselben Gedankens dorthin, wo die Symmetrie verlorengeht.

Was dieser Weg anders macht

Taylor-Hood erfüllt die inf-sup-Bedingung und braucht deshalb keinen abgestimmten Stabilisierungsparameter — genau der Grund, aus dem Abschnitt 4.2 gleichordnige Verfahren mit PSPG ablehnt. Die Kraft kommt aus der schwachen Form selbst: Testet man die Impulsgleichung mit einer Funktion, die auf dem Zylinder gleich eins und auf allen anderen Rändern null ist, so steht auf der einen Seite das Randintegral der Spannungen. Dieser Weg ist deutlich genauer als das Aufsummieren von Wandspannungen und hat mit der Impulsbilanz des Netzwerkwegs nichts gemein.

Der Zeitschritt ist halbimplizit: Zähigkeit und Druck implizit, Konvektion explizit. Damit ist die Systemmatrix konstant und wird nur einmal zerlegt (0,2 s); je Zeitschritt bleibt ein Einsetzen, rund 21 ms bei 18 503 Unbekannten.

Die Probe, die nicht „klein” verlangt, sondern null

Hagen-Poiseuille ist für diesen Weg eine besonders scharfe Probe: Die Parabel liegt im $P_2$-Raum, der lineare Druck im $P_1$-Raum — die exakte Lösung liegt also im Ansatzraum und muss bis auf Rundung herauskommen.

Genau diese Schärfe hat einen Fehler gefunden, den eine Probe mit der Schranke „klein” durchgelassen hätte: Zwei Eckknoten am Ausstrom waren von der Haftbedingung ausgenommen (Befund B15). Der Fehler betrug 3,3 %.

Das Ergebnis

Netz mit 2097 Ecken, davon 81 auf dem Zylinderrand, 18 503 Unbekannte:

Alle drei Größen liegen im Referenzintervall — direkt gerechnet, ohne Extrapolation.

Die beobachtete Konvergenzordnung in der Zeit beträgt 1,00 ($c_D$) beziehungsweise 1,02 ($c_L$). Das Zeitschema ist explizit-impliziter Euler, also erster Ordnung: Die Messung trifft genau das, was das Verfahren verlangt. Der Zeitfehler ist damit nicht nur klein, sondern verstanden — anders als die Treppenstreuung des Netzwerkwegs, die keiner festen Ordnung folgt. Bei $\mathrm{St}$ liegt kein Ordnungswert vor: Die Nulldurchgänge liegen auf dem Zeitraster, und die Unterschiede sind bereits an dessen Auflösung angelangt.

Die Netzreihe daneben (40, 81, 121 Knoten auf dem Zylinderrand, Zeitschritt jeweils mitskaliert) gibt $c_D$ = 3,2054 / 3,2456 / 3,2446 und $\mathrm{St}$ = 0,2976 / 0,3008 / 0,3027 — alle drei Stufen mit der Strouhalzahl im Intervall, und zwischen der zweiten und dritten Stufe ändert sich $c_D$ nur noch um 0,03 %.

Was damit belegt ist

Zwei Wege, die verschieden scheitern können — Flussbilanz am Kontrollvolumen mit Treppenkörper gegen schwache Form mit körperangepasstem Netz —, treffen dieselbe gemessene Referenz und einander. Das ist die Absicherung, die der Netzwerkansatz für die Feldrechnung längst hat und die der Strömung bis hierher fehlte.

Nebenbei bestätigt dieser Weg die Deutung aus Abschnitt 5.4: Ohne Treppe erreicht man die Referenzintervalle mit 2097 Knoten, während der Netzwerkweg mit 144 320 Zellen bei $+1{,}8\,\%$ stehenbleibt. Der verbliebene Fehler dort kam von der Körperdarstellung, nicht vom Ansatz.

Was ein Benchmark bescheinigt — und was nicht

Legt man die Felder beider Wege übereinander (phasenrichtig zugeordnet, gleiche Auflösung, gleiche Auswertung), so stimmen sie bei weitem nicht so gut überein wie die Beiwerte:

Die größte Abweichung sitzt 55 mm vom Zylindermittelpunkt, also 5 mm vor der Wand — mitten in der Grenzschicht, die hier rund $D/\sqrt{\mathrm{Re}}=10$ mm dick ist. Dort kann die Treppenkontur den Wandgradienten nicht darstellen.

Das ist kein Widerspruch zu den $1\ldots2\,\%$ in den Beiwerten, sondern eine Lehre: Integralgrößen konvergieren erheblich schneller als die Felder selbst. Ein Benchmark wie Schäfer-Turek bescheinigt $c_D$, $c_L$, $\mathrm{St}$ und $\Delta p$ — er bescheinigt nicht das Feld an jeder Stelle. Wer ein Verfahren für eine örtliche Größe einsetzen will — Wandschubspannung, Erosion, örtlicher Wärmeübergang —, muss genau diese Größe prüfen und darf sich nicht auf die Kraftbeiwerte verlassen.

5.6a Beide Wege im Browser — gerechnet, nicht abgespielt

Bis hierher lief der Galerkin-Weg in Python, und im Browser-Labor standen nur seine Ergebnisse. Auf ausdrückliche Forderung des Auftraggebers — „die html soll immer beide wege rechnen können” — rechnet die Seite jetzt beide Wege selbst.

Dafür waren drei Stücke nötig:

Der Gleichungslöser — und warum er ein anderer sein darf

In Python wird das Sattelsystem direkt zerlegt: Die Matrix ist konstant, also fällt die Zerlegung einmal an, und je Zeitschritt bleibt ein Einsetzen. Eine dünnbesetzte LU-Zerlegung mit Pivotsuche im Browser nachzubauen wäre ein eigenes Vorhaben. Stattdessen wird dort MINRES benutzt — das Verfahren von Paige und Saunders für symmetrische, indefinite Systeme — mit einem Blockvorkonditionierer:

$$\hat P \;=\; \mathrm{diag}\!\left(\hat A,\; \hat A,\; \hat S\right), \qquad \hat S^{-1} \;\approx\; \nu\,M_p^{-1} \;+\; \frac{1}{\Delta t}\,K_p^{-1}$$

$\hat A$ ist die unvollständige Cholesky-Zerlegung von $A = M/\Delta t + \nu K$; $M_p$ und $K_p$ sind Massenmatrix und Laplace-Operator im Druckraum P1. Die Form von $\hat S$ stammt von Cahouet und Chabard und ist nicht geraten: Bei großem Zeitschritt verhält sich der Schur-Anteil wie der zähe Term $\nu/M$, bei kleinem wie $\Delta t\,K_p$; die Summe deckt beide Enden ab.

Damit das System überhaupt symmetrisch ist, wird die dritte Blockzeile mit $-1$ durchmultipliziert:

$$\begin{bmatrix} A & 0 & -B_x^{\mathsf T}\\ 0 & A & -B_y^{\mathsf T}\\ -B_x & -B_y & 0\end{bmatrix}$$

Dieselbe Gleichung, dieselbe Lösung — nur so geschrieben, dass MINRES anwendbar ist. Ein anderer Gleichungslöser ist kein anderer Ansatz. Der Ansatz ist die schwache Form mit Taylor-Hood-Elementen, und der ist in beiden Fassungen derselbe; das belegen die 45 Prüfposten von pruefe_kern_fem.js, die den Browserkern knotenweise gegen fem_galerkin.py halten.

Was dabei gemessen wurde

Die letzte Zeile ist die schärfste: Im nackten Kanal ist die Lösung geschlossen bekannt, und ein P2-Ansatz gibt eine Parabel exakt wieder — nicht genähert. Der verbleibende Rest ist allein die Abbruchschranke des iterativen Lösers; Python mit direkter Zerlegung kommt auf $1{,}6\cdot10^{-14}$.

Die Grenze der Browserrechnung — offen benannt

Der Zeitschritt ist durch die explizite Konvektion begrenzt. Gemessen (Befund B20): Bei $\mathrm{CFL} = 0{,}31$ platzt die Rechnung bei $t = 0{,}372\,$s, bei $\mathrm{CFL} = 0{,}15$ läuft sie durch. Der Kern bestimmt seinen Zeitschritt deshalb selbst aus dem Netz, mit $C = 0{,}15$ — ein Sicherheitsabstand von zwei gegen das Gemessene.

Daraus folgt, was die Seite nicht leistet: Die feinen Netze des Python-Laufs (18 503 Unbekannte, $\Delta t = 5\cdot10^{-4}\,$s, 24 000 Zeitschritte) sind im Browser nicht in Minuten zu rechnen. Die Beiwerte dort liegen deshalb nicht auf dem Benchmarkwert. Was die Seite zeigt, ist der Vergleich der beiden Wege bei gleichem Knotenabstand — und das ist die Aussage, um die es geht. Die Benchmarkzahlen stehen in §5.4 und §5.6 und kommen aus den vollen Läufen.

5.7 Die vierte Größe: die Druckdifferenz

Die Beiwerte $c_D$ und $c_L$ entstehen hier aus dem Impulsstrom — gezählt wird, wieviel Impuls das Verfahren je Zeitschritt aus den abgedeckten Zweigen nimmt. Das ist ein einziger Auswerteweg, und ein Verfahren, das ihn falsch auswertet, könnte zwei Zahlen liefern, die zueinander passen und beide falsch sind.

Schäfer und Turek geben deshalb eine vierte Größe an, die auf einem anderen Weg entsteht:

$$\Delta p = p(0{,}15;\,0{,}20) - p(0{,}25;\,0{,}20) \quad\text{bei}\quad t_0 + \tfrac{1}{2f},\qquad t_0 = \text{Zeitpunkt des größten } c_L ,$$

also eine reine Druckablesung an zwei Punkten, ohne jede Integration und ohne Impulsbilanz. Referenz: 2,46 … 2,50.

Die beiden Punkte liegen genau auf der Zylinderoberfläche; dort liegt auf dem kartesischen Gitter keine Zellmitte, und die nächstgelegene Zelle kann bereits im Körper liegen, wo der Druck bedeutungslos ist. Deshalb wird aus den beiden nächsten Fluidzellen auf der Achse linear auf die Oberfläche extrapoliert — ein Fehler erster Ordnung im Zellabstand, der mit dem Netz kleiner wird und in der Reihe sichtbar ist. Geschätzt wird nichts.

Bemerkenswert ist, wie gut diese Größe schon auf dem groben Netz liegt: Während $c_L$ dort noch 39 % danebenliegt, sind es bei $\Delta p$ 2,9 %. Das ist kein Zufall, sondern sagt etwas über die Fehlerquelle aus. Die Treppenkontur verfälscht vor allem die Wandschubspannung und die Lage der Ablösepunkte — beides geht voll in die integrierten Kraftbeiwerte ein. Der Druck in einigem Abstand von der Wand ist davon weit weniger betroffen. Die Netzreihe prüft also nicht einfach „das Verfahren”, sondern zeigt, welcher Teil der Diskretisierung den Fehler trägt.

Die Periodendauer ist nebenbei eine Gegenprobe zur Strouhalzahl: gemessen 356,0 ms auf dem Netz mit 20 Zellen über dem Durchmesser, und $\mathrm{St} = D/(\bar u\,T) = 0{,}1/0{,}356 = 0{,}2809$ — genau der Wert, den die Auswertung der Zeitreihe liefert.

5.8 Was nicht bewiesen werden kann

Ein turbulenter Fall — etwa die Strömung in einem Lüfterrad — verlangt ein Turbulenzmodell. Ein Turbulenzmodell ist eine Modellannahme, keine Herleitung; es enthält abgestimmte Konstanten. Rechnungen damit lassen sich gegen Messungen abgleichen, aber nicht beweisen. Deshalb wird der Nachweis des Verfahrens am laminaren, zweidimensionalen Fall geführt und die turbulente Anwendung davon getrennt gehalten.

Für die spätere Anwendung am Lüfterrad liegt der Datensatz FAN-01 vor (EAA-Benchmark, Niederdruck-Axiallüfter, Zenodo, CC-BY-4.0): gemessene Kennlinie mit 20 Betriebspunkten, Volumenstrom 718 bis 7483 m³/h, Druckerhöhung 253 bis 7 Pa, dazu LDA-Geschwindigkeitsfelder und die Geometrie. Das ist eine Messung und damit eine zulässige Referenz — für die Anwendung, nicht für das Verfahren.

5.9 Das Prüfprotokoll

Jede Stufe ist ein eigenständiges Programm, das sich selbst beurteilt und mit Rückgabewert 0 oder 1 endet. pruefprotokoll.py ruft sie der Reihe nach auf und sammelt nur ein — es rechnet nichts nach, sonst wäre es eine zweite Quelle der Wahrheit.

Ergebnis vom 31.10.2026, Umfang „ganz”: 13 von 14 Stufen richtig.

Die eine falsche Stufe ist kein Programmfehler, sondern ein Messergebnis: Die Voraussetzung der Richardson-Extrapolation ist auf diesem Fall nicht erfüllt, und das Protokoll weist das nach, statt die Hürde zu senken. Die Erklärung dazu steht als eigener Messblock unmittelbar darunter — die Streuung durch die Lage der Treppe (§5.4).

Ein Hinweis zur Laufzeit: S11 braucht 1354 s, weil dort in jedem einzelnen der 6000 Zeitschritte beide Impulsmatrizen neu gestempelt werden — Zweig für Zweig, in Python. Das ist langsam und soll es sein: Weg A ist als Nachweis gebaut, nicht als Produktionsweg. Gerechnet wird mit wirbelstrasse.py, das denselben Zeitschritt in Feldoperationen macht und auf demselben Netz dieselben neun Stellen liefert.

6 Beteiligte Dateien

Alle Programme liegen in stroemung/. Jedes beurteilt sich selbst und endet mit Rückgabewert 0 oder 1; pruefprotokoll.py ruft sie der Reihe nach auf und sammelt nur ein.

Die Programme liegen im Wortlaut bei. Im Browser-Labor stehen sie im Reiter Programme — alle 34 Dateien aus stroemung/ und labor/, jede mit Zeilenzahl, Größe und sha256-Prüfsumme. Damit lässt sich nachrechnen, worauf hier verwiesen wird, und nachweisen, dass es dasselbe ist wie das Gelieferte. Auf Einwand von Fred (01.11.2026): „Alle Prüfprotokolle verweisen darauf, nachrechnen kann ich sie ohne die Quellen nicht.” Eine Seite, die auf Programme verweist, die ihr nicht beiliegen, ist für den Leser eine Sackgasse — er kann glauben oder bleiben lassen, aber nicht nachrechnen.

Das Browser-Labor liegt in labor/. Seine beiden Rechenkerne sind zweite Umsetzungen derselben Verfahren und deshalb gegen die Python-Module geprüft — eine zweite Umsetzung ohne Prüfung wäre keine zweite Meinung, sondern eine zweite Fehlerquelle. Seit Fassung 1.1 des Prüfprotokolls sind sie als Stufen S19a und S19b Teil desselben Laufs: Ein Weg, der nur im Browser läuft und im Protokoll nicht vorkommt, wäre ein zweiter, ungeprüfter Stand desselben Verfahrens.

Daneben:

Danksagung

Die körperangepassten Dreiecksnetze dieser Arbeit wurden mit Triangle erzeugt, dem Netzgenerator und Delaunay-Triangulierer von Jonathan Richard Shewchuk (Carnegie Mellon University). Mit Dank an den Autor. Triangle ist frei verfügbar, aber urheberrechtlich geschützt und darf ohne Lizenz des Autors nicht verkauft oder in kommerzielle Erzeugnisse aufgenommen werden. Die WebAssembly-Hülle triangle-wasm 1.0.0 von Bruno Imbrizi steht unter MIT. Einzelheiten in labor/triangle/HERKUNFT.md.

Quelltexte

Die Programme dieser Arbeit sind Teil des Nachweises und liegen deshalb im Wortlaut vor, nicht als Verweis:

Die Prüfsummen in der Seite erlauben den Abgleich mit den ausgelieferten Dateien: Was dort steht, ist zeichengleich mit dem, was gerechnet hat.

Schrifttum

• D. L. Scharfetter, H. K. Gummel: Large-signal analysis of a silicon Read diode oscillator. IEEE Trans. Electron Devices 16 (1969) 64–77.
• F. H. Harlow, J. E. Welch: Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. Phys. Fluids 8 (1965) 2182–2189.
• J. R. Shewchuk: Triangle: Engineering a 2D Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator. In: Applied Computational Geometry: Towards Geometric Engineering (M. C. Lin, D. Manocha, Hrsg.), Lecture Notes in Computer Science 1148, S. 203–222, Springer-Verlag, Berlin, Mai 1996.
• J. R. Shewchuk: Delaunay Refinement Algorithms for Triangular Mesh Generation. Computational Geometry: Theory and Applications 22(1–3):21–74, Mai 2002.
• J. Cahouet, J.-P. Chabard: Some fast 3D finite element solvers for the generalized Stokes problem. International Journal for Numerical Methods in Fluids 8 (1988) 869–895.
• C. C. Paige, M. A. Saunders: Solution of sparse indefinite systems of linear equations. SIAM Journal on Numerical Analysis 12 (1975) 617–629.
• M. Schäfer, S. Turek: Benchmark computations of laminar flow around a cylinder. In: Flow Simulation with High-Performance Computers II, Vieweg 1996, 547–566.
• G. I. Taylor: Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube. Proc. R. Soc. London A 219 (1953) 186–203.
• R. Aris: On the dispersion of a solute in a fluid flowing through a tube. Proc. R. Soc. London A 235 (1956) 67–77.
• S. Schoder, F. Czwielong: Dataset FAN-01: Revisiting the EAA Benchmark for a low-pressure axial fan. arXiv:2211.12014.

Fassung 1.9 — gegenüber 1.8 neu: B23, die Ersetzung lief über ihr eigenes Ergebnis. Fassung 1.8: B22, die fehlende zweite Kurve im Zeitdiagramm. Fassung 1.7: B18 bis B21 aus dem Bau des Galerkin-Lösers für den Browser (Prüfmaß durch null, der Auftrieb als empfindlicher Zeiger, Stabilität über die kennzeichnende Zeit, Einbetten fremder Module). Fassung 1.6: B17, der fehlende Kurzfassungsreiter in der HTML. Fassung 1.5: B11 bis B16 aus dem Bau des Browser-Labors, der Ablage und des unabhängigen zweiten Lösers.

Dieses Blatt führt jeden Fehler, der beim Aufbau des Lösers gefunden wurde. Zu jedem steht nicht nur die Behebung, sondern die Antwort auf die Frage, die wichtiger ist: Warum hat die vorhandene Prüfung ihn durchgelassen? Erst diese Antwort führt zu einer Prüfung, die beim nächsten Mal greift.

B1 Péclet-Zahl aus dem Volumenstrom statt aus der Geschwindigkeit

Datei konvektion.py, Fassung 1.0 → 1.1

Der Scharfetter-Gummel-Stempel bekam Pe = u_f·A·d/ν statt Pe = u_f·d/ν. Bei einer Flächenhöhe von 0,0195 m war die Péclet-Zahl damit rund fünfzigfach zu klein. Der Stempel entartete zu reiner Diffusion; der konvektive Anteil fehlte fast vollständig.

Warum die Probe es nicht sah: Die Eigenschaftsprobe prüfte die richtige Beziehung $g_\text{hin} - g_\text{rück} = u_f A$ — aber mit $A = 1$. Bei $A = 1$ sind Volumenstrom und Geschwindigkeit zahlengleich, und der Fehler ist unsichtbar. Eine Prüfung mit dem Sonderwert, der den Fehler zudeckt, ist keine Prüfung.

Jetzt: Die Probe läuft mit $A = 0{,}0195$ — absichtlich ungleich eins. Dimensionsproben gehören grundsätzlich mit Werten gefahren, bei denen sich die Größen unterscheiden.

B2 Druckquelle ohne Vorzeichen und ohne Zellvolumen

Datei wirbelstrasse.py, Fassung 1.0 → 1.1

Die rechte Seite des Drucknetzes stand als b = div(u*)/dt. Richtig ist b = −div(u*)·dx·dy/dt. drucknetz_matrix baut $A = -\Delta \cdot V$; die Leitwerte enthalten die Fläche bereits. Es fehlte also das Zellvolumen $3{,}9\cdot10^{-4}$, und das Vorzeichen war verkehrt: Der Druck war 2560-fach zu groß und wirkte in die falsche Richtung. Der Löser flog im ersten Zeitschritt auseinander.

Warum Stufe 2 das nicht sah: In der ausgebildeten Rohrströmung (Hagen-Poiseuille) ist die Divergenz identisch null. Die rechte Seite des Drucknetzes ist damit null, gleich welcher Vorfaktor davorsteht. Stufe 2 prüft Zähigkeit und Haftbedingung vollständig — die Druckkopplung prüft sie überhaupt nicht.

Lehre: Eine Prüfung, in der der zu prüfende Term identisch verschwindet, prüft ihn nicht. Jeder Term braucht einen Fall, in dem er von null verschieden ist.

B3 Haftbedingung auf einen inneren Punkt gesetzt

Datei wirbelstrasse.py, Fassung 1.1 → 1.2

Die Zeile us[:, 0] = us[:, -1] = 0 setzte die erste und letzte Zellreihe auf null. Auf dem versetzten Gitter sitzt $u$ aber bei $y = \Delta y/2$ und $y = L_y - \Delta y/2$, also innen, nicht an der Wand. Die Haftbedingung steckt bereits im Spiegelwert des Zähigkeitsterms. Zusätzlich stand die Zeile nach der Zuweisung des Einströmprofils und löschte damit die Einströmung in der Eckzelle; nach der Projektion wurde sie erneut gesetzt. Der Zufluss änderte sich also nach der Druckkorrektur — und genau diese Änderung blieb als Divergenz stehen: gemessen 6,97 in Zelle (0,0).

Warum es vorher nicht auffiel: Es gab keine Probe auf die Divergenz nach dem vollständigen Zeitschritt — nur eine auf das Drucknetz allein. Zwischen „die Projektion rechnet richtig” und „am Ende des Zeitschritts ist die Knotenregel erfüllt” liegt alles, was danach noch an den Feldern gedreht wird.

Jetzt: knotenregel_probe.py (Fassung 1.0) misst in jedem Zeitschritt die Divergenz auf den Feldern, wie der Schritt sie endgültig hinterlässt — nicht auf einem Zwischenstand. Gemessen auf dem Netz 110 × 21 über 384 Schritte: größte Divergenz $3{,}5\cdot10^{-13}\,\mathrm{s^{-1}}$, bezogen auf $|u|/\Delta x$ sind das $2{,}8\cdot10^{-15}$ — Rundungsschwelle. Dafür hat wirbelstrasse.lauf einen Nur-Lesen-Haken bekommen (Fassung 1.4); dass er die Rechnung nicht verändert, wird nicht behauptet, sondern im selben Programm geprüft: derselbe Lauf mit und ohne Haken liefert Bit für Bit dieselbe Verlaufstafel.

B4 Körperkraft ohne den Druckanteil

Datei wirbelstrasse.py, Fassung 1.2 → 1.3

Gezählt wurde nur der Impuls, den Konvektion und Zähigkeit in die abgedeckten Zweige tragen. Der Anteil, den die Druckkorrektur dort hineinschiebt, fehlte. Beim umströmten Zylinder bei $\mathrm{Re}=100$ ist gerade der Druckanteil der größere: Ergebnis $c_D = 0{,}60$ statt 3,23, also Faktor 5,4 zu klein.

Warum es nicht auffiel: $c_D = 0{,}60$ ist eine plausibel aussehende Zahl — Widerstandsbeiwerte dieser Größenordnung gibt es. Ohne den Vergleich mit einer äußeren Referenz wäre der Fehler nicht zu bemerken gewesen. Genau dafür ist der Benchmark da.

Lehre: Eine Größe, deren Zahlenwert für sich genommen vernünftig aussieht, ist dadurch nicht geprüft. Nur der Abgleich gegen eine Referenz, die man nicht beeinflussen kann, trennt richtig von plausibel.

B5 Ausbleibende Ablösung für Auflösung gehalten — und nachgewiesen

kein Programmfehler, sondern eine offene Frage, die entschieden werden musste

Auf dem Netz mit 10 Zellen über dem Durchmesser blieb $c_L$ bei $-0{,}055$ flach: keine Wirbelablösung. Zwei Erklärungen waren möglich — zu grobes Netz oder zu kurze Zeit. Statt zu raten wurde das feinere Netz gerechnet: Dort stieg $c_L$ auf $\pm0{,}89$ und schwang in einen stehenden Grenzzyklus ein. Es war die Auflösung.

Nebenbefund zur Ablesung: Die Zwischenmeldungen des feinen Laufs schienen eine Schwingung mit rund 5 s Periode zu zeigen. Das ist ein Trugbild: Ausgegeben wurde alle 0,3333 s, die wahre Ablöseperiode beträgt 0,356 s. Die Schwebung zwischen beiden ergibt rechnerisch $|1/0{,}3333 - 1/0{,}356|^{-1} = 5{,}3$ s — genau das Beobachtete. Die Auswertung der Strouhalzahl läuft deshalb über die vollständige Zeitreihe, nie über die Meldezeilen.

Lehre: Eine Zwischenmeldung ist eine Stichprobe. Wer aus Stichproben eine Periode abliest, muss ihr Abtastintervall gegen die erwartete Periode halten.

B6 Geisterwerte als Konstante statt als Matrixeintrag

Datei impuls_matrix.py, Fassung 1.0 → 1.1

Beim ersten Aufbau der Impulsmatrix wanderten alle Randbeiträge in den Vektor $b$ — auch die, die Kopien (freier Ausstrom) oder Spiegelungen (Haftbedingung) innerer Unbekannter sind. Die Sprachprobe bestand trotzdem, weil sie $M u + b$ am selben Zustand auswertet, aus dem $b$ abgelesen wurde.

Warum die Probe es nicht sah: Sie prüfte die Wirkung am aktuellen Zustand, nicht die Matrix. Für eine reine Residuenprobe reicht das; für eine Matrix, die später implizit gelöst oder als Jacobi-Matrix gebraucht wird, nicht.

Jetzt: Geisterwerte, die von inneren Unbekannten abhängen, stehen als Matrixeintrag auf dem Knoten, den sie kopieren beziehungsweise spiegeln (Faktor $-1$). Nur das vorgegebene Einströmprofil ist echte Konstante. Zusätzlich geprüft wird, dass die Matrix für $u \to 0$ symmetrisch wird — das passive Widerstandsnetz des Feld-Labors.

B7 Dateiliste läuft in die Argumentgrenze der Brücke

Datei /workspace/sichere_nach_c.py, Fassung 1.0 → 1.1 — ein Werkzeugfehler, kein Projektfehler, aber er hätte dieses Projekt getroffen.

Die zu schiebenden Dateinamen wurden zu einem Brückenargument zusammengesetzt. Die Brücke lässt je Argument 160 Zeichen durch; alles darüber wird abgeschnitten. Für dieses Projekt sind es 14 Dateien, zusammen rund 380 Zeichen — mehr als die Hälfte wäre verschwunden, ohne Meldung.

Warum es nie auffiel: Die bisherigen Zielordner hatten zwei bis neun Dateien mit kurzen Namen; die Liste blieb unter der Grenze. Ein Fehler, der erst ab einer gewissen Größe auftritt, wird von kleinen Fällen nicht gefunden — und alle bisherigen Fälle waren klein.

Jetzt: Die Liste wird in Häppchen zerlegt, die sicher hindurchpassen. Dazu ein zweiter Mangel an derselben Stelle: Nach dem Schieben wurde gemeldet, was die Brücke sagte, nicht was drüben liegt. Jetzt wird die Dateiliste erneut gelesen und jede Datei mit ihrer Größe bestätigt.

B8 import math innerhalb einer Funktion

Datei schaubild.py

Dasselbe Muster wie am 30.10.2026 in zonen_aus_feld.py des REM-Projekts: Ein Modul wird nur innerhalb einer Funktion eingebunden. Solange genau diese Funktion läuft, geht es gut; wird der Aufruf später an eine andere Stelle gezogen, bricht es ab.

Warum es trotz des bekannten Befunds wieder passierte: Der Import entstand beim nachträglichen Einfügen einer Filterzeile, und an dieser Stelle war das Modul noch nicht oben eingebunden. Es gab keine Prüfung, die danach sucht.

Jetzt: behoben; und bei jeder Durchsicht wird grep -n "import " gegen den Funktionsrumpf gehalten.

B9 Das Methodenblatt beschrieb ein anderes Programm

Datei METHODE_UND_NACHWEIS.md, §5.3

Der Abschnitt beschrieb Stufe 2 als Rohrströmung mit $u(r)=2\bar u(1-r^2/R^2)$ und $\Delta p = 8\mu L Q/(\pi R^4)$. Gerechnet wird aber ein ebener Kanal mit $u(y)=G/(2\nu)\,y(h-y)$. Schwerer wiegt der zweite Satz: Es stand dort, diese Stufe prüfe „die Zähigkeitswiderstände und die Druckkopplung”. Die Druckkopplung prüft sie nachweislich nicht — genau deshalb konnte Befund B2 entstehen.

Warum es nicht auffiel: Der Abschnitt wurde geschrieben, bevor das Programm stand, und danach nicht gegen das Programm gehalten. Eine Beschreibung, die der Rechnung vorausgeht, muss nach der Rechnung erneut gelesen werden.

Jetzt: §5.3 steht mit der richtigen Formel, der gemessenen Tafel und einem eigenen Absatz „Was diese Stufe NICHT prüft”. Die noch nicht gerechnete Taylor-Aris-Dispersion ist als Vorhaben gekennzeichnet, nicht als Nachweis.

B10 Die Wirbelstärke im Bild war um eine Zelle versetzt

Datei bild.py, Fassung 1.0 → 1.1 — der Fehler saß im Beweisstück selbst.

Die Wirbelstärke wurde gebildet als

dvdx = (v[1:,:] - v[:-1,:]) / dx      Form (nx-1, ny+1)
dudy = (u[:,1:] - u[:,:-1]) / dy      Form (nx+1, ny-1)
omega = dvdx[:n,:m] - dudy[:n,:m]

also durch Zurechtschneiden auf die kleinere Form. Auf dem versetzten Gitter sitzt dvdx[k,m] aber auf der Ecke $((k{+}1)\Delta x,\;m\,\Delta y)$ und dudy[k,m] auf $(k\,\Delta x,\;(m{+}1)\Delta y)$. Voneinander abgezogen wurden Werte von verschiedenen Orten, je eine ganze Zelle versetzt. Dazu wurde das Ergebnis über die volle Kanalbreite gezeichnet, obwohl es gar nicht bis an den Rand reicht.

Warum es beim Ansehen nicht auffiel: Der Fehler ist von der Ordnung $h$. Er zerstört das Bild nicht, er verwischt es — und ein verwaschener Wirbel sieht aus wie ein Wirbel.

Warum eine naheliegende Probe ihn auch nicht gefunden hätte: Die ersten drei Prüffelder, die ich dafür geschrieben hatte, waren linear (Starrkörperdrehung, Scherung, Dehnströmung). Bei linearen Feldern ist die Ableitung überall gleich; ein um eine Zelle verschobener Ablesepunkt liefert denselben Wert. Die alte Fassung bestand diese drei Proben genauso gut wie die neue — mit Abweichung null. Erst Felder mit ortsabhängiger Wirbelstärke decken den Versatz auf:

Die Abweichung der alten Fassung ist exakt ein Zellabstand — der Versatz, Zahl für Zahl bestätigt.

Jetzt: $\omega$ wird auf der inneren Gitterecke gebildet, wo beide Anteile denselben Ort haben, und mit der zugehörigen Ausdehnung gezeichnet. Fünf Prüffelder, davon zwei mit ortsabhängigem $\omega$, laufen als Stufe S09 im Prüfprotokoll mit.

Lehre: Ein Prüffeld muss die Eigenschaft variieren, die geprüft werden soll. Eine Probe auf Ortsrichtigkeit mit ortsunabhängigen Feldern ist keine Probe. Das ist dieselbe Falle wie in Befund B1, wo $A=1$ den Unterschied zwischen Geschwindigkeit und Volumenstrom zudeckte.

B11 Die Kernprobe deckte nur eine von zwei Einstellungen ab

Datei labor/kern_cfd.js, Fassung 1.0 → 1.1

Der Rechenkern des Browser-Labors ist eine zweite Umsetzung derselben Verfahren und deshalb gegen die Python-Module geprüft — 41 von 41 Posten, alles auf $10^{-16}$. Trotzdem fehlte dem Drucknetz ein Stück: Im reinen Neumann-Fall (ohne Ausstromrand) hält die Python-Fassung einen Knoten fest, sonst ist das Netz stromlos aufgehängt und die Matrix singulär. Die JavaScript-Fassung tat das nicht.

Warum die Probe es nicht sah: Sie prüfte ausschließlich den Fall mit Ausstromrand — den, der im Löser vorkommt. Die Seite bietet aber einen Knopf „nacktes Netz” an, und damit ist der andere Fall Teil der Lieferung. Geprüft war nur die Hälfte dessen, was bedienbar ist.

Gefunden hat es die Knopfprobe, nicht die Kernprobe: Im Browser lieferten „mit Störkörper” und „nacktes Netz” dieselbe Zahl — was bei verschiedenen Netzen nicht sein kann.

Jetzt: Der Bezugsknoten ist in kern_cfd.js nachgezogen, und vergleichsdaten.py führt den Fall ohne Ausstrom mit — 45 von 45 Posten. Dazu eine Feinheit, die jetzt ausdrücklich dasteht: Weg B kennt keine Einheitszeile, er bilanziert nur. Beide Wege unterscheiden sich daher genau an diesem einen Knoten, und dort wird nicht verglichen — so hält es die Sprachprobe in ns_loeser.py seit jeher, und die Seite sagt es jetzt in der Überschrift der Zeile mit.

Lehre: Der Prüfumfang richtet sich nach dem, was bedienbar ist, nicht nach dem, was im Hauptweg vorkommt. Jeder Knopf, den die Seite anbietet, ist ein Fall, der geprüft sein muss.

B12 Das Surrogat verfehlte sein Kriterium — zweimal, aus zwei Gründen

Dateien labor/surrogat.py 1.0 → 1.1, labor/harmonisch.py 1.0

Der Zeitverlauf im Browser wird von einem angelernten Ersatzmodell getragen: POD für die Raumformen, dazu ein Zeitgesetz. Das Kriterium war von vornherein gesetzt — weniger als 5 % der Schwankungsbreite Fehler gegen den echten Löser. Es wurde zweimal verfehlt, und beide Male steckte etwas anderes dahinter.

Erster Anlauf: 15,9 %. Angelernt auf Daten bis $t=8$ s. Die Periode kam 1,3 % zu lang heraus, und über 3,5 Perioden lief daraus ein Phasenfehler auf: 15,8 % nach einer halben Ablöseperiode, wieder 0,5 % nach einer ganzen. Ein Fehler, der schwingt statt zu wachsen, ist die Unterschrift eines Phasenfehlers — nicht eines falschen Modells.

Dazwischen ein Fehler in meiner eigenen Diagnose. Um zu prüfen, ob der Grenzzyklus eingeschwungen ist, verglich ich die Schwankungsbreite der ersten mit der der letzten Momentaufnahme. Die liegen aber an verschiedenen Stellen der Schwingung — der Vergleich maß die Phase, nicht die Drift. Er meldete 7 bis 10 % Abfall und schickte mich auf die falsche Fährte „noch nicht eingeschwungen”. Je ganzer Periode gemessen, wie es sich gehört, beträgt die Drift 0,003 % über zehn Perioden: Die Daten waren längst eingeschwungen.

Zweiter Anlauf: 7,3 %. Auf eingeschwungenen Daten bis $t=12$ s traf die DMD die Grundfrequenz 2,524 Hz mit ihren ganzzahligen Oberwellen, die Eigenwerte lagen auf dem Einheitskreis — die Struktur stimmte. Übrig blieb ein Restfehler von 0,17 % in der Frequenz, über 6,3 Perioden 3,84 Grad Phase. Weil das erste Modenpaar 96 % der Schwankung trägt, sind das 7 % im Feld.

Behoben durch die bekannte Struktur, nicht durch einen längeren Lauf. Ein Grenzzyklus ist periodisch; seine Beiwerte sind $a(t)=a_0+\sum_k[c_k\cos(2\pi k f t)+s_k\sin(2\pi k f t)]$ mit einer Grundfrequenz. Das ist keine Annahme, die den Daten übergestülpt wird: Die paarweisen Singulärwerte und die ganzzahligen DMD-Frequenzen zeigen es. Angepasst werden die Beiwerte über das ganze Fenster, $f$ durch eine eindimensionale Suche. Das Modell ist damit exakt periodisch — es kann sich keine Phase davonstehlen.

Faktor 39. Beide Zahlen stehen im Prüfbericht und auf der Seite; die schlechtere wird nicht weggelassen.

Lehre: Ein Fehler, der mit der Grundperiode schwingt und nicht wächst, ist ein Phasenfehler — dagegen hilft Struktur, nicht mehr Daten. Und: Eine Diagnose, die zwei Zeitpunkte vergleicht, muss sie an derselben Stelle der Schwingung nehmen.

B13 Das Prüfprogramm schlug falschen Alarm

Datei /workspace/pruefe_ablage_c.py, Fassung 1.1 → 1.2 — ein Werkzeugfehler.

Der Byteabgleich gegen C: meldete „16 von 17 Dateien byteidentisch”. Beim Wiederholen derselben Prüfung, ohne dass irgendetwas geändert worden wäre: „17 von 17”. Auf C: lag also alles richtig — das Prüfprogramm hatte sich geirrt.

Die Ursache ist ein Wettlauf. Die Brücke meldet „gespeichert”, sobald sie die Datei abgeschickt hat; der Empfänger im Arbeitsbereich schreibt sie aber erst danach. Wer sofort die Prüfsumme bildet, bekommt ein Bruchstück und sieht einen Unterschied, den es nicht gibt.

Warum das schlimmer ist als gar keine Prüfung: Ein Prüfprogramm, das einmal so und einmal anders antwortet, schickt die Suche in die falsche Richtung — hier hätte es mich dazu gebracht, eine Datei auf C: für beschädigt zu halten und sie noch einmal zu schieben. Dasselbe Programm hatte schon einmal falsch gemeldet (Fassung 1.0: „0 von 12” für Dateien, die alle da waren, weil es am falschen Ort und unter dem falschen Namen suchte). Zweimal derselbe Fehlertyp: Das Prüfmittel war ungeprüft.

Jetzt: Die Antwort der Brücke nennt die erwartete Byte-Zahl. Das Programm wartet, bis die Datei diese Größe erreicht hat (höchstens 10 s), und meldet ausdrücklich „unvollständig zurückgekommen”, wenn sie es nicht tut — statt dies als Unterschied im Inhalt auszugeben.

Lehre: Auch das Prüfmittel braucht eine Probe. Ein sinnvoller Test dafür ist die Wiederholung: Zweimal dasselbe geprüft muss zweimal dasselbe ergeben. Wo das nicht zutrifft, liegt der Fehler zuerst im Prüfmittel.

B14 Die Größenprüfung hat eine veraltete Datei durchgelassen

Datei /workspace/sichere_nach_c.py, Fassung 1.2 → 1.3 — ein Werkzeugfehler, diesmal mit Wirkung.

sichere_nach_c.py entschied bisher an der Dateigröße, was nach C: geschoben werden muss. In kern_cfd.js wurde „Fassung 1.0” durch „Fassung 1.1” ersetzt — gleich viele Zeichen. Die Datei auf C: galt damit als aktuell und blieb veraltet. Dasselbe traf die gebaute Seite, in der dieselbe Zeichenfolge steckt.

Das war kein hypothetischer Fall: Der Bytevergleich meldete unmittelbar danach „7 von 8 Dateien byteidentisch” und benannte kern_cfd.js.

Warum es nie auffiel: Textänderungen ändern fast immer die Länge. Eine Fassungsnummer von 1.0 auf 1.1 zu heben ist der seltene Fall, der es nicht tut — und ausgerechnet der trifft eine Datei, deren Fassung im Kopf steht.

Jetzt: Das Programm führt ein Verzeichnis dessen, was es tatsächlich geschoben hat (SICHERUNG/nach_c_gesandt.json, Name und Prüfsumme). Geschoben wird, wenn die Prüfsumme von der verzeichneten abweicht oder die Größe drüben nicht stimmt. Das Verzeichnis ersetzt den Bytevergleich nicht — es sorgt nur dafür, dass er nichts mehr zu finden bekommt.

Zweiter Teil desselben Befunds: Die Fassungsnummer des Rechenkerns stand an zwei Stellen — im Kopf von kern_cfd.js und fest eingetragen im Bauskript. Der Kopf wurde auf 1.1 gehoben, das Bauskript blieb auf 1.0, und die Seite meldete die falsche Fassung. baue_labor.py liest sie jetzt aus dem Kopf des Kerns. Eine Zahl an zwei Stellen ist eine Zahl zu viel — das ist der Grund für die stehende Regel zu Fassungsnummern, und hier ist der Beleg.

Lehre: Wer an der Größe entscheidet, entscheidet an einem Merkmal, das sich ändern kann, aber nicht muss. Zur Entscheidung taugt nur die Prüfsumme — und zum Nachweis ohnehin nur der Bytevergleich.

B15 Am Ausstrom fiel die Haftbedingung in den Ecken weg

Datei fem_galerkin.py, Fassung 1.0 → 1.1

Der Galerkin-Löser bekam die Randbedingungen über

fest = (ein | wand | zyl) & ~aus

Der Gedanke dahinter war richtig: Am Ausstrom soll nichts vorgeschrieben werden, dort gilt die natürliche Bedingung. Nur trifft & ~aus auch die beiden Eckknoten, an denen der Ausstrom auf die Kanalwand stößt — und dort fiel damit die Haftbedingung weg. Richtig ist: Der Ausstrom gibt nur frei, was ausschließlich am Ausstrom liegt; Wand bleibt Wand bis zum letzten Knoten.

Was es kostete und warum es trotzdem gefunden wurde. Die Hagen-Poiseuille-Probe lag 3,3 % daneben. Das ist deshalb entlarvend, weil sie auf Maschinengenauigkeit aufgehen muss: P2 enthält die Parabel exakt, P1 den linearen Druck exakt — die Lösung liegt also im Ansatzraum und muss bis auf Rundung herauskommen. Eine Probe, deren Sollwert nicht „klein” ist, sondern „null”, lässt zwei Knoten von viertausend nicht durchgehen. Nach der Behebung: $4{,}9\cdot10^{-14}$ im Profil, Druckgefälle auf zehn Stellen.

Die Fehlersuche ging zuerst in die falsche Richtung. Ich hielt die Dirichlet-Elimination für die Ursache und schrieb sie neu — von umständlichen Listenoperationen auf vier Zeilen Matrixalgebra. Das Ergebnis war Zahl für Zahl dasselbe: Die alte Fassung war richtig, nur hässlich. Erst danach habe ich die Randmarkierung selbst angesehen. Dass die neue Fassung dieselben Zahlen lieferte, war dabei der nützliche Befund — er schloss die Elimination als Ursache aus.

Lehre: Eine Probe, deren richtiges Ergebnis exakt null ist, ist mehr wert als zehn, die nur „klein” verlangen. Und wenn eine Umschreibung dieselben Zahlen liefert, hat man nicht den Fehler behoben, sondern eine Ursache ausgeschlossen — das ist auch etwas wert, aber es ist etwas anderes.

B16 Ein Vergleich, der die Auflösung zeigte statt des Verfahrens

Datei labor/baue_labor.py, Fassung 1.1 → 1.2

Für den Reiter „Netzwerk gegen Galerkin” wollte ich beide Rechnungen nebeneinander abspielen. Der erste Versuch stellte die gespeicherten Bilder des groben Netzwerklaufs (220 × 41) neben die des Galerkin-Laufs. Das Ergebnis sah nach einem großen Unterschied aus — und war keiner:

Faktor 2,3. Das ist nicht der Unterschied der Verfahren, sondern der der Auflösung: Das grobe Netz kann die Wandgradienten gar nicht darstellen. Ein Bild, das so entsteht, beweist nichts und legt eine falsche Fährte — es sähe aus, als wichen die Verfahren stark voneinander ab.

Jetzt: Der Vergleich nimmt das Netzwerkfeld vom feinsten Netz (880 × 164) und mittelt es blockweise auf dasselbe Anzeigegitter wie das Galerkin-Feld. Gleiche Auflösung, gleiche Darstellung — erst dann zeigt die Differenz das Verfahren.

Zweiter Teil desselben Befunds: die Phasenzuordnung. Beide Rechnungen laufen nicht im Gleichtakt; zugeordnet werden muss über den Zustand des Grenzzyklus. Zuerst nahm ich dafür $(c_L,\;\dot c_L)$, beides auf das eigene Maximum bezogen. Das rohe $c_L$ ist aber von Schritt zu Schritt verrauscht; seine Ableitung wird vom Rauschen beherrscht, und die Normierung macht das Rauschen zum Maßstab. Gemessen: mittlerer Zuordnungsabstand 0,31 statt der erwarteten 0,01, siebzig Prozent der Bilder schlecht zugeordnet. Jetzt kommt die Phase aus einer harmonischen Anpassung an $c_L$ — beide Signale sind Grenzzyklen mit bekannter Grundfrequenz, die Anpassung ist glatt und eindeutig.

Dritter Teil, derselbe Fehlertyp noch einmal. Mit dem feinen Netz war der Vergleich immer noch schief: Das Netzwerkfeld wurde über 8 × 8-Blöcke gemittelt auf das Anzeigegitter gebracht, das Galerkin-Feld dagegen am Punkt interpoliert. Die Mittelung glättet genau die Wandspitze weg, die der Vergleich zeigen soll — die Spitzenwirbelstärke kam auf 127,5 gegen 268 heraus, also wieder Faktor 2,1, diesmal allein durch die Auswertung. Zur Einordnung: Die Grenzschicht ist hier rund $D/\sqrt{\mathrm{Re}} = 10$ mm dick, der Mittelungsblock 20 mm — es wurde über die ganze Grenzschicht hinweggemittelt. Jetzt werden beide Felder linear an denselben Anzeigepunkten ausgewertet.

Lehre: Zwei Dinge nebeneinanderzulegen ist erst dann ein Vergleich, wenn alles andere gleich ist — Auflösung, Phase und die Auswertung selbst. Dreimal in Folge habe ich an dieser einen Stelle etwas übersehen, und jedes Mal sah das Ergebnis nach einem großen Unterschied der Verfahren aus. Und: Eine Ableitung eines verrauschten Signals ist kein Messwert, sondern eine Rauschverstärkung; wo eine Phase gebraucht wird, nimmt man die angepasste Schwingung.

B17 Die Kurzfassung war in jedem Dokument — nur nicht in der HTML, wo sie bestellt war

Sein Auftrag vom 31.10.2026 war wörtlich: „ich breauche noch eine kurzfassung, 1 seite in dr html, Aufgabe, Zielsetzung, methode und fazit.” Gebaut wurde KURZFASSUNG.md, daraus Kurzfassung_1.0.pdf, zwei Seiten, mit genau diesen vier Abschnitten — und später auf seinen Zusatzwunsch erweitert um die Nachbildung der Navier-Stokes-Gleichungen im Netzwerk und den Zweck des Surrogats. Nur im Labor selbst stand sie nicht: CFD_Labor_1.1.html hatte sechs Reiter, und keiner davon war die Kurzfassung.

Gefunden hat es seine Frage „ist das die aktuelle version?” — beim Nachsehen, ob die Datei auf C: der neueste Stand ist, habe ich die Reiterleiste gelesen.

Warum die vorhandene Prüfung es nicht sah. Die Knopfprobe pruefe_labor.js geht window.PRUEFSTAND.reiter durch und prüft jeden Reiter darauf, dass er sich öffnet und Inhalt zeigt. Sie prüft also, ob die vorhandenen Reiter funktionieren — nie, ob ein geforderter fehlt. Eine Liste, die aus der Seite selbst stammt, kann eine Lücke in der Seite nicht melden: Sie ist gegenüber dem Soll blind. 36 von 36 Punkten waren grün, und alle 36 sagten nichts über diesen Fall.

Dazu der zweite Grund, der eigentliche: Der Prüfplan hatte kein Kriterium dafür. Grundsatz 40 verlangt, dass jede neue Aussage des Auftraggebers als Kriterium in den Prüfplan wandert. Dieser Satz wurde ausgeführt, aber nicht eingetragen — K1 bis K12 decken Verfahren, Nachweis und Ablage ab, keines die Oberfläche. Was nicht als Kriterium dasteht, wird beim Durchgehen vor der Abgabe nicht gefragt.

Behoben. Reiter „Kurzfassung” in vorlage.html, @@KURZFASSUNG@@ aus KURZFASSUNG.md in baue_labor.py, Labor 1.2. Er steht vor „Verfahren & Nachweis”, also am Anfang der Textreiter; Einstieg bleibt „Vergleichsverfahren”, weil der erste Bildschirm bedienbar sein soll und nicht Text (Grundsatz „Werkzeug vor Text”).

Prüfung, die es künftig fängt. pruefe_labor.js prüft die Reiterliste jetzt gegen eine fest eingetragene Sollliste aus den Aussagen des Auftraggebers, nicht nur gegen sich selbst — ein fehlender Reiter fällt durch, ein unerwarteter ebenso. Dazu K13 im Prüfplan.

Lehre: Eine Prüfung, die ihre eigene Liste aus dem Prüfling bezieht, kann nur Defekte finden, keine Lücken. Für jede Soll-Aussage braucht es eine Liste, die außerhalb des Prüflings steht.

B18 Ein Prüfmaß, das durch eine Null teilt

Beim Aufbau des Galerkin-Kerns für den Browser verglich ich die Matrizen mit Python über Summe und Quadratsumme, jeweils relativ. Die Quadratsummen stimmten auf 1e-14, die Summen fielen mit 0,56 und 2,2 durch. Beides an derselben Matrix.

Der Kern war richtig. Die Gesamtsumme von K, Bx und By ist von Natur aus null — genau das besagt der Satz „die Steifigkeit vernichtet das konstante Feld”, der zwei Zeilen darüber mit 3,8e-15 bestand. Der relative Vergleich teilte also durch Rundungsrauschen.

Warum die vorhandene Prüfung es nicht sah. Sie war die Prüfung — sie hat Alarm geschlagen, nur an der falschen Stelle. Das ist der gefährlichere Fall: Ein Prüfmaß, das falschen Alarm gibt, kostet Zeit und gewöhnt einen daran, Alarme wegzuerklären.

Behoben. Gemessen wird jetzt am Maßstab der Matrix selbst, der Wurzel aus der Quadratsumme — die ist nie null.

Lehre: Vor jedem relativen Vergleich ist zu fragen, ob der Nenner null sein kann. Wo eine Größe aus Gründen verschwindet, braucht sie einen eigenen Maßstab.

B19 Der Auftrieb fällt zuerst — er ist der empfindlichere Zeiger

Der Blockvorkonditionierer des Sattelsystems hatte den Zeitschritt im Zähler statt im Nenner. Richtig ist $\hat S^{-1} \approx \nu M_p^{-1} + K_p^{-1}/\Delta t$; bei $\Delta t = 2\cdot10^{-3}$ lag der Druckanteil damit um $\Delta t^2 = 4\cdot10^{-6}$ daneben. MINRES lief in jedem Zeitschritt in die Schrittgrenze und brach unfertig ab.

Das Aufschlussreiche ist, was man dabei sah:

Der Widerstand sah fast richtig aus. Er ist eine Summe gleichgerichteter Beiträge und verträgt einen unfertigen Löser. Der Auftrieb ist die kleine Differenz zweier großer Zahlen — die Druckkräfte auf der oberen und der unteren Zylinderhälfte heben sich fast auf. Was übrig bleibt, ist klein gegen das, woraus es entsteht, und zerfällt als erstes.

Warum die vorhandene Prüfung es nicht sah. Sie sah es — aber erst, weil c_L mitgeprüft wurde. Hätte ich nur c_D geprüft, wäre der Fehler mit 6e-6 durchgegangen.

Lehre: In jedem System gibt es Größen, die aus Differenzen entstehen. Sie sind die empfindlichen Zeiger und gehören in die Prüfung, auch wenn eine andere Größe „wichtiger” scheint. Ein Löser, der die unempfindliche Größe trifft, ist nicht geprüft.

B20 Eine Prüfung, die vor der kennzeichnenden Zeit aufhört

Der Galerkin-Kern im Browser bestand 45 von 45 Prüfungen, darunter 40 Zeitschritte gegen Python auf 1,6e-9. Im Dauerlauf platzte dieselbe Rechnung bei t = 0,372 s mit NaN.

Ursache gemessen, nicht vermutet: die Courant-Grenze der expliziten Konvektion.

Die 40 Prüfschritte entsprachen t = 0,08 s — ein Fünftel des Weges bis zum Platzen.

Warum die vorhandene Prüfung es nicht sah. Sie prüfte Übereinstimmung, nicht Bestand. Beide Rechnungen waren in den ersten 40 Schritten gleich — und blieben es auch, bis die eine abbrach. Übereinstimmung über eine kurze Strecke sagt über Stabilität nichts; Stabilität ist eine Aussage über die Dauer.

Behoben. Der Kern bestimmt den Zeitschritt jetzt selbst aus der Courant-Bedingung des Netzes ($\Delta t \le C\,(h_{\min}/2)/u_{\max}$, C = 0,15, also ein Sicherheitsabstand von zwei gegen das Gemessene) und meldet, wenn eine Vorgabe gekappt wurde. Die Prüfung läuft jetzt bis t = 1,2 s, über die Zeit hinaus, in der die Ablösung anläuft — 1280 Schritte.

Lehre: Bei jedem Zeitschrittverfahren muss die Prüfung mindestens so lange laufen wie die kennzeichnende Zeit des Vorgangs. Was davor grün ist, ist nicht geprüft, sondern nur noch nicht gescheitert.

B21 Ein Parse-Fehler legt den ganzen Block still — und die Seite lädt „fehlerfrei”

Triangle (Shewchuk) sollte als WebAssembly in die eine HTML-Datei. Drei Anläufe, drei verschiedene Fehler, alle derselben Art: Zwei Dateien, die als getrennte Module geschrieben sind, kollidieren, wenn man sie aneinanderhängt.

1. Die Hülle enthielt noch ihr require — createModule stand zweimal da.
2. Danach stand Module zweimal da: einmal var aus dem Emscripten-Erzeugnis, einmal let aus der Hülle.
3. Danach lief es durch, wies aber nichts zu: Das Erzeugnis setzt seine Fabrik nur, wenn beide da sind, module und exports. Ich hatte nur module gesetzt.

Das Tückische sind die ersten beiden. Ein doppelt deklarierter Name ist ein Parse- Fehler: Der ganze Skriptblock läuft dann gar nicht erst an. Die Seite sah trotzdem normal aus, alle Reiter gingen auf, und die Diagnoseschnittstelle meldete brav KERN_FEM: object — denn das stand in einem anderen Block.

Warum die vorhandene Prüfung es nicht sah. Die Knopfprobe prüft, ob Reiter aufgehen und Knöpfe rechnen. Ein Stück, das noch an keinem Knopf hängt, kommt darin nicht vor. Gefunden hat es erst die Probe, die gezielt nach window.TRIANGLE fragte und ein Netz erzeugen ließ.

Lehre: Beim Einbetten fremder Module ist der Geltungsbereich die ganze Arbeit — jedes Stück in eine eigene Funktion, nach außen nur ein Name. Und: Nach jedem Einbetten muss geprüft werden, dass das Eingebettete etwas tut, nicht nur dass es dasteht.

B22 Eine Kurve fehlte, und die Probe zählte Farben

Im Reiter „Galerkin” steht ein Zeitdiagramm mit beiden Wegen übereinander; die Legende nennt Galerkin (blau) und Netzwerk (rot). Gezeichnet war nur eine Kurve.

Ursache: Der Netzwerkweg führt seine Bahn am Lauf, nicht am Zustand — so ist es im Reiter „Ganzer Löser” gebaut, und ich habe ZN.bahn abgefragt, was es dort nicht gibt. Der Zeichner bekam undefined und übersprang die Reihe stillschweigend.

Warum die vorhandene Prüfung es nicht sah. Der Prüfposten lautete „die Beiwerte beider Wege laufen über der Zeit” und maß die Zahl der Farbtöne im Bild: 652, also bestanden. Eine Zahl von Farbtönen sagt aber nicht, welche Farben da sind — eine einzelne Kurve mit Achsen und Gitterlinien liefert längst genug davon. Das Kriterium hieß „beide Wege” und maß „irgendetwas Buntes”.

Gefunden hat es das Ansehen des Bildes, nicht die Probe (Hausregel „Bild ansehen, nicht nur Prüfzahl”). Dabei fiel zugleich auf, dass der Anfahrstoß — c_D springt bei t = 0 auf über 200, weil die Strömung aus der Ruhe schlagartig anliegt — den Maßstab der Achse bestimmte: von −7,3 bis 8,0, und alles Interessante lag als Strich dazwischen.

Behoben. Die Bahn des Netzwerkwegs wird mitgeschrieben; der Maßstab kommt aus der Zeit nach einem Zehntel des Laufs; Werte außerhalb werden abgeschnitten statt die Kurve auslaufen zu lassen. Die Probe sucht jetzt nach den beiden Kurvenfarben selbst — Blau- und Rotanteil getrennt gezählt.

Lehre: Ein Prüfposten muss das messen, was in seinem Namen steht. „Beide Wege” heißt: beide suchen, nicht Buntheit zählen. Es ist derselbe Fehlertyp wie in B17 — eine Prüfung, die zählt statt zu vergleichen, findet nichts Fehlendes.

B23 Die Seite ersetzte Marken im eigenen Datensatz

Auf Freds Einwand hin liegen seit Fassung 1.5 alle Programme im Wortlaut in der Seite — damit sich nachrechnen lässt, worauf das Prüfprotokoll verweist. Danach fiel die Knopfprobe von 62 auf 48 von 55, und der Browser meldete beim Laden Invalid or unexpected token.

Die Ursache liegt eine Ebene tiefer, als sie aussieht. baue_labor.py setzt die Teile der Seite über Marken ein: @@KERN@@, @@LABOR@@, @@DATEN@@. Das geschah nacheinander — jede Ersetzung lief über das Ergebnis der vorigen. Solange nur Manuskripte und Programmtext eingesetzt wurden, fiel das nicht auf. Seit aber baue_labor.py selbst zu den mitgelieferten Quelltexten gehört, steht sein Text im Datensatz — und darin stehen jene Marken. Der nächste Durchgang ersetzte sie mitten im JSON, und damit war der ganze LABORDATEN-Block zerschlagen: keine Zeitdaten, keine Quelltexte.

Warum die vorhandene Prüfung es beinahe durchgelassen hätte. Die Seite sah fast normal aus. Alle neun Reiter gingen auf, die Manuskripte standen da, der Rechenteil funktionierte — nur der Zeitverlauf blieb leer und der Programmreiter auch. Ein Blick auf die Seite hätte „sieht gut aus” ergeben. Gefunden haben es die Prüfposten, die auf Inhalt prüfen: „der angezeigte Quelltext ist wirklich Quelltext — 0 Zeichen”.

Behoben. Ein einziger Durchgang mit re.sub über alle Marken: Jede wird genau einmal angesehen, und was eingesetzt wird, wird nicht noch einmal durchsucht.

Lehre: Eine Ersetzung, die über ihr eigenes Ergebnis läuft, ist eine Falle, die erst zuschnappt, wenn der eingesetzte Inhalt zufällig wie eine Marke aussieht. Das kann Jahre dauern — und tritt genau dann ein, wenn man den Erzeuger in sein eigenes Erzeugnis legt. Bei Textmarken gilt: ein Durchgang, keine Rückkopplung.

Fassung 1.8 — neu gegenüber 1.7: Reiter Programme mit allen Quelltexten, das Blatt für Fred im Anleitungsreiter, MIT für den eigenen Code. Fassung 1.7: eigener Reiter Lizenz im Labor, Verfasser und Entstehung im Kopf. Fassung 1.6: die Lizenz- und Danksagungsbedingungen zu Triangle, an der Quelle nachgeprüft. Fassung 1.5: Postenzahlen beider Kernproben berichtigt. Fassung 1.4: beide Wege rechnen jetzt im Browser, einschließlich Vernetzung (Triangle als WebAssembly). Fassung 1.3: der Reiter Kurzfassung im Labor (Befund B17). Fassung 1.2: der unabhängige Galerkin-Weg.

Was hier liegt

Ein Strömungslöser (CFD), aufgebaut als Kirchhoffsches Netzwerk — dieselbe Denkweise wie im Feld_Labor, angewandt auf die Navier-Stokes-Gleichungen. Beweisstück ist die Kármánsche Wirbelstraße am Kreiszylinder bei Re = 100.

Fremde Bestandteile: Triangle, und was dafür gilt

Die Dreiecksnetze des Galerkin-Wegs werden mit Triangle erzeugt, dem Netzgenerator und Delaunay-Triangulierer von Jonathan Richard Shewchuk (Carnegie Mellon University) — demselben, den auch FEMM benutzt. Mit Dank an den Autor.

Der Autor stellt zwei Bedingungen, beide am 01.11.2026 an der Quelle nachgeprüft (https://www.cs.cmu.edu/~quake/triangle.html):

Please note that although Triangle is freely available, it is copyrighted by the author and may not be sold or included in commercial products without a license.

If you use a mesh generated by Triangle in a publication, please include an acknowledgment as well. And please spell Triangle with a capital “T”!

Daraus folgt:

• Frei für Forschung, Lehre und eine Veröffentlichung mit Quellenangabe.
• Nicht frei für Verkauf oder Aufnahme in ein kommerzielles Erzeugnis — dafür braucht es eine Lizenz des Autors.
• Die Danksagung steht sichtbar in der Seite selbst, unmittelbar unter jedem Netz, das Triangle erzeugt hat — nicht im Kleingedruckten.
• Der Name wird mit großem T geschrieben; das ist die ausdrückliche Bitte des Autors.

Zu zitieren sind die beiden Arbeiten, die der Autor selbst nennt; sie stehen im Schrifttum von METHODE_UND_NACHWEIS.md. Vollständig steht alles in labor/triangle/HERKUNFT.md.

Die WebAssembly-Hülle triangle-wasm 1.0.0 von Bruno Imbrizi steht unter MIT.

Das Labor im Browser

CFD_Labor_1.5.html ist eine einzige Datei, die ohne Netz läuft — kein Nachladen, kein CDN. Doppelklick genügt. Neun Reiter:

Der Rechenkern labor/kern_cfd.js ist eine zweite Umsetzung derselben Verfahren und deshalb gegen die Python-Module geprüft: node labor/pruefe_kern.js vergleicht für den Netzwerkweg 45 Posten, node labor/pruefe_kern_fem.js für den Galerkin-Weg 47 Posten gegen labor/vergleichsdaten.json, das aus den geprüften Modulen erzeugt wird. Die Bedienung wird im echten Browser geprüft: node labor/pruefe_labor.js drückt jeden Knopf und hält die Ergebnisse gegen harte Sollwerte.

Zum Surrogat

Der Zeitverlauf-Reiter zeigt ein angelerntes Ersatzmodell: POD für die Raumformen (Singulärwertzerlegung der Momentaufnahmen), DMD für den Zeitoperator (Ausgleichsrechnung). Beides ist geschlossene lineare Algebra, kein Blackbox-Lernen — und es trägt hier, weil die Wirbelstraße bei Re = 100 in einen Grenzzyklus läuft. Man sieht das daran, dass die Singulärwerte paarweise kommen: Jede Frequenz liefert ein Sinus-Kosinus-Paar.

Zwei Dinge dazu, ausdrücklich:

• Das Surrogat gilt nur für den Fall, auf dem es angelernt wurde — diesen Zylinder, diese Reynoldszahl, den eingeschwungenen Zustand. Nicht für andere Geometrien, nicht für den Anlauf.
• Sein Fehler gegen den echten Löser wird gemessen und auf der Seite genannt, nicht verschwiegen.

Was man aufrufen kann

Alles liegt in stroemung\. Gebraucht werden Python 3 mit NumPy, SciPy und Matplotlib.

Alles auf einmal prüfen — jede Stufe beurteilt sich selbst, das Protokoll sammelt ein:

python pruefprotokoll.py schnell      rund eine Minute
python pruefprotokoll.py ganz         dazu die langen Läufe, rund eine halbe Stunde

Einzelne Stufen — jedes Programm läuft für sich und sagt RICHTIG oder FALSCH:

python sg_stempel.py                  der Zweigstempel gegen die geschlossene Lösung
python poiseuille.py                  ebener Kanal gegen Hagen-Poiseuille
python impuls_matrix.py               Impulsoperator: Matrix gegen Feldoperation
python drucknetz_koerper_probe.py     Drucknetz mit Störkörper und Ausstrom
python knotenregel_probe.py           Divergenz am Ende jedes Zeitschritts
python bild.py probe                  Wirbelstärke gegen Felder mit bekanntem omega

Den unabhängigen zweiten Weg rechnen — Galerkin, Taylor-Hood, körperangepasstes Netz:

python netz_fem.py                                 das Netz und seine Proben
python fem_galerkin.py                             Ansatzraum und Hagen-Poiseuille EXAKT
python fem_wirbelstrasse.py 0.0039 12 1.25e-4      trifft alle drei Intervalle

Die Wirbelstraße rechnen — Netz, Netz, Sekunden; das Feld wird mitgeschrieben:

python wirbelstrasse.py 220 41 12          grob,     rund  2 Minuten
python wirbelstrasse.py 440 82 12          mittel,   rund  5 Minuten
python wirbelstrasse.py 880 164 12         fein,     rund 70 Minuten

Dieselbe Rechnung auf beiden Wegen — Netzwerkmatrix gegen Feldoperation:

python wirbelstrasse_zweiwege.py 220 41 8

Die Druckdifferenz, die vierte Referenzgröße:

python druckdifferenz.py 440 82 12

Das Labor bauen und prüfen:

python baue_labor.py                 (im Ordner labor\)
node pruefe_kern.js                  Netzwerkkern gegen Python, 45 Posten
node pruefe_kern_fem.js              Galerkin-Kern gegen Python, 47 Posten
node pruefe_labor.js                 Knopfprobe im echten Browser
python surrogat.py 220 41 12 2.5 16  Surrogat neu anlernen (dauert ~35 min)

Das Bild:

python schaubild.py feld_880x164.npz wirbelstrasse_schaubild.png
python bild.py feld_880x164.npz nur_das_feld.png

Woran man erkennt, ob es stimmt

Nicht daran, dass etwas ohne Fehlermeldung durchläuft. Jedes Programm endet mit einer Zeile == n/m und mit dem Rückgabewert 0 oder 1. Die Referenzwerte stammen aus dem Schäfer-Turek-Benchmark (DFG 1996) und sind nicht anpassbar:

Ein einzelner Lauf, der zufällig im Intervall liegt, ist kein Nachweis. Nachgewiesen wird über die Netzverfeinerungsreihe: Jede Größe muss mit feinerem Netz näher an die Referenz kommen, und der aus drei Stufen extrapolierte Grenzwert muss hineinfallen.

Fassung 1.3 — gegenüber 1.2 neu: K15 (beide Wege rechnen in der HTML) und K16 (Prüfung über die kennzeichnende Zeit hinaus; Anlass Befund B20). Fassung 1.2: K13 und K14 (die Oberfläche selbst; Anlass Befund B17). Fassung 1.1: K7a und K7b (unabhängiger zweiter Weg), K8 berichtigt.

Nach Grundsatz 40 wird jedes Projekt gegen die wörtlichen Aussagen des Auftraggebers geprüft, nicht gegen meine Auslegung davon. Links steht sein Wortlaut, rechts, woran sich die Erfüllung ablesen lässt und wo der Beleg liegt.

Zum Jetson

Er wird nicht gebraucht — aber das ist gemessen, nicht angenommen. zeitaufteilung.py zerlegt einen Zeitschritt auf dem Netz 440 × 82:

Einmalig davor: Netz stempeln 462 ms, LU-Zerlegung 139 ms — bei 18 000 Zeitschritten fällt das nicht ins Gewicht.

Nur der Löseanteil käme für eine Grafikkarte überhaupt in Frage, und selbst wenn er auf null fiele, würde ein Zeitschritt höchstens 2,34-mal schneller. Dafür müsste man vom direkten Löser (einmal zerlegen, dann nur noch einsetzen) auf ein iteratives Verfahren wechseln; das Einsetzen in eine Dreiecksmatrix ist von Natur aus sequentiell und wird auf einer GPU nicht schneller. Bei den übrigen knapp 43 % — reinen Feldoperationen — ist der Jetson Orin Nano diesem Server deutlich unterlegen. Ein Gewinn ist damit nicht zu erwarten, ein Verlust wahrscheinlich.

Das wird hier festgehalten, damit die Entscheidung nachvollziehbar ist und nicht als Versäumnis erscheint. Sollte später ein Fall kommen, bei dem das Drucknetz nicht mehr direkt zerlegt werden kann — in drei Dimensionen wird die Zerlegung zu groß —, kehrt sich die Rechnung um: Dann trägt ein iterativer Löser, und dann ist AmgX auf dem Jetson genau das richtige Werkzeug. Es ist aus dem REM-Projekt bereits gebaut und geprüft.

Kurz für Fred (und seine KI) — Fassung 1.5, 01.11.2026

Was wir bauen: Eine Strömungsrechnung (CFD) als Kirchhoffsches Netzwerk — nicht als Analogie, sondern weil die Finite-Volumen-Methode schon eines ist: Zelle = Knoten, Fläche = Zweig, und die Kontinuitätsgleichung $\oint \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}A = 0$ ist wörtlich die Knotenregel. Zähigkeit = Widerstand, Trägheit = Kondensator, Konvektion = gesteuerte Quelle, Druckkorrektur = Poisson-Netz.

Wozu: Wir brauchen für die Strömung einen zweiten unabhängigen Weg — so wie es ihn für die Feldrechnung schon gibt (Netzwerk nach Kirchhoff und FEM nach Ritz, im Feld_Labor nebeneinander mit Sprachprobe). Demonstriert an einem plakativen Bild, aber bewiesen, nicht geschönt.

Das Beweisstück: Kármánsche Wirbelstraße am Zylinder, Re = 100. Bei Re = 100 ist der Nachlauf echt 2D (3D erst ab Re ≈ 190) — also keine Vereinfachung. Dafür gibt es den Schäfer-Turek-Benchmark (DFG 1996) mit eng eingegrenzten Referenzwerten: c_D = 3,22…3,24 · c_L = 0,99…1,01 · St = 0,295…0,305 · Δp = 2,46…2,50. Dimensionslos, von mehreren Gruppen bestätigt — nicht anpassbar.

Stand der Beweiskette

Zu Stufe 1, falls deine KI es einordnen will: Der Stempel ist Scharfetter-Gummel aus der Halbleitersimulation (1969). Er ist auf gleichmäßigem Gitter knotenweise exakt, bei jeder Péclet-Zahl — die zentrale Differenz liegt bei Pe_h = 50 um Faktor 1000 daneben, der Aufwind um 13 bis 16 Prozent bei Pe_h ≈ 1…5.

Die Netzreihe — Abweichung von der Mitte des Referenzintervalls

Auf dem feinsten Netz liegt St = 0,2962 im Referenzintervall 0,295 … 0,305. Jede der vier Größen kommt mit jeder Verfeinerung näher. Das ist der Nachweis — nicht ein einzelner Lauf, der zufällig trifft.

Was NICHT aufgeht, und warum

Die Richardson-Extrapolation aus den drei Stufen läuft über die Referenz hinaus (c_D → 3,08 statt 3,22…3,24). Das Kriterium ist damit nicht erfüllt, und wir lockern es nicht nachträglich. Stattdessen haben wir gemessen, woran es liegt:

Vier Netze, gleiche Geometrie, Zellabstand um weniger als 2,5 % verschieden — nur die Lage des Zylinders im Zellraster ist anders. Allein dadurch streut

• c_D um 4,7 % (Abstand zur Referenz auf diesem Netz: 7,0 %)
• c_L um 14,6 % (Abstand: 11,1 %)
• St um nur 1,3 % (Abstand: 6,4 %)

Für c_D und c_L ist die Streuung also so groß wie der Fehler selbst. Auf diesem Netz bestimmt nicht die Auflösung den Fehler, sondern wo die Treppe hinfällt — und weil das beim Verfeinern springt, gibt es keinen festen Vorfaktor, den eine Extrapolation voraussetzen müsste. Der Rest kommt von der Körperdarstellung, nicht vom Netzwerkansatz. Abhilfe wären geschnittene Zellen oder ein körperangepasstes Netz; das ist der nächste Schritt und ausdrücklich noch nicht getan.

Der unabhängige zweite Weg — das Wichtigste zuerst

Der Netzwerkansatz wird gegengerechnet mit einem zweiten Löser aus anderer Herleitung: Galerkin mit Taylor-Hood-Elementen auf einem körperangepassten Dreiecksnetz. Schwache Form statt Flussbilanz, Knotenwerte eines Polynomansatzes statt Zellmittel, Zylinderrand auf Knoten statt Treppe, andere Kraftermittlung. Zwei Verfahren, die verschieden scheitern können — das ist das Maß für Unabhängigkeit, nicht ob sie verschieden aussehen.

Er trifft alle drei Benchmarkgrößen direkt im Intervall, ohne Extrapolation:

Die beobachtete Zeitordnung ist 1,00 — das Zeitschema ist erster Ordnung, die Messung trifft genau das. Vorher, zur Probe: Hagen-Poiseuille kommt bei diesem Weg auf 4,9·10⁻¹⁴ heraus, weil die Parabel im P2-Ansatzraum exakt enthalten ist. Diese Schärfe hat prompt einen Randfehler gefunden, den eine Probe mit der Schranke „klein” durchgelassen hätte.

Warum Galerkin und nicht Ritz: Ritz minimiert ein Funktional; das setzt Symmetrie voraus. Die Konvektion ist nicht symmetrisch, und die Inkompressibilität macht schon aus Stokes einen Sattelpunkt — es gibt nichts zu minimieren. Galerkin braucht kein Funktional und fällt beim Zähigkeitsterm wörtlich mit Ritz zusammen.

Zwei Aufbauten desselben Verfahrens — und was das beweist

Kein gemeinsamer Rechenkern; gemeinsam sind nur Geometrie, Stoffwerte und Zeitschritt.

Geprüft wird am vollständigen Löser: 6000 Zeitschritte mitten durch die ausgebildete Wirbelablösung, größte Abweichung 5,2·10⁻¹⁴ im Feld. Wichtig zur Einordnung: Das belegt, dass der Aufbau fehlerfrei ist — nicht, dass das Verfahren richtig ist. Beide teilen Zeitschritt, Randbehandlung und Stempel, können also nur gemeinsam scheitern. Dafür ist der Galerkin-Weg oben da.

Die Unsymmetrie der Impulsmatrix ist die gesteuerte Quelle; lässt man die Geschwindigkeit gegen null gehen, wird die Matrix symmetrisch — das passive Widerstandsnetz. Gemessen: die Unsymmetrie geht linear mit der Geschwindigkeit.

Das Labor: beide Wege rechnen im Browser

CFD_Labor_1.3.html ist eine Datei, die ohne Netz läuft — Doppelklick genügt. Darin rechnet nicht nur der Netzwerkweg, sondern seit dem 1. November auch der Galerkin-Weg samt eigener Vernetzung: Triangle (Shewchuk) steckt als WebAssembly in der Datei, derselbe Vernetzer, den FEMM benutzt.

Im Reiter Vergleichsverfahren → Galerkin laufen beide Wege nebeneinander, bei gleichem Knotenabstand und gleichen Auswertepunkten. Was dabei zu sehen ist:

Beide sind auf dem groben Netz daneben, in entgegengesetzte Richtungen — der Benchmarkwert liegt dazwischen. Der Galerkin-Weg unterschätzt, der Netzwerkweg überschätzt wegen der Treppenkontur. Das ist kein Widerspruch der Verfahren, sondern der sichtbare Netzfehler beider, und er zeigt in verschiedene Richtungen, weil die Herleitungen verschieden sind.

Der Galerkin-Browserkern ist knotenweise gegen die Python-Module geprüft, 47 Posten: Hagen-Poiseuille auf 1,0e-12, die Beiwerte über 40 Zeitschritte auf 1e-9.

Auf deine Anmerkungen zu 1.3

Alle drei Punkte sind in 1.5 erledigt:

• Die Quellen fehlten. Jetzt liegen alle Programme im Wortlaut in der Seite, Reiter Programme — 34 Dateien aus stroemung/ und labor/, jede mit Zeilenzahl, Größe und sha256. Damit lässt sich nachrechnen, worauf das Prüfprotokoll verweist.
• Dieses Blatt stand nur im Verzeichnis. Jetzt steht es im Reiter Anleitung.
• Lizenz für den eigenen Code: MIT, wie in Ralphs übrigen Arbeiten. Eigener Reiter Lizenz, dazu LICENSE und LIZENZ.md.

Zu deiner Werkzeugregel — die Sperre ist enger, als sie aussieht. Triangle blockiert nicht den Galerkin-Weg, sondern nur den Vernetzer:

Die Schnittstelle ist eine Punktliste hinein, eine Dreiecksliste heraus. Wenn ihr gmsh ohnehin benutzt, sind das fünf Zeilen Arbeit — und ihr habt den vollständigen, MIT-lizenzierten Löser ohne Triangle-Bindung. Nachprüfbar im Reiter Programme: kern_fem.js enthält die Zeichenfolge „Triangle” kein einziges Mal.

Zu deiner fachlichen Einschätzung: du hast recht. Das Labor belegt laminare 2D-Strömung bei Re = 100 gegen eine fremde Referenz. Für Laufrad #44 — dreidimensional, turbulent, drehend — rechnet es nichts nach und behauptet das nirgends. Der Weg dorthin ist der, den du nennst.

Was wir von dir brauchen

• Wie heißt deine Fundstelle? Name oder Adresse genügt, ich hole es selbst.
• Dein code-server verlangt Anmeldung — da komme ich nicht hinein und versuche es nicht.
• Zur Einordnung: Eine fremde CFD-Rechnung ist für uns Gegenprobe, keine Referenz (sie trägt deren Netz und Turbulenzmodell mit). Als Gegenprobe trotzdem willkommen.
• Gemessene Lüfterdaten (Kennlinie nach ISO 5801 / AMCA 210, PIV oder LDA) wären mehr wert als jede Rechnung.

Kein Lüfterrad als Beweisstück

Das braucht 3D und ein Turbulenzmodell. Ein Turbulenzmodell ist eine Modellannahme mit abgestimmten Konstanten — damit kann man abgleichen, nicht beweisen. Für die spätere Anwendung liegt FAN-01 hier (EAA-Benchmark, Niederdruck-Axiallüfter, Zenodo CC-BY-4.0: gemessene Kennlinie 20 Punkte, 718…7483 m³/h bei 253…7 Pa, dazu LDA-Felder und Geometrie).