Transistoren, der Transistortester und die daraus erzeugten Modelle

Manuskript zur Auswertung und Modellierung

der Diodenkennlinie mittels Shockley-Gleichung,

Newton-Raphson- und Bisektionsverfahren

Begleitendes Manuskript zum Python-Programm „Optimierung_AP_1.py“

1. Einleitung und Zielsetzung

Das vorliegende Manuskript beschreibt ausführlich die physikalischen Grundlagen, mathematischen Herleitungen und numerischen Verfahren, die dem Python-Programm „Optimierung_AP_1.py“ zugrunde liegen. Ziel des Programms ist es, gemessene Strom-Spannungs-Kennlinien einer Diode mit dem Shockley-Modell zu approximieren und anschließend für eine gegebene Schaltung (Diode in Reihe mit einem Vorwiderstand an einer Versorgungsspannung) den Arbeitspunkt zu bestimmen. Zusätzlich kann das Programm denjenigen Vorwiderstand R bestimmen, der zu einem gewünschten Diodenstrom führt.

Dazu werden drei numerische bzw. statistische Verfahren eingesetzt, die im Folgenden vollständig hergeleitet werden:

• Nichtlineare Ausgleichsrechnung (curve_fit, Methode der kleinsten Quadrate) zur Bestimmung der Modellparameter Is und n,

• das Newton-Raphson-Verfahren zur Lösung der transzendenten Maschengleichung (Bestimmung des Arbeitspunktes Vd),

• das Bisektionsverfahren zur Bestimmung des Widerstands R für einen vorgegebenen Diodenstrom.

2. Physikalisches Modell der Diode

2.1 Die Shockley-Gleichung

Das elektrische Verhalten einer idealen pn-Diode wird durch die nach William Shockley benannte Diodengleichung beschrieben. Sie verknüpft den durch die Diode fließenden Strom Id mit der an ihr anliegenden Spannung Vd:

I~d~ = I~S~ · [ exp( V~d~ / (n · V~T~) ) − 1 ] (2.1)

Hierbei bedeuten:

• Id : Diodenstrom durch das Bauteil [A]

• Vd : Spannung über der Diode [V]

• IS : Sättigungssperrstrom (Reverse Saturation Current), ein für jede Diode charakteristischer, sehr kleiner Parameter (typ. 10⁻¹⁰-- 10⁻¹² A)

• n : Emissionskoeffizient (Idealitätsfaktor), dimensionslos, üblicherweise zwischen 1 (ideale Diode) und 2 (reale Diode mit Rekombinationseffekten)

• VT : Temperaturspannung [V]

2.2 Herleitung der Diodengleichung aus der pn-Übergangstheorie

Die Shockley-Gleichung folgt aus der Lösung der stationären Minoritätsträger-Diffusionsgleichung in einem pn-Übergang. An den Rändern der Raumladungszone gilt im thermodynamischen Gleichgewicht ohne äußere Spannung das Massenwirkungsgesetz für die Ladungsträgerkonzentrationen:

n~0~ · p~0~ = n~i~^2^ (2.2)

Wird eine äußere Spannung Vd angelegt, so verschiebt sich das Ferminiveau der Minoritätsträger am Rand der Raumladungszone gemäß der Boltzmann-Statistik. Für die Minoritätsträgerkonzentration der Löcher auf der n-Seite (pn) am Rand der Raumladungszone gilt dann:

p~n~(0) = p~n0~ · exp( V~d~ / V~T~ ) (2.3)

Setzt man dies in die stationäre Diffusionsgleichung für Minoritätsträger ein und löst die resultierende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung unter den Randbedingungen eines langen bzw. kurzen Diodengebiets, so erhält man für die Diffusionsstromdichte exponentiell abklingende Trägerprofile. Die Integration der Diffusionsströme über die Querschnittsfläche A der Diode liefert den Gesamtstrom:

I~d~ = q·A· ( D~p~·p~n0~/L~p~ + D~n~·n~p0~/L~n~ ) · [ exp(V~d~/V~T~) − 1 ] (2.4)

Der gesamte, von Material- und Geometriegrößen (Diffusionskonstanten Dp, Dn, Diffusionslängen Lp, Ln, Gleichgewichts-Minoritätsträgerdichten pn0, np0, Elementarladung q und Querschnittsfläche A) abhängige Vorfaktor wird als Sättigungssperrstrom IS zusammengefasst:

I~S~ = q·A· ( D~p~·p~n0~/L~p~ + D~n~·n~p0~/L~n~ ) (2.5)

Damit ergibt sich unmittelbar die ideale Diodengleichung Id = IS·[exp(Vd/VT) − 1]. Da reale Dioden zusätzliche Effekte wie Rekombination in der Raumladungszone, Hochstrominjektion und Serienwiderstände im Halbleitermaterial aufweisen, wird empirisch der Idealitätsfaktor n eingeführt, der die effektive Steigung der Kennlinie im halblogarithmischen Diagramm korrigiert. Dies führt auf die in (2.1) verwendete, in der Praxis übliche Form der Shockley-Gleichung.

2.3 Die Temperaturspannung VT

Die Temperaturspannung ergibt sich aus der Boltzmann-Statistik der Ladungsträger zu:

V~T~ = (k·T) / q (2.6)

• k : Boltzmann-Konstante (1,380649 × 10⁻²³ J/K)

• T : absolute Temperatur [K]

• q : Elementarladung (1,602176634 × 10⁻¹⁹ C)

Bei Raumtemperatur (T ≈ 300 K) ergibt sich VT ≈ 25,85 mV, was exakt dem im Programm fest hinterlegten Wert Vt = 0,02585 V entspricht.

3. Einlesen der Messdaten und nichtlineare Kurvenanpassung

3.1 Datenimport

Das Programm liest die Messdatei „Diode.txt“ zeilenweise ein. Ab der Kopfzeile, die mit „Point“ beginnt, werden je Zeile die Diodenspannung (zweite Spalte) und der Diodenstrom in mA (dritte Spalte) extrahiert. Dezimalkommata werden in Dezimalpunkte umgewandelt, um eine korrekte Konvertierung in Gleitkommazahlen (float) zu gewährleisten. Alle gültigen Messpunkte werden in den Feldern spannung_alle und strom_alle gespeichert; für den eigentlichen Fit werden nur Punkte mit positivem Strom (i_ma \> 0) verwendet, da der Logarithmus bzw. die Exponentialfunktion im Sperrbereich (negative oder verschwindende Ströme) numerisch instabile bzw. physikalisch wenig aussagekräftige Fitresultate liefern würde.

3.2 Methode der kleinsten Quadrate (Least-Squares-Fit)

Die Funktion curve_fit aus scipy.optimize bestimmt die Parameter IS und n so, dass die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen den gemessenen Stromwerten Id,i (Messpunkt i) und dem Modellwert nach Shockley-Gleichung minimal wird:

S(I~S~, n) = Σ~i=1~^N^ [ I~d,i~ − f(V~d,i~, I~S~, n) ]^2^ (3.1)

mit der Modellfunktion f(Vd, IS, n) = IS·[exp(Vd/(n·VT)) − 1]. Gesucht ist also:

(I~S~, n) = argmin~(IS,n)~ S(I~S~, n) (3.2)

Da das Modell nichtlinear in den Parametern ist (IS und n erscheinen multiplikativ bzw. im Exponenten), kann das Minimum nicht analytisch in geschlossener Form bestimmt werden. curve_fit verwendet daher iterativ den Levenberg-Marquardt-Algorithmus, eine Kombination aus Gauß-Newton-Verfahren und Gradientenabstieg. Ausgehend von einem Startwert p0 = [IS = 10⁻¹² A, n = 2] wird in jedem Iterationsschritt k das lineare Gleichungssystem

(J^T^J + λ·diag(J^T^J)) · Δp~k~ = J^T^·r~k~ (3.3)

gelöst, wobei J die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen des Residuenvektors r nach den Parametern (IS, n) ist und λ ein Dämpfungsparameter, der zwischen Gauß-Newton-Schritt (λ klein) und Gradientenabstieg (λ groß) interpoliert. Der Parametervektor wird gemäß

p~k+1~ = p~k~ + Δp~k~ (3.4)

aktualisiert, bis die Änderung der Residuensumme einen vorgegebenen Toleranzwert unterschreitet (Konvergenz) oder die maximale Anzahl von Funktionsauswertungen (maxfev = 10000) erreicht ist. Das Ergebnis sind die im Programm ausgegebenen Parameter IS und n, die anschließend für alle weiteren Berechnungen (Arbeitspunktbestimmung, Bisektion) als feste Diodenparameter verwendet werden.

4. Schaltungsmodell und Maschengleichung

Im Hauptmenü betrachtet das Programm eine einfache Reihenschaltung aus einer Versorgungsspannungsquelle Uges, einem ohmschen Vorwiderstand R und der Diode. Nach der Kirchhoffschen Maschenregel gilt für diesen Stromkreis, dass die Summe aller Teilspannungen der Quellenspannung entspricht:

U~ges~ = I·R + V~d~ (4.1)

Da im stationären Fall (Gleichstrom) derselbe Strom I durch Widerstand und Diode fließt (Reihenschaltung), gilt I = Id, sodass mit der Shockley-Gleichung (2.1) eine implizite, transzendente Gleichung für die unbekannte Diodenspannung Vd entsteht:

Diese Gleichung lässt sich nicht nach Vd auflösen, da Vd sowohl linear als auch im Exponenten auftritt. Sie muss daher numerisch gelöst werden -- im Programm geschieht dies mit dem Newton-Raphson-Verfahren (Funktion solve_for_Vd).

Geometrisch entspricht die Lösung von (4.2) dem Schnittpunkt der Diodenkennlinie Id(Vd) mit der sogenannten Lastgeraden (auch Widerstandsgerade genannt), die durch Umstellen von (4.1) nach dem Strom entsteht:

I~R~(V~d~) = (U~ges~ − V~d~) / R (4.3)

Dieser Schnittpunkt wird als Arbeitspunkt der Schaltung bezeichnet und im Diagramm des Programms als blauer Punkt markiert.

5. Das Newton-Raphson-Verfahren

5.1 Allgemeine Herleitung

Das Newton-Raphson-Verfahren dient der iterativen Bestimmung einer Nullstelle x einer differenzierbaren Funktion f(x), also einer Lösung von f(x) = 0. Die Herleitung erfolgt über die Taylorreihenentwicklung von f um einen Näherungswert xk:

f(x) ≈ f(x~k~) + f′(x~k~)·(x − x~k~) + O((x−x~k~)^2^) (5.1)

Bricht man die Reihe nach dem linearen Glied ab (lineare Approximation der Funktion durch ihre Tangente im Punkt xk) und fordert, dass diese lineare Näherung an der Stelle x = xk+1 verschwindet, also f(xk) + f′(xk)·(xk+1 − xk) = 0, so folgt nach Umstellen die Newton-Iterationsvorschrift:

x~k+1~ = x~k~ − f(x~k~) / f′(x~k~) (5.2)

Geometrisch bedeutet dies: Man legt im aktuellen Näherungspunkt die Tangente an die Funktion und verwendet deren Nullstelle als neue, verbesserte Näherung. Bei hinreichend glatten Funktionen und einem Startwert nahe der gesuchten Nullstelle konvergiert das Verfahren quadratisch, d.h. die Anzahl der korrekten Nachkommastellen verdoppelt sich (näherungsweise) mit jedem Iterationsschritt.

5.2 Anwendung auf die Diodengleichung

Im Programm wird das Newton-Raphson-Verfahren auf die Maschengleichung (4.2) angewendet, wobei die gesuchte Variable die Diodenspannung Vd ist:

f(V~d~) = R·I~S~·[exp(V~d~/(n·V~T~)) − 1] + V~d~ − U~ges~ (5.3)

Die für das Verfahren benötigte Ableitung f′(Vd) nach Vd ergibt sich durch Anwendung der Kettenregel auf den Exponentialterm:

f′(V~d~) = d/dV~d~ { R·I~S~·exp(V~d~/(n·V~T~)) } + 1 (5.4)

f′(V~d~) = (R·I~S~)/(n·V~T~)·exp(V~d~/(n·V~T~)) + 1 (5.5)

Eingesetzt in (5.2) ergibt sich die im Quellcode implementierte Iterationsvorschrift:

V~d,k+1~ = V~d,k~ − [ R·I~S~·(exp(V~d,k~/(n·V~T~)) − 1) + V~d,k~ − U~ges~ ] / [ (R·I~S~)/(n·V~T~)·exp(V~d,k~/(n·V~T~)) + 1 ] (5.6)

Diese Vorschrift entspricht exakt den Zeilen f = R·(Is·(exp(Vd/(n·Vt))−1)) + Vd − Uges, df = R·Is·exp(Vd/(n·Vt))/(n·Vt) + 1 und Vd_new = Vd − f/df im Quellcode der Funktion solve_for_Vd.

Als Startwert wird Vd = 0 V verwendet. Das Verfahren bricht ab, sobald die Änderung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Iterationen kleiner als die Toleranz (1×10⁻⁶ V) ist, spätestens jedoch nach 1000 Iterationen (max_iterations). Da f′(Vd) wegen des stets positiven Exponentialterms und des additiven Terms +1 für alle reellen Vd strikt positiv und die Funktion f monoton steigend und konvex ist, konvergiert das Verfahren für diesen Anwendungsfall robust gegen die eindeutige Lösung.

6. Das Bisektionsverfahren

6.1 Allgemeine Herleitung

Das Bisektionsverfahren (Intervallhalbierungsverfahren) basiert auf dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen: Ist g(x) auf einem Intervall [a, b] stetig und besitzen g(a) und g(b) unterschiedliche Vorzeichen,

g(a)·g(b) \< 0 (6.1)

so existiert nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle x ∈ [a, b] mit g(x) = 0. Das Verfahren halbiert das Intervall iterativ: Man berechnet den Mittelpunkt

x~m~ = (a + b) / 2 (6.2)

und prüft das Vorzeichen von g(xm). Hat g(xm) dasselbe Vorzeichen wie g(a), liegt die Nullstelle im rechten Teilintervall, und man setzt a ∶= xm; andernfalls liegt sie im linken Teilintervall, und man setzt b ∶= xm. Dieses Vorgehen wird wiederholt, bis die Intervallbreite (b − a) eine vorgegebene Toleranz unterschreitet. Da sich die Intervallbreite in jedem Schritt halbiert,

(b~k~ − a~k~) = (b~0~ − a~0~) / 2^k^ (6.3)

ist die Konvergenz linear, aber unbedingt garantiert, solange die Vorzeichenbedingung (6.1) zu Beginn erfüllt ist -- im Gegensatz zum Newton-Verfahren, das bei ungünstigen Startwerten divergieren kann.

6.2 Anwendung zur Bestimmung des Widerstands R

Im Programm wird das Bisektionsverfahren in der Funktion finde_R_bisektion verwendet, um zu einem gewünschten Diodenstrom Id,soll denjenigen Widerstand R zu finden, der diesen Strom im Arbeitspunkt erzeugt. Hierzu wird die Hilfsfunktion

g(R) = I~d~(V~d~(R)) − I~d,soll~ (6.4)

betrachtet, wobei Vd(R) für jeden Widerstandswert R durch Lösen der Maschengleichung (4.2) mittels Newton-Raphson-Verfahren (Abschnitt 5) bestimmt wird und Id(Vd(R)) anschließend mit der Shockley-Gleichung (2.1) berechnet wird. Da bei festem Uges der Diodenstrom mit wachsendem Vorwiderstand R streng monoton fällt (ein größerer Widerstand reduziert den Spannungsabfall an der Diode und damit exponentiell den Diodenstrom), ist g(R) eine streng monoton fallende Funktion von R, und es existiert genau ein Widerstand R, für den g(R) = 0 gilt.

Das Suchintervall wird im Programm mit Rmin = 1 Ω und Rmax = 1 000 000 Ω initialisiert. In jedem Iterationsschritt wird

R~mid~ = (R~min~ + R~max~) / 2 (6.5)

berechnet und der zugehörige Diodenstrom Id,mid bestimmt. Es gilt dann die Fallunterscheidung:

• Ist Id,mid \> Id,soll (Widerstand zu klein, Strom zu hoch), so wird Rmin := Rmid gesetzt (rechte Hälfte des Intervalls wird beibehalten),

• andernfalls (Id,mid ≤ Id,soll) wird Rmax := Rmid gesetzt (linke Hälfte wird beibehalten).

Diese Schleife wird fortgesetzt, bis (Rmax − Rmin) kleiner als die Toleranz von 1×10⁻⁶ Ω ist; als Ergebnis wird der Mittelwert (Rmin + Rmax)/2 zurückgegeben. Anschließend wird im Hauptprogramm mit diesem R erneut der Arbeitspunkt (Vd, Id) über das Newton-Raphson-Verfahren bestimmt und zusammen mit der Last- und Diodenkennlinie sowie den Messpunkten grafisch dargestellt.

7. Gesamter Programmablauf

Zusammenfassend lässt sich der Ablauf des Programms in folgende Schritte gliedern:

1. Einlesen der Messdaten aus Diode.txt und Trennung in Rohdaten (alle Punkte) und Fitdaten (nur positive Ströme).

1. Nichtlineare Ausgleichsrechnung (Levenberg-Marquardt, Abschnitt 3.2) zur Bestimmung der Diodenparameter IS und n aus den Messdaten gemäß Shockley-Gleichung.

1. Grafische Darstellung der Approximation (Messpunkte als Kreuze, Fitkurve als rote Linie).

1. Interaktives Hauptmenü mit zwei Modi:

• Modus 1 -- Arbeitspunktbestimmung: Eingabe von R und Uges; Lösung der Maschengleichung (4.2) mittels Newton-Raphson-Verfahren (Abschnitt 5) liefert den Arbeitspunkt (Vd, Id).

• Modus 2 -- Widerstandssuche: Eingabe von Uges und gewünschtem Diodenstrom Id,soll; Bisektionsverfahren (Abschnitt 6) liefert den passenden Widerstand R, anschließend erneute Arbeitspunktbestimmung über Newton-Raphson.

1. Grafische Ausgabe: Diodenkennlinie Id(Vd) nach Shockley-Gleichung, Lastgerade IR(Vd) nach Gleichung (4.3), eingezeichneter Arbeitspunkt sowie die ursprünglichen Messpunkte zum visuellen Abgleich von Modell und Messung.

8. Zusammenfassung

Das Programm verbindet drei klassische numerische Verfahren der angewandten Mathematik mit einem physikalischen Halbleitermodell: Die nichtlineare Ausgleichsrechnung (Levenberg-Marquardt) extrahiert aus Messdaten die Diodenparameter IS und n. Das Newton-Raphson-Verfahren löst die durch die Kirchhoffsche Maschenregel entstehende transzendente Gleichung für die Diodenspannung im Arbeitspunkt und nutzt dabei die quadratische Konvergenz in der Nähe der Lösung aus. Das Bisektionsverfahren schließlich invertiert die (im relevanten Bereich) monotone Beziehung zwischen Vorwiderstand und Diodenstrom, um gezielt einen gewünschten Arbeitspunkt einzustellen, und garantiert dabei -- anders als das Newton-Verfahren -- globale Konvergenz innerhalb des gewählten Suchintervalls. Durch das Zusammenspiel dieser Verfahren lässt sich die Diodenschaltung sowohl analytisch verstehen als auch numerisch vollständig und robust auswerten.

VORLESUNGSMANUSKRIPT

LED-Kennlinien---Erweiterte Shockley-Gleichung

Arbeitspunktberechnung mit dem Newton-Raphson-Verfahren

-- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lernziele: Die Shockley-Gleichung herleiten und ihre Grenzen kennen --- die Erweiterung für reale LEDs (insbes. blaue GaN-LEDs) physikalisch begründen --- verstehen, warum V(I) statt I(V) gewählt wird und was das für den Newton-Raphson-Ansatz bedeutet.

-- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 Die ideale Shockley-Gleichung

1.1 Herleitung und Formel

William Shockley leitete 1949 aus dem Drift-Diffusions-Modell des p-n-Übergangs die Strom-Spannungs-Kennlinie ab. Der Strom folgt dem Überschuss an Minoritätsträgern, die durch Diffusion den Übergang passieren:

------------- -------------------------------------------------- ----------------------------- (GL. 1) I_D = I_S · [ exp( V_D / (n·V_T) ) − 1 ] Ideale Shockley-Gleichung

V_T = k·T / q ≈ 25,85 mV bei 300 K Temperaturspannung ------------- -------------------------------------------------- -----------------------------

-------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Symbol Bedeutung und typischer Wert (blaue GaN-LED)

I_S Sättigungssperrstrom. Thermisch generiert. Für GaN: 10⁻²⁰ ... 10⁻¹⁶ A (wegen großer Bandlücke extrem klein).

n Idealitätsfaktor. n=1: reine Diffusion (ideal). n=2: RLZ-Rekombination dominiert. Bei GaN: 1,8 ... 3,5.

V_T Temperaturspannung k·T/q. Bei 300 K = 25,85 mV. Steigt linear mit der absoluten Temperatur. -------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Für V_D ≫ V_T vereinfacht sich die Gleichung zur reinen Exponentialfunktion. Im halblogarithmischen I-V-Diagramm ergibt das eine Gerade mit der Steigung 1/(n·V_T·ln 10) ≈ 1 Dekade / (n · 59,5 mV). Diese „60-mV-Regel“ ist eine wichtige Faustregel.

1.2 Wo das Modell versagt --- und warum

Die ideale Gleichung setzt voraus: keine Rekombination in der Raumladungszone, keine ohmschen Bahnwiderstände, reine Minoritätssträgerinjektion. Bei realen LEDs sind alle drei Annahmen verletzt:

--------------------- -------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------- Effekt Physikalische Ursache Konsequenz im Modell

n \> 1 Strahlende Rekombination + SRH-Rekombination in der RLZ (bei GaN: Auger-Terme) n als freier Parameter (1--5)

Kennlinie knickt ab Ohmscher Spannungsabfall an Bahnwiderständen, ITO-Elektrode, Bonddrähten Serienwiderstand R_S addieren

I_S extrem klein Große Bandlücke von GaN (3,4 eV) → I_S ∼ exp(−E_g/kT) log₁₀(I_S) als Fitparameter --------------------- -------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------

2 Die erweiterte Shockley-Gleichung

2.1 Ersatzschaltbild und Gleichung

Das erweiterte Modell ergänzt die ideale Diode durch einen Serienwiderstand R_S, der alle ohmschen Verluste zwischen Klemme und p-n-Übergang zusammenfasst. Die Klemmenspannung setzt sich additiv zusammen:

------------- -------------------------------------------------- --------------------------- (GL. 2) V_D = n·V_T·ln( I_D/I_S + 1 ) + I_D·R_S Erweiterte Shockley-Gl.

└──────────────────────┴──────────────────

ideale Diode (Shockley) Serienanteil ------------- -------------------------------------------------- ---------------------------

Der Serienterm I_D·R_S ist bei kleinen Strömen vernachlässigbar, wächst aber linear und dominiert bei hohen Strömen. Das erklärt das charakteristische „Abknicken“ der LED-Kennlinie im linearen I-V-Diagramm.

3 Warum V(I) statt I(V)? --- Eine entscheidende Modellwahl

3.1 Die zwei Formulierungen im Vergleich

GL. 2 ist explizit in V --- gegeben I berechnen wir V direkt. Die inverse Formulierung I(V) ist dagegen implizit: I taucht sowohl linear als auch im Argument des Logarithmus auf und lässt sich nicht analytisch auflösen.

------------ ------------------------------------------------------ ---------------------------------------- V(I) ✔ V_D = n·V_T·ln(I_D/I_S + 1) + I_D·R_S explizit, direkt berechenbar

I(V) ✘ I_D = I_S·[ exp((V_D − I_D·R_S)/(n·V_T)) − 1 ] implizit, I steht auf beiden Seiten! ------------ ------------------------------------------------------ ----------------------------------------

Die implizite Form I(V) existiert zwar (mit der Lambert-W-Funktion lösbar), ist aber für einen Kurvenfit ungeeignet. Warum?

3.2 Numerische Begründung für die V(I)-Wahl

scipy.curve_fit minimiert die Summe der quadrierten Abweichungen in der abhängigen Variable:

--------------- ---------------------------------------------------------- ---------------------- V(I)-Fit: min Σ [ V_gemessen(i) − V_modell(I_gemessen(i)) ]² Residuen in Volt

I(V)-Fit: min Σ [ I_gemessen(i) − I_modell(V_gemessen(i)) ]² Residuen in Ampere --------------- ---------------------------------------------------------- ----------------------

Zusätzlich bedeutet eine kleine Spannungänderung ΔV bei einer Exponentialfunktion eine sehr große Stromänderung. Der Fehler propagiert asymmetrisch --- beim V(I)-Fit ist diese Asymmetrie unkritisch, beim I(V)-Fit verursacht sie numerische Instabilität.

3.3 Konsequenz: Zwei verschiedene Newton-Raphson-Probleme

Die Wahl der Formulierung bestimmt direkt, wie wir später die Schaltungsgleichung lösen --- und damit den Ansatz für das Newton-Raphson-Verfahren.

------------------- -------------------------------------- ------------------------------------------ Ansatz V(I) ✔ (gewählt) Ansatz I(V) ✘ (Alternative)

Gesucht bei Fit Parameter aus V=f(I) Parameter aus I=f(V, I) --- implizit!

Fit-Residuen Fehler in Volt → gut konditioniert Fehler in Ampere → schlecht gewichtet

Newton f-Funktion f(I_D) = V_D(I_D) + I_D·R − U_ges f(V_D) = I_D(V_D)·R − (U_ges − V_D)

Ableitung f\' analytisch einfach (s. Abschn. 4) zusätzl. implizite Differentiation nötig

Startwert I_D aus Kurzschlussnäherung → robust V_D-Schätzung unsicherer ------------------- -------------------------------------- ------------------------------------------

Im Python-Programm wird konsequent der V(I)-Ansatz gewählt: Das Modell liefert V aus I, der Fit minimiert Spannungsresiduen, und auch das Newton-Raphson-Verfahren formuliert die Fehlerfunktion in I als Unbekannte.

4 Newton-Raphson-Verfahren zur Arbeitspunktberechnung

4.1 Schaltungsgleichung (Maschenregel)

Im Reihenstromkreis (Spannungsquelle U_ges, Vorwiderstand R, LED) liefert die Maschenregel:

------------- -------------------------------------------------- ---------------- (GL. 3) U_ges = V_R + V_D = I_D·R + V_D(I_D) Maschenregel

------------- -------------------------------------------------- ----------------

Einsetzen des V(I)-Modells (GL. 2) ergibt die zu lösende Gleichung. Da V_D(I_D) nichtlinear ist, kann I_D nicht direkt isoliert werden --- wir suchen die Nullstelle der Fehlerfunktion:

------------- ---------------------------------------------------------------- ------------------ (GL. 4) f(I_D) = n·V_T·ln(I_D/I_S + 1) + I_D·(R + R_S) − U_ges = 0 Fehlerfunktion

------------- ---------------------------------------------------------------- ------------------

4.2 Newton-Raphson-Iteration

Das Newton-Raphson-Verfahren approximiert f(I_D) lokal durch die Tangente und bestimmt deren Nullstelle als nächsten Iterationspunkt:

------------- ------------------------------------------------------------- -------------------- (GL. 5) I_D^(k+1) = I_D^(k) − f( I_D^(k) ) / f\'( I_D^(k) ) Newton-Iteration

------------- ------------------------------------------------------------- --------------------

Die Ableitung f\'(I_D) wird analytisch berechnet --- das ist ein wesentlicher Vorteil der V(I)-Formulierung. Beim I(V)-Ansatz wäre eine implizite Differentiation nötig (I taucht auf beiden Seiten auf):

------------- -------------------------------------------------- ------------------------- (GL. 6) f\'(I_D) = n·V_T / (I_D + I_S) + R + R_S Analytische Ableitung

└────────────────┴─────────────────

Dioden-Differenzwiderstand ohmscher Anteil ------------- -------------------------------------------------- -------------------------

Die Ableitung ist immer positiv (alle Terme \> 0), was gewährleistet, dass das Verfahren in die richtige Richtung schreitet --- es gibt keine Nullstelle der Ableitung und damit keine Divergenz für I_D \> 0.

4.3 Startwert und Konvergenz

Als Startwert wird der genäherte Kurzschlussstrom verwendet:

------------- -------------------------------------------------- ---------------------------------------- (GL. 7) I_D^(0) = U_ges / ( R + R_S + 1 ) Startwert (1Ω ≈ Diode bei kleinem I)

------------- -------------------------------------------------- ----------------------------------------

Newton-Raphson konvergiert quadratisch: Die Anzahl korrekter Dezimalstellen verdoppelt sich pro Iteration. Typisch werden 5--10 Iterationen für eine Genauigkeit von 10⁻⁷ A benötigt.

4.4 Grafische Interpretation: Lastgerade

Die Arbeitsgleichung (GL. 3) lässt sich umschreiben zu V_D = U_ges − I_D·R. Das ist die Gleichung einer Geraden im I-V-Diagramm --- der Lastgeraden:

------------- -------------------------------------------------- -------------- (GL. 8) V_D = U_ges − I_D · R Lastgerade

I_D = 0 ➤ V_D = U_ges (Leerlauf-Punkt)

V_D = 0 ➤ I_D = U_ges/R (Kurzschluss-Punkt) ------------- -------------------------------------------------- --------------

Der Arbeitspunkt ist der Schnittpunkt von LED-Kennlinie V_D(I_D) und Lastgeraden. Das Newton-Raphson-Verfahren findet diesen Schnittpunkt numerisch, indem es iterativ die Differenz beider Kurven --- also f(I_D) --- zu null treibt.

5 Umsetzung im Python-Programm

5.1 Kernfunktionen und ihre Aufgaben

----------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- Funktion / Abschnitt Aufgabe und Bezug zur Theorie

extended_shockley_voltage(I, ...) Berechnet V_D aus I_D nach GL. 2 --- die V(I)-Formulierung

curve_fit(...) Fittet log₁₀(I_S), n, R_S an Messdaten. Minimiert Fehler in V (nicht in I)

solve_for_Id(...) Newton-Raphson: Löst GL. 4 iterativ. Nutzt GL. 5 und GL. 6

Diagramm 1 Gesamtkennlinie: alle Messpunkte + Fit-Kurve aus GL. 2

Diagramm 2 Arbeitspunkt: Kennlinie + Lastgerade (GL. 8) + AP-Markierung ----------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------

5.2 Warum log₁₀(I_S) statt I_S direkt fitten?

I_S liegt für blaue GaN-LEDs im Bereich 10⁻²⁰ A. curve_fit würde versuchen, diesen Wert direkt zu optimieren --- bei Parameterschritten im Bereich des Absolutwerts extrem schlechte Konditionierung. log₁₀(I_S) liegt dagegen im handhabbaren Bereich −20 bis −10, und ein Schritt von 0,1 entspricht einer Multiplikation von I_S mit 10⁰ʸ¹ ≈ 1,26 --- physikalisch sinnvoll.

5.3 Korrekturen der verbesserten Version

------------------------------------ -------------------------------------------------- Problem (Original) Korrektur

except: pass --- alle Fehler stumm except ValueError mit Zeilennummer-Ausgabe

Keine Dateiexistenzprüfung os.path.isfile() + sys.exit(1) mit Meldung

I_D = 0 als gültig akzeptiert Prüfung I_D ≤ 0 mit Warnung und continue

Kein sauberer Exit \'q\' beendet Schleife, plt.close() nach Plot

Division durch df ≈ 0 möglich Guard: if abs(df) \< 1e-30 → return None ------------------------------------ --------------------------------------------------

6 Übungsaufgaben

Aufgabe 1 --- Idealitätsfaktor aus Kennlinie

Gegeben: Eine blaue LED zeigt im halblogarithmischen I-V-Diagramm eine Steigung von 1 Dekade / 120 mV. Berechnen Sie n bei T = 25 °C.

-- --------------------------------------------------------------------------------- Hinweis: 1 Dekade / 120 mV ➤ n = 120 mV / (V_T · ln 10) = 120 mV / 59,5 mV = ??

-- ---------------------------------------------------------------------------------

Aufgabe 2 --- Vorwiderstand dimensionieren

Gegeben: U_ges = 5 V, blaue LED mit V_F = 3,1 V bei I_F = 20 mA, R_S = 20 Ω.

Aufgabe: (a) Berechnen Sie R aus der Lastgeraden-Gleichung. (b) Welche Verlustleistung entsteht an R? (c) Welcher Normwert (E12-Reihe) wäre zu wählen?

Aufgabe 3 --- Newton-Raphson per Hand

Gegeben: n = 2,0, I_S = 10⁻²⁰ A, R_S = 20 Ω, R = 100 Ω, U_ges = 5 V, V_T = 25,85 mV.

Aufgabe: Führen Sie 3 Iterationen des Newton-Raphson-Verfahrens durch. Startwert: I_D⁻⁰ = U_ges / (R + R_S + 1) ≈ 41,0 mA. Tragen Sie f(I_D), f\'(I_D) und I_D⁻ⁿ⁺¹ tabellarisch ein.

Aufgabe 4 --- Vergleich V(I) vs. I(V) beim Fit

Aufgabe: Erklären Sie in eigenen Worten, warum ein Fit mit I(V) als abhängiger Variable bei LED-Messdaten zu schlechten Ergebnissen führt. Welche Messpunkte würden übergewichtet, welche vernachlässigt?

7 Zusammenfassung der Kernaussagen

Literatur

1. Shockley, W. (1949): The Theory of p-n Junctions. Bell System Technical Journal 28(3), 435--489.

1. Sze, S.M., Ng, K.K. (2007): Physics of Semiconductor Devices. 3rd ed., Wiley.

1. Schubert, E.F. (2018): Light-Emitting Diodes. 3rd ed., Cambridge University Press.

1. Press, W.H. et al. (2007): Numerical Recipes. 3rd ed., Cambridge. [Kap. 9: Root Finding, Kap. 15: Curve Fitting]

Vorlesungsmanuskript

Halbleiter-Elektronik

Bipolare Transistoren: Erweitertes SPICE-Modell

Prof. Dr.-Ing. Ralph Wystup M.Sc.

1 Motivation und Lernziele

Das ideale Shockley-Modell des bipolaren Transistors (BJT) beschreibt das Bauelement mit nur wenigen Parametern und ist hervorragend geeignet, um das grundlegende Verhalten zu verstehen. Für die Simulation realer Schaltungen -- insbesondere mit SPICE-Simulatoren wie LTspice oder ngspice -- werden jedoch deutlich differenziertere Modelle benötigt. Das bekannteste davon ist das Gummel-Poon-Modell, das dem Standard-SPICE-Transistormodell zugrunde liegt.

In dieser Vorlesung analysieren wir Schritt für Schritt ein Python-Programm, das die wichtigsten Erweiterungen des Standardmodells implementiert und den Transistor-Arbeitspunkt numerisch berechnet.

2 Physikalische Grundlagen des bipolaren Transistors

2.1 Das ideale Dioden-Exponentialgesetz

Der Kollektorstrom eines npn-Transistors im Normalbetrieb (Vorwärtsbetrieb, aktiver Bereich) folgt aus der Shockley-Gleichung. Der Sättigungsstrom *I*ₛ (SPICE: IS) beschreibt den Diffusionsstrom bei vollständiger Verarmung der Basis:

mit

und

Die Temperaturspannung Vᴛ ist gegeben durch:

2.2 Stromverstärkung und Basisstrom

Im idealen Modell ist die DC-Stromverstärkung *β*ₛ (SPICE: BF) konstant. Der Basisstrom ergibt sich damit zu:

In der Praxis ist β jedoch strom-, temperatur- und spannungsabhängig. Das Gummel-Poon-Modell und die im Programm implementierten Erweiterungen bilden diese Abhängigkeiten quantitativ ab.

3 Erweiterte SPICE-Parameter -- Herleitung und Bedeutung

3.1 Early-Effekt am Kollektor (VAF)

3.1.1 Physikalische Ursache

Bei zunehmendem *V*ᴄᴇ weitet sich die Raumladungszone an der Kollektor-Basis-Sperrschicht aus. Dadurch wird die effektive Basisbreite *W*ᴃ schmaler (Basisbreitenmodulation). Da die Steigung des Trägerprofils in der Basis zunimmt, steigt der Kollektorstrom an. Dieser Effekt heißt Early-Effekt (nach James Early, 1952).

3.1.2 Geometrische Interpretation

Extrapoliert man die Ausgangskennlinien Iᴄ(Vᴄᴇ) im aktiven Bereich nach links bis zur Vᴄᴇ-Achse, schneiden sie sich (näherungsweise) alle im Punkt *V*ᴄᴇ = −Vₐ. Dieser Schnittpunkt definiert die Early-Spannung Vₐ (SPICE: VAF). Je größer Vₐ, desto flacher die Kennlinien und desto geringer der Early-Effekt.

3.1.3 Ausgangsleitwert

Der differentielle Ausgangsleitwert (Kleinsignal) ergibt sich durch Ableiten:

Ausgehend von der Early‑Gleichung:

leitet sich der Ausgangsleitwert ab:

Da der Ausdruck vor 1/V_A genau der Arbeitspunkt‑Kollektorstrom ist, gilt:

Exakt ist dabei

denn I_C enthält bereits den Faktor (1+V_CE/V_A). Der relative Abstand zwischen Näherung und exaktem Ausdruck ist genau V_CE/V_A: bei V_A=146 V und V_CE=5 V sind das 3,4 %, bei V_A=95 V und V_CE=12,5 V schon 13,2 %.

3.2 Basis-Early-Effekt (VAR / VAB)

Analog zum Kollektor-Early-Effekt existiert ein Early-Effekt auf den Basisstrom. Durch die Basisbreitenmodulation verändert sich nicht nur Iᴄ, sondern auch Iᴃ. SPICE modelliert dies mit der Basis-Early-Spannung (SPICE: VAR, auch Vₐᴃ oder Vₐᴃ genannt):

SPICE: VAR (Reverse Early Voltage, Einfluss auf den Basisstrom) Typischer Wert: V_AB = 100… 500 V

Für Vₐᴃ → ∞ verschwindet dieser Effekt (idealer Basisstrom). In der Praxis ist Vₐᴃ meist größer als Vₐ, d. h. der Basis-Early-Effekt ist schwächer als der Kollektor-Early-Effekt.

3.3 Hochstrom-Effekt: Beta-Abfall (IKF)

{width=95%}

3.3.1 Ursache

Bei sehr hohen Kollektorströmen (Iᴄ \> IᴊF, dem \"Knickstrom\") beginnt die injizierte Trägerkonzentration in der Basis mit der Dotierungskonzentration vergleichbar zu werden. Es tritt Hochinjektion auf. Zwei Effekte reduzieren β:

• Webster-Effekt: Bei Hochinjektion sinkt das Verhältnis Iᴄ/Iᴃ, da der Rekombinationsstrom in der Basis überproportional zunimmt.

• Kirk-Effekt: Bei sehr hohen Stromdichten verlagert sich die Kollektorraumladungszone in die epitaxiale Schicht (Basisausweitung).

3.3.2 Modell nach Webster / Gummel-Poon

Das Gummel-Poon-Modell beschreibt den Hochstrom-Abfall von β durch:

3.3.3 Herleitung der Formel

Ausgangspunkt ist die allgemeine Ladungssteuerungsgleichung des Gummel-Poon-Modells. Die normierte Basisladung Qᴃ/Qᴃ₀ lautet näherungsweise:

3.4 Interner Basiswiderstand (RBM)

3.4.1 Physikalische Ursache

Die Basiszone hat eine endliche laterale Ausdehnung. Der Basisstrom muss durch den Bahnwiderstand des Basisgebietes fließen. Dieser interne Basiswiderstand Rᴃ,int (SPICE: RBM) bewirkt einen ohmschen Spannungsabfall, der die effektiv wirkende Basis-Emitter-Spannung reduziert:

Da Iᴃ von Vᴃᴇ,eff und Vᴃᴇ,eff von Iᴃ abhängt, entsteht eine implizite Rückkopplung. Im Programm wird diese Kopplung bei jeder Auswertung von F(Vᴃᴇ, Vᴄᴇ) konsistent berücksichtigt.

3.4.2 Ableitung der effektiven Spannung nach V_BE

Für die Jacobi-Matrix wird die Ableitung (dV_BE,eff)/(dV_BE) benötigt. Mit Iᴃ = (Vᴃᴃ − Vᴃᴇ)/Rᴃ:

4 SPICE-Parameterübersicht

Die folgende Tabelle fasst alle im Programm verwendeten Parameter zusammen:

SPICE-Parameter Symbol Wert Bedeutung --------------------- ------------ ----------- ---------------------------------------------------- IS Iₛ 1×10⁻¹³ A Sättigungsstrom (Diffusionsstrom bei Verarmung)

BF βₛ 200 Kleinsignal-Stromverstärkung (Forward Beta)

NF n 1.0 Idealfaktor des Emitterübergangs

VAF Vₐ 100 V Kollektor-Early-Spannung (Ausgangskennl. Steigung)

VAR Vₐᴃ 200 V Basis-Early-Spannung (Einfluss auf Iᴃ)

IKF IᴊF 0.5 A Knickstrom: Beginn des β-Abfalls bei Hochstrom

RBM Rᴃ,int 10 Ω Interner (minimaler) Basisbahnwiderstand ---------------------------------------------------------------------------------------------------

5 Die untersuchte Schaltung

5.1 Fixed-Bias-Schaltung

Das Programm analysiert eine Fixed-Bias-Schaltung (einfache Basisvorspannung) mit npn-Transistor:

V_CC = 25 V (Versorgungsspannung) ----------------------------------------------------------------------- V_BB = V_CC (Basisspannung = V_CC, fixed bias)

R_C = 100 Ohm (Kollektorwiderstand)

R_B = variabel (wird durch Bisektionsverfahren optimiert) -----------------------------------------------------------------------

5.2 Maschengleichungen

Aus den zwei unabhängigen Maschen ergeben sich die Gleichungen:

Basiskreis

Kollektorkreis

6 Das nichtlineare Gleichungssystem F(V_BE, V_CE) = 0

6.1 Aufstellung

Gesucht sind die zwei Unbekannten Vᴃᴇ und Vᴄᴇ, die gleichzeitig die Transistorkennlinie und die Lastgeraden-Gleichungen erfüllen. Man stellt zwei Residuen Gleichungen auf:

Gleichung 1 -- Basiskreis (mit Basis-Early-Effekt)

Gleichung 2 -- Kollektorkreis (mit Kollektor-Early-Effekt)

6.2 Kopplung der Gleichungen

Die beiden Gleichungen sind über Vᴃᴇ,eff (enthält Iᴃ, der von Vᴃᴇ abhängt) und über βᴇḟḟ (enthält Iᴄ, der von Vᴄᴇ abhängt) miteinander verkoppelt. Ein geschlossener analytischer Ausdruck existiert nicht -- numerische Lösung ist notwendig.

7 Newton-Raphson-Verfahren

7.1 Grundprinzip

Das Newton-Raphson-Verfahren ist das Standard-Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme in SPICE-Simulatoren. Für ein System F(x) = 0 mit x ∈ ℝⁿ lautet die Iterationsvorschrift:

Praktisch wird nicht die inverse Jacobi-Matrix berechnet, sondern das lineare Gleichungssystem:

J(xₖ) · Δx = −F(xₖ) gelöst (im Programm: numpy.linalg.solve):

7.2 Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix J enthält alle partiellen Ableitungen von F = [f₁, f₂]ᵀ nach den Unbekannten [Vᴃᴇ, Vᴄᴇ]ᵀ:

Herleitung der Jacobi-Elemente

Element J₁₁ = ∂f₁/∂Vᴃᴇ:

Vollständig ausgeschriebene Form von f₁und ∂ f₁/∂ V_BE

Funktion f₁

Ableitung ∂ f₁/∂ V_BE

Element J₁₂ = ∂f₁/∂Vᴄᴇ:

Ausgehend von:

Die einzige Abhängigkeit von V_CEsteckt im Faktor:

Daher:

Element J₂₁ = ∂f₂/∂Vᴃᴇ:

Ausgehend von:

Die Abhängigkeit von V_BEsteckt ausschließlich im Exponenten über

Daher:

Mit:

Element J₂₂ = ∂f₂/∂Vᴄᴇ:

7.3 Konvergenzverhalten

Das Newton-Raphson-Verfahren konvergiert bei guten Startwerten quadratisch: der Fehler wird bei jedem Schritt etwa quadriert. Für den BJT-Arbeitspunkt ist der Startwert [Vᴃᴇ, Vᴄᴇ] = [0.65 V, Vᴄᴄ/2] meist ausreichend, da der Arbeitspunkt stets in der Nähe dieser Werte liegt.

8 Bisektionsverfahren zur Arbeitspunkt-Einstellung

8.1 Aufgabenstellung

Ziel: Finde Rᴃ so, dass der Transistor im optimalen Arbeitspunkt arbeitet. Als optimaler Arbeitspunkt wird Vᴄᴇ = Vᴄᴄ/2 gewählt (maximaler symmetrischer Aussteuerungsbereich bei Kleinsignal-Verstärkern).

8.2 Monotonieeigenschaft

Die Abhängigkeit Vᴄᴇ(Rᴃ) ist monoton: Eine Erhöhung von Rᴃ reduziert Iᴃ, damit Iᴄ, damit den Spannungsabfall über Rᴄ, und Vᴄᴇ steigt. Diese Monotonie ist die Voraussetzung für das Bisektionsverfahren.

8.3 Algorithmus

Der Bisektionsalgorithmus arbeitet wie folgt:

1. Initialisierung: R_B_min = 10 kOhm, R_B_max = 500 kOhm ----------------------------------------------------------------------- 2. Mittelpunkt: R_B_try = (R_B_min + R_B_max) / 2

3. Newton-Raphson lösen -\> V_CE(R_B_try)

4. Abbruchbedingung: |V_CE - V_CC/2| \<= tol_rel * V_CC/2

-\> fertig

5. Intervall halbieren:

V_CE \< V_CC/2 =\> R_B_min = R_B_try (R_B muss grösser werden)

V_CE \> V_CC/2 =\> R_B_max = R_B_try (R_B muss kleiner werden)

6. Weiter mit Schritt 2 (max. 30 Iterationen) -----------------------------------------------------------------------

Die Toleranz ist mit tol_rel = 5 % definiert, d. h. Vᴄᴇ muss im Bereich [0.475 · Vᴄᴄ, 0.525 · Vᴄᴄ] liegen. Das Verfahren konvergiert garantiert (da monoton), aber nur linear (log₂ der Fehler nimmt pro Schritt um 1 ab).

9 Analyse des Python-Programms

9.1 Modulstruktur

Das Programm ist in folgende Abschnitte gegliedert:

Programmteil Funktion --------------------------------- ------------------------------------------------------ Konstanten / Parameter Physikalische und SPICE-Parameter, Schaltungswerte

beta_eff(I_C) Webster-Formel: stromabhängige Verstärkung

V_BE_eff(V_BE, I_B) Effektive Basis-Emitter-Spannung nach R_B,int-Abfall

F(vars) Residuenvektor f1, f2 des nichtlinearen GLS

J(vars) Jacobi-Matrix (analytisch berechnet)

newton_method(guess) Newton-Raphson-Iteration (max. 100 Schritte)

finde_R_B_fuer_ap(V_CC) Bisektionsverfahren: Suche nach optimalem R_B

plot_kennlinie(R_B, V_BE, V_CE) Darstellung Kennlinie, Lastgerade, Arbeitspunkt

Hauptprogramm (__main__) Ausgabe Parameter, Aufruf Bisektion, Ergebnisausgabe ----------------------------------------------------------------------------------------

9.2 Kernfunktion F(vars) -- Residuenvektor

Diese Funktion berechnet die beiden Gleichungsfehler bei gegebenen [Vᴃᴇ, Vᴄᴇ]:

def F(vars): ----------------------------------------------------------------------- V_BE, V_CE = vars

I_B = (V_BB - V_BE) / R_B # Basisstrom aus Maschengleichung

I_C = (V_CC - V_CE) / R_C # Kollektorstrom aus Lastgerade

V_eff = V_BE_eff(V_BE, I_B) # Spannungsabfall an R_B,int

exp_term = np.exp(V_eff/(n*V_T)) # Exponentialterm

b_eff = beta_eff(I_C) # Webster: beta-Abfall

eq1 = I_B - (I_S/b_eff)exp_term(1 + V_CE/V_AB) # Basisgleichung

eq2 = I_C - I_Sexp_term(1 + V_CE/V_A) # Kollektorgleichung

return np.array([eq1, eq2]) -----------------------------------------------------------------------

9.3 Kenngrößen am Arbeitspunkt

Nach Konvergenz des Algorithmus werden folgende Kenngrößen ausgegeben:

R_B : Optimierter Basisvorwiderstand (Ergebnis der Bisektion) ----------------------------------------------------------------------- V_BE : Klemmen-Basis-Emitter-Spannung

V_BE,eff : Effektive Basis-Emitter-Spannung (nach R_B,int-Korrektur)

V_CE : Kollektor-Emitter-Spannung am Arbeitspunkt

I_B : Basisstrom am Arbeitspunkt

I_C : Kollektorstrom am Arbeitspunkt

beta_F : Nominale Stromverstärkung

beta_eff : Tatsächliche Stromverstärkung (unter Einfluss von IKF) -----------------------------------------------------------------------

10 Numerisches Beispiel und Ergebnisinterpretation

10.1 Erwartete Ausgabe

Für die gegebenen Parameter ergibt sich näherungsweise:

SPICE-Parameter Symbol Wert Bedeutung --------------------- --------------------- -------------------------- ---------------------------------------- VAF = 100 V Ausgangswiederstand r_CE ≈ V_A/I_C Endliche Steigung in Ausgangskennlinie

VAR = 200 V Basis-Early I_B leicht V_CE-abhängig Geringer als Kollektor-Early-Effekt

IKF = 0.5 A Webster-Knickstrom β_eff ≈ β_F I_C \<\< 0.5 A, kaum Beta-Abfall

RBM = 10 Ω Basis-R-Abfall ΔV_BE,eff = I_B*R_B,int Korrekturen im mV-Bereich ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10.2 Arbeitspunktlage und Lastgerade

Die Lastgerade verbindet die Punkte (Vᴄᴇ = 0, Iᴄ = Vᴄᴄ/Rᴄ = 250 mA) und (Vᴄᴇ = Vᴄᴄ = 25 V, Iᴄ = 0). Der optimale Arbeitspunkt liegt bei Vᴄᴇ = 12.5 V, Iᴄ = 125 mA. Dies entspricht der Mitte der Lastgeraden und ermöglicht den maximalen symmetrischen Aussteuerungsbereich.

11 Vergleich: Ideales Modell vs. erweitertes Modell

Eigenschaft Ideales Modell Erweitertes Modell (Programm) ------------------- ------------------------- ----------------------------------- Early-Effekt I_C keiner (I_C konstant) I_C*(1 + V_CE/V_A) [VAF]

Early-Effekt I_B keiner I_B*(1 + V_CE/V_AB) [VAR]

beta-Abfall beta = const. beta_eff(I_C) [IKF]

Basiswiderstand keiner V_BE,eff = V_BE-I_B*RBM

Arbeitspunkt analytisch berechenbar Newton-Raphson (iterativ)

Genauigkeit gut für Orientierung SPICE-Niveau ---------------------------------------------------------------------------------

13 Zusammenfassung

Literaturhinweise

Weiterführende Literatur zur Vertiefung:

• Sedra/Smith: Microelectronic Circuits -- Grundlagenwerk, BJT-Modellierung in Kapitel 5/6

• Razavi: Design of Analog CMOS Integrated Circuits -- moderne Sichtweise auf BJT-Parameter

• Gummel/Poon (1970): An integral charge control model of bipolar transistors, Bell System Technical Journal 49(5) -- Originalpublikation

• Getreu (1978): Modeling the Bipolar Transistor -- umfassende Darstellung der SPICE-BJT-Modelle

• LTspice Dokumentation: SPICE BJT model parameters (VAF, VAR, IKF, RBM, ...) -- Referenz für alle Parameterdefinitionen

Vorlesungsmanuskript

Halbleiter-Elektronik

Von der Kennlinienmessung zur Arbeitspunktberechnung:

SPICE-Parameterextraktion am Beispiel BC547

Lehrstuhl Halbleiterelektronik | Hochschule | 2026

1 Einleitung: Von der Messung zum Modell

In der vorangegangenen Einheit wurde das erweiterte SPICE-Modell des Bipolartransistors (Gummel-Poon mit Early-Effekt, Hochstrom-Beta-Abfall und internem Basiswiderstand) ausschließlich mit vorgegebenen Parametern behandelt. In dieser Einheit schließen wir die Lücke zwischen Theorie und Praxis: Wir bestimmen alle SPICE-Parameter aus realen Messungen mit dem Kennlinienschreiber (Curve Tracer) und speisen sie in das Python-Modell ein, um den Arbeitspunkt einer konkreten Schaltung zu berechnen.

2 Der Kennlinienschreiber als Messinstrument

2.1 Funktionsprinzip

Ein Kennlinienschreiber (Curve Tracer) legt an die Anschlüsse eines Transistors definierte Spannungs- bzw. Stromrampen an und zeichnet den resultierenden Stromfluss auf. Für den BJT werden typischerweise zwei Messmodi benötigt:

• Basis-Emitter-Kennlinie I_B(V_BE) bzw. I_C(V_BE): Basis wird spannungs- oder stromgesteuert durchgefahren, V_CE wird konstant gehalten (z. B. V_CE = 5 V, um den aktiven Bereich sicherzustellen).

• Ausgangskennfeld I_C(V_CE) bei I_B = const.: Für mehrere feste Basisstrom-Stufen wird V_CE von 0 V bis zur Versorgungsspannungsgrenze durchgefahren.

Wichtig ist, dass der Kennlinienschreiber die Selbsterwärmung des Transistors während der Messung gering hält (kurze Pulsmessung oder Strombegrenzung), da sich sonst I_S und damit alle abgeleiteten Parameter mit der Messzeit verschieben (thermische Drift).

2.2 Benötigte Messreihen

Für die vollständige Parameterextraktion werden drei Messreihen benötigt:

Messreihe Bedingung Liefert Parameter ------------------- --------------------------------------------------------------- ----------------------- Gummel-Plot I_C, I_B vs. V_BE bei V_CE = const. (z. B. 5 V), log. I-Achse I_S, NF, BF, IKF

Ausgangskennfeld I_C vs. V_CE bei mehreren I_B-Stufen, V_CE = 0...V_CC VAF (Early-Spg.)

Eingangskennlinie V_BE vs. I_B bei festem V_CE, hoher Auflösung im Knick RBM (Basis-R) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Eine vierte Größe, die Basis-Early-Spannung V_AB (VAR), ist messtechnisch deutlich aufwendiger zu bestimmen (sie erfordert die V_CE-Abhängigkeit von I_B bei konstantem V_BE mit sehr hoher Strommessauflösung) und wird in der Praxis häufig aus Datenblattangaben übernommen oder per Faustregel mit V_AB ≈ 2*V_AF abgeschätzt, da sie für die meisten Schaltungsanalysen einen vernachlässigbar kleinen Einfluss hat.

3 Parameterextraktion 1: Sättigungsstrom I_S und Idealfaktor n

3.1 Der Gummel-Plot

Der Gummel-Plot zeigt I_C und I_B halblogarithmisch über V_BE bei konstantem V_CE. Im mittleren Strombereich (weder Leckströme bei sehr kleinem I_C, noch Hochinjektion bei sehr großem I_C) verläuft I_C(V_BE) als ideale Exponentialfunktion und erscheint im halblogarithmischen Diagramm als Gerade:

I_C = I_S exp( V_BE / (n V_T) )

=\> ln(I_C) = ln(I_S) + V_BE / (n * V_T)

Geradengleichung: y = m*x + b mit y = ln(I_C), x = V_BE

Steigung: m = 1 / (n * V_T)

Achsenabschnitt: b = ln(I_S) -----------------------------------------------------------------------

3.2 Auswertung über zwei Messpunkte

In der Praxis wertet man zwei Punkte (V_BE1, I_C1) und (V_BE2, I_C2) aus dem linearen Bereich des Gummel-Plots aus:

n = (V_BE2 - V_BE1) / ( V_T * ln(I_C2 / I_C1) )

I_S = I_C1 / exp( V_BE1 / (n*V_T) ) -----------------------------------------------------------------------

Für Siliziumtransistoren wie den BC547 ergibt sich praktisch immer n ≈ 1.0 (idealer Diffusionsstrom dominiert). Werte n \> 1.05 deuten auf einen relevanten Rekombinationsanteil im Sperrschichtbereich hin (zweiter, paralleler Diodenast mit n ≈ 2, im einfachen Modell hier nicht berücksichtigt).

3.3 Gültigkeitsbereich und typische Fehlerquellen

• Bei sehr kleinem I_C (typisch \< 1 µA) dominieren Leckströme -- die Gerade krümmt sich nach oben ab. Diesen Bereich nicht zur Auswertung verwenden.

• Bei hohem I_C (Hochinjektion) krümmt sich die Gerade nach unten ab. Auch dieser Bereich ist für die Bestimmung von I_S und n ungeeignet.

• Der Basisstrom I_B(V_BE) verläuft im Gummel-Plot meist nicht exakt parallel zu I_C(V_BE) -- das Verhältnis I_C/I_B liefert direkt beta_F.

4 Parameterextraktion 2: Stromverstärkung beta_F (BF)

4.1 Bestimmung aus dem Gummel-Plot

Da im Gummel-Plot sowohl I_C als auch I_B über V_BE aufgetragen werden, lässt sich beta_F bei jedem Arbeitspunkt direkt als Verhältnis ablesen:

beta_F(V_BE) = I_C(V_BE) / I_B(V_BE)

Da beta_F selbst stromabhängig ist (Webster-Effekt), wählt man als BF-Wert für SPICE üblicherweise den Maximalwert von beta im mittleren Strombereich -- also dort, wo die beta-I_C-Kurve ihr Plateau erreicht, bevor der Hochstrom-Abfall einsetzt.

4.2 Messbeispiel BC547

5 Parameterextraktion 3: Early-Spannung V_A (VAF)

5.1 Extrapolationsverfahren

Die Early-Spannung wird aus dem Ausgangskennfeld I_C(V_CE) bei mehreren I_B-Stufen bestimmt. Im aktiven Bereich (V_CE oberhalb der Sättigungsspannung) verlaufen die Kennlinien näherungsweise linear mit kleiner positiver Steigung. Extrapoliert man diese Geraden nach links, schneiden sie sich näherungsweise in einem gemeinsamen Punkt auf der negativen V_CE-Achse bei V_CE = -V_A:

I_C(V_CE) = I_C0 * (1 + V_CE/V_A) [Gerade im aktiven Bereich]

Aus zwei Punkten derselben Kennlinie (gleiches I_B):

V_A = (V_CE2*I_C1 - V_CE1*I_C2) / (I_C2 - I_C1) -----------------------------------------------------------------------

5.2 Praktisches Auswerteverfahren

1. Wählen Sie eine I_B-Kurve aus dem Ausgangskennfeld (z. B. I_B = 20 µA).

2. Lesen Sie zwei Punkte im aktiven Bereich ab, z. B. bei V_CE = 5 V und V_CE = 20 V (möglichst weit auseinander für geringen Ablesefehler).

3. Setzen Sie beide Punkte in die Formel für V_A ein.

4. Wiederholen Sie dies für 2-3 weitere I_B-Stufen und mitteln Sie die Ergebnisse.

In dieser Vorlesung verwenden wir für die anschließende Python-Berechnung den gemessenen Wert V_A = 95 V (statt des fiktiven Demonstrationswerts V_A = 100 V aus der vorigen Einheit).

6 Parameterextraktion 4: Knickstrom I_KF (IKF)

6.1 Erkennung im Gummel-Plot

Bei hohen Kollektorströmen weicht die I_C(V_BE)-Kurve im Gummel-Plot zunehmend nach unten von der idealen Geraden ab (Hochinjektion). Gleichzeitig fällt die aus I_C/I_B berechnete beta(I_C)-Kurve vom Plateau ab. Der Knickstrom I_KF ist definitionsgemäß der Strom, bei dem beta auf 70.7 % (= 1/sqrt(2)) des Plateauwerts gefallen ist:

beta_eff(I_C) = beta_F / sqrt(1 + I_C/I_KF)

Bei I_C = I_KF: beta_eff = beta_F / sqrt(2) = 0.707 * beta_F

=\> I_KF ist exakt der Strom, bei dem beta_eff auf 70.7% des Plateaus gefallen ist. -------------------------------------------------------------------------------------

6.2 Praktisches Auswerteverfahren

1. Tragen Sie beta = I_C/I_B über I_C halblogarithmisch auf (typisches Diagramm aus dem Gummel-Plot abgeleitet).

2. Bestimmen Sie den Plateauwert beta_F im mittleren Strombereich.

3. Suchen Sie den Strom I_C, bei dem beta auf 0.707 * beta_F gefallen ist -- das ist I_KF.

7 Parameterextraktion 5: Interner Basiswiderstand R_B,int (RBM)

7.1 Auswerteprinzip

Der interne Basiswiderstand verursacht bei hohen Basisströmen einen zusätzlichen Spannungsabfall, der die Eingangskennlinie V_BE(I_B) gegenüber der idealen Diodenkennlinie zu höheren V_BE-Werten hin \"aufbiegt\" (Kompression der Kennlinie bei hohem Strom -- ähnlich wie der Vorwiderstandseffekt bei einer LED-Kennlinie):

V_BE,gemessen = V_BE,ideal + I_B * R_B,int

=\> R_B,int = ( V_BE,gemessen - V_BE,ideal ) / I_B -----------------------------------------------------------------------

7.2 Praktisches Auswerteverfahren

1. Berechnen Sie aus IS und n den idealen V_BE-Verlauf: V_BE,ideal(I_B) = n*V_T*ln(beta_F*I_B/I_S).

2. Vergleichen Sie bei hohem I_B (z. B. nahe I_KF) den idealen Wert mit dem tatsächlich gemessenen V_BE.

3. Die Differenz, dividiert durch I_B, ergibt R_B,int.

Diese Methode setzt voraus, dass IS, n und beta_F bereits aus den vorigen Schritten bekannt sind -- die Parameterextraktion erfolgt also in der gezeigten Reihenfolge (I_S, n -\> beta_F -\> V_A -\> I_KF -\> R_B,int), da spätere Parameter auf früheren aufbauen.

8 Zusammengefasster Parametersatz für den BC547

Die folgende Tabelle fasst alle aus den Messungen extrahierten Parameter zusammen, im direkten Vergleich zum fiktiven Demonstrationsdatensatz der Vorgängereinheit:

Parameter Demo-Wert (vorige Einheit) Gemessen (BC547) Quelle --------------- -------------------------------- ------------------------------ ------------------- IS 1e-13 A 5.0e-14 A Gummel-Plot

NF 1.0 1.01 Gummel-Plot

BF 200 290 I_C/I_B Plateau

VAF 100 V 95 V Ausgangskennfeld

VAR 200 V 190 V (~2*VAF, Faustregel) geschätzt

IKF 0.5 A 0.08 A beta(I_C)-Abfall

RBM 10 Ohm 15 Ohm Eingangskennlinie ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Auffällig ist der deutlich kleinere Knickstrom I_KF des realen BC547 (80 mA) gegenüber dem Demo-Wert (500 mA). Das bedeutet: Bei den im Folgenden berechneten Arbeitspunkten muss geprüft werden, ob I_C in die Nähe von I_KF kommt -- dann wäre auch die in der letzten Einheit diskutierte Webster-Näherung (im Gegensatz zur exakten Gummel-Poon-Formel) kritischer zu hinterfragen.

9 Arbeitspunktberechnung mit gemessenen Parametern

9.1 Anpassung des Python-Programms

Das Programm Erweitere_Spice_Parameter_1.py aus der Vorgängereinheit wird unverändert in seiner Struktur (Newton-Raphson, Bisektion) übernommen. Lediglich der Parameterblock am Anfang wird durch die gemessenen Werte ersetzt:

# --- Gemessene Parameter (BC547, Kennlinienschreiber) ---

I_S = 5.0e-14 # Sättigungsstrom (Gummel-Plot)

beta_F = 290.0 # Stromverstärkung (Plateau I_C/I_B)

n = 1.01 # Idealfaktor (Gummel-Plot-Steigung)

V_A = 95.0 # Early-Spannung (Ausgangskennfeld)

V_AB = 190.0 # Basis-Early-Spg. (Faustregel: 2*VAF)

I_KF = 0.08 # Knickstrom (beta-Abfall auf 70.7%)

R_B_int = 15.0 # Interner Basiswiderstand (Eingangskl.) -----------------------------------------------------------------------

9.2 Schaltungsdimensionierung für den Arbeitspunkt

Wir verwenden zur Veranschaulichung dieselbe Fixed-Bias-Schaltung wie zuvor (R_C = 100 Ohm, V_CC = V_BB = 25 V), mit dem Ziel V_CE = V_CC/2 = 12.5 V. Die Bisektion sucht erneut den passenden R_B.

9.3 Erwartetes Ergebnis und Plausibilitätsprüfung

Mit beta_F = 290 (statt 200) wird bei gleichem R_B mehr Kollektorstrom fließen -- die Bisektion wird also tendenziell einen größeren R_B finden als im Demo-Beispiel, um denselben Arbeitspunkt V_CE = 12.5 V einzustellen. Quantitativ lässt sich das näherungsweise abschätzen:

Vereinfachte Abschaetzung (ideales Modell, ohne Early/RBM):

I_C,ziel = V_CC/(2*R_C) = 25/(2*100) = 125 mA

I_B,ziel = I_C,ziel / beta_F = 125mA/290 = 431 µA

V_BE ~= n*V_T*ln(I_C,ziel/I_S) = 1.01*25.86mV*ln(125mA/5e-14A)

~= 0.746 V

R_B = (V_BB - V_BE)/I_B,ziel = (25-0.746)/431µA ~= 56.3 kOhm -----------------------------------------------------------------------

Dieser Schätzwert dient als Startwert/Plausibilitätscheck; das tatsächliche Ergebnis der Newton-Raphson-Bisektion mit allen Korrekturtermen (Early-Effekt, RBM) weicht davon je nach Lage zum Kniestrom ab — im vorliegenden Fall (I_C/I_KF = 1,56) um ein Drittel: der Abschätzung 56,3 kΩ steht der Modellwert 37,3 kΩ gegenüber und sollte in der Übung explizit berechnet und mit diesem Schätzwert verglichen werden.

10 Fehler- und Unsicherheitsbetrachtung

10.1 Messunsicherheiten

• Ableseunsicherheit am Kennlinienschreiber: typisch ±2-5% bei analogen Geräten, deutlich geringer bei digitaler Datenerfassung.

• Thermische Drift: I_S verdoppelt sich näherungsweise alle 8-10 K Temperaturanstieg. Messungen sollten bei konstanter, dokumentierter Temperatur erfolgen.

• Bauteilstreuung: hFE (beta_F) streut bei BC547 herstellerseitig um den Faktor 4 (Klassengrenzen 110-800). Jede Messung gilt nur für das konkrete Exemplar.

• Kontaktwiderstände der Messspitzen können R_B,int systematisch überschätzen lassen -- Vierleitermessung oder Kalibrierung empfohlen.

10.2 Fortpflanzung in die Arbeitspunktberechnung

Da I_C exponentiell von V_BE abhängt, wirken sich bereits kleine Unsicherheiten in I_S und n stark auf den berechneten Arbeitspunkt aus. Eine Unsicherheit von ±10% in I_S verschiebt V_BE um etwa:

Aus I_C = I_S*exp(V_BE/(n*V_T)):

dV_BE = nV_T d(ln(I_S)) = nV_T ln(1.1) ~= 1.01*25.86mV*0.0953 ~= 2.5 mV

=\> 10% Fehler in I_S verschiebt V_BE nur um ca. 2.5 mV (geringe Sensitivität).

Der Kollektorstrom selbst reagiert dagegen direkt proportional auf einen I_S-Fehler,

wenn V_BE festgehalten wird - in der geschlossenen Arbeitspunktrechnung kompensiert

sich dies aber teilweise durch die Rueckkopplung ueber R_B. ---------------------------------------------------------------------------------------

11 Übungsaufgaben

Aufgabe 1 -- Gummel-Plot-Auswertung:

• Gegeben seien zwei Messpunkte V_BE1 = 0.580 V, I_C1 = 0.1 mA und V_BE2 = 0.640 V, I_C2 = 1.0 mA. Bestimmen Sie n und I_S.

Aufgabe 2 -- Early-Spannung:

• Aus dem Ausgangskennfeld bei I_B = 40 µA wurden V_CE1 = 3 V, I_C1 = 11.5 mA und V_CE2 = 15 V, I_C2 = 12.4 mA gemessen. Berechnen Sie V_A.

Aufgabe 3 -- Knickstrom:

• beta_F = 320 wurde im Plateau gemessen. Bei welchem Stromwert beta = 226 gemessen wird, entspricht I_KF. Wie würden Sie diesen Wert messtechnisch eingrenzen (Vorgehensweise in 3 Schritten beschreiben)?

Aufgabe 4 -- Vollständige Berechnung:

• Übernehmen Sie die in Kapitel 8 gemessenen BC547-Parameter vollständig in das Python-Programm und führen Sie die Bisektion durch. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Abschätzung aus Kapitel 9.3 und erklären Sie die Abweichung.

Aufgabe 5 -- Sensitivitätsanalyse:

• Variieren Sie beta_F im Bereich der Datenblatt-Klassengrenzen (110 bis 800) und berechnen Sie jeweils den resultierenden Arbeitspunkt R_B. Wie stark schwankt R_B über diesen Bereich -- und welche Konsequenz hat das für die Serienfertigung von Schaltungen mit Fixed-Bias?

12 Zusammenfassung

Literaturhinweise

• Datenblatt BC547 (verschiedene Hersteller, z. B. onsemi, Nexperia) -- hFE-Klassengrenzen, Grenzwerte

• Getreu (1978): Modeling the Bipolar Transistor -- Parameterextraktionsverfahren im Detail

• Gummel/Poon (1970): An integral charge control model of bipolar transistors, BSTJ 49(5)

• LTspice Hilfedokumentation: .model-Statement und BJT-Parametertabelle

• Vorgängereinheit: Vorlesungsmanuskript \'Bipolare Transistoren: Erweitertes SPICE-Modell\'

Numerische Simulation eines Bipolartransistors

Arbeitspunktberechnung mit Newton-Raphson und Bisektionsverfahren

Begleitmaterial zur Lehrveranstaltung

Elektronik / Numerische Methoden in der Elektrotechnik

Programm: Transistor_20.py

Sprache: Python 3 | Bibliotheken: NumPy, Matplotlib

1 Einleitung und Zielsetzung

Dieses Skript erläutert Schritt für Schritt das Programm Transistor_20.py. Das Programm berechnet den Arbeitspunkt eines NPN-Bipolartransistors in einer einfachen Kollektorschaltung -- und zwar vollständig numerisch, ohne Vereinfachungen wie die oft verwendete Beta-Näherung.

Ziel des Programms: Den Basiswiderstand R_B so bestimmen, dass der Transistor im Mittelpunkt seiner Aussteuerbarkeit arbeitet, d. h. V_CE ≈ V_CC / 2.

Dazu werden zwei numerische Verfahren kombiniert:

• Newton-Raphson-Verfahren (innere Schleife): Löst das nichtlineare Gleichungssystem für einen festen Wert von R_B.

• Bisektionsverfahren (äußere Schleife): Sucht iterativ den optimalen R_B-Wert.

2 Physikalischer Hintergrund

2.1 Die Transistorschaltung

Betrachtet wird ein NPN-Bipolartransistor mit Basiswiderstand R_B und Kollektorwiderstand R_C, gespeist von der Versorgungsspannung V_CC:

Schaltungsaufbau (vereinfacht)

V_CC

|

[R_C] \<- Kollektorwiderstand

|

+---[C] NPN-Transistor

|

[R_B] \<- Basiswiderstand

|

V_BB (= V_CC)

|

GND (Emitter) -----------------------------------------------------------------------

Die Knoten- und Maschengleichungen dieser Schaltung liefern:

I_B = (V_BB - V_BE) / R_B [Maschengleichung Basis]

I_C = (V_CC - V_CE) / R_C [Maschengleichung Kollektor]

2.2 Das Shockley-Diodenmodell

Der Basis-Emitter-Übergang verhält sich wie eine Diode. Der Basisstrom folgt der Shockley-Gleichung:

I_B = I_S · exp( q · V_BE / (k_B · T) )

mit den Konstanten:

------------------ ------------------- --------------------------------------- Parameter Wert Bedeutung

I_S 1 · 10⁻¹³ A Sättigungssperrstrom des Transistors

q 1,602 · 10⁻¹⁹ C Elementarladung

k_B 1,381 · 10⁻²³ J/K Boltzmann-Konstante

T 300 K Absolute Temperatur (Raumtemperatur) ------------------ ------------------- ---------------------------------------

Die Größe V_T = k_B · T / q ≈ 25,85 mV bei 300 K wird als Temperaturspannung bezeichnet und taucht in allen Dioden- und Transistorgleichungen auf.

2.3 Das Ebers-Moll-Modell mit Early-Effekt

Im realen Transistor hängt der Kollektorstrom nicht nur vom Basisstrom, sondern auch von der Kollektor-Emitter-Spannung V_CE ab. Diesen Effekt beschreibt der Early-Effekt:

I_C = I_B · ( 1 + V_CE / V_A )

Die Early-Spannung V_A (hier 100 V) charakterisiert, wie stark der Kollektorstrom mit V_CE ansteigt. Ein großes V_A bedeutet einen nahezu idealen, spannungsunabhängigen Transistor.

3 Das nichtlineare Gleichungssystem

Der Arbeitspunkt des Transistors ist derjenige Betriebszustand, in dem alle Strom- und Spannungsbedingungen gleichzeitig erfüllt sind. Dies führt auf ein System von zwei nichtlinearen Gleichungen in den Unbekannten V_BE und V_CE:

eq1 = (V_BB - V_BE)/R_B - I_S · exp(q·V_BE/(k_B·T)) = 0

eq2 = (V_CC - V_CE)/R_C - I_S · exp(q·V_BE/(k_B·T)) · (1 + V_CE/V_A) = 0

Gleichung 1 setzt die Maschengleichung für den Basiskreis gleich dem Shockley-Ausdruck. Gleichung 2 setzt die Kollektormaschengleichung gleich dem Ebers-Moll-Ausdruck.

Da exp(·) eine stark nichtlineare Funktion ist, kann dieses System nicht analytisch gelöst werden -- hier kommt das Newton-Raphson-Verfahren ins Spiel.

4 Das Newton-Raphson-Verfahren

4.1 Wozu brauchen wir das Verfahren?

In Kapitel 3 haben wir das Gleichungssystem aufgestellt:

eq1(V_BE, V_CE) = 0

eq2(V_BE, V_CE) = 0

Beide Gleichungen enthalten den Term exp(q·V_BE / k_B·T). Die Exponentialfunktion macht eine analytische (exakte) Lösung nach V_BE und V_CE unmöglich -- es gibt keine algebraische Umformung, die zu einer geschlossenen Formel führt.

Wir brauchen daher ein numerisches Verfahren, das iterativ eine Näherungslösung berechnet. Das Newton-Raphson-Verfahren ist hierfür besonders geeignet, weil es sehr schnell konvergiert (quadratisch, s. Abschnitt 4.6) und weil wir die Ableitungen analytisch kennen.

4.2 Grundidee: Linearisierung um den aktuellen Punkt

Die Idee ist einfach: Eine nichtlineare Funktion lässt sich in der Nähe eines Punktes durch ihre Tangente annähern. Das ist die Taylor-Entwicklung erster Ordnung.

Für eine einzelne Funktion f(x) gilt in der Nähe von xₙ:

f(x) ≈ f(xₙ) + f\'(xₙ) · (x - xₙ)

Wir suchen die Nullstelle, also f(x) = 0. Einsetzen und nach x auflösen:

0 = f(xₙ) + f\'(xₙ) · (x - xₙ)

x - xₙ = -f(xₙ) / f\'(xₙ)

x_{n+1} = xₙ - f(xₙ) / f\'(xₙ) [1D Newton-Formel]

Das ist der klassische Newton-Schritt für eine einzelne Gleichung. Wir haben aber zwei Gleichungen und zwei Unbekannte -- wir müssen auf ein Vektorsystem verallgemeinern.

4.3 Verallgemeinerung auf Systeme: Die Jacobi-Matrix

Unser Zustandsvektor ist:

x = [V_BE, V_CE]^T (ein Spaltenvektor mit 2 Einträgen)

Unser Fehlervektor ist:

F(x) = [eq1(V_BE, V_CE), eq2(V_BE, V_CE)]^T

Die Taylor-Entwicklung erster Ordnung für ein Vektorsystem lautet:

F(x) ≈ F(xₙ) + J(xₙ) · (x - xₙ)

Dabei ist J die Jacobi-Matrix -- das mehrdimensionale Analogon zur Ableitung. Sie enthält alle partiellen Ableitungen von F nach den Komponenten von x:

J = | ∂eq1/∂V_BE ∂eq1/∂V_CE |

| ∂eq2/∂V_BE ∂eq2/∂V_CE |

Jeder Eintrag J[i][j] beantwortet die Frage: \"Wenn ich die j-te Variable (V_BE oder V_CE) ein kleines Stück verändere -- wie stark ändert sich die i-te Gleichung (eq1 oder eq2)?\"

Nullstelle der linearisierten Gleichung suchen, also F(x) = 0 setzen:

0 = F(xₙ) + J(xₙ) · Δx

J(xₙ) · Δx = -F(xₙ) [Das lineare Gleichungssystem]

x_{n+1} = xₙ + Δx [Aktualisierungsschritt]

Das ist die Newton-Raphson-Formel für Systeme. Das Symbol Δx bezeichnet den Korrekturvektor [ΔV_BE, ΔV_CE]ᵀ.

4.4 Herleitung der partiellen Ableitungen (Jacobi-Einträge)

Jetzt leiten wir jeden der vier Jacobi-Einträge Schritt für Schritt her. Zur Erinnerung die beiden Gleichungen:

eq1 = (V_BB - V_BE)/R_B - I_S · exp(q·V_BE/(k_B·T))

eq2 = (V_CC - V_CE)/R_C - I_S · exp(q·V_BE/(k_B·T)) · (1 + V_CE/V_A)

Zur Abkürzung definieren wir zwei Hilfsgrößen, die im Programm ebenfalls verwendet werden:

exp_term = exp(q · V_BE / (k_B · T))

factor = I_S · (q / (k_B · T)) · exp_term [= Ableitung des Shockley-Terms]

4.4.1 Ableitung ∂eq1/∂V_BE

eq1 besteht aus zwei Termen. Wir leiten beide nach V_BE ab:

d/dV_BE [ (V_BB - V_BE)/R_B ] = -1/R_B

Der zweite Term ist eine Exponentialfunktion. Mit der Kettenregel gilt:

d/dV_BE [ I_S · exp(q·V_BE/(k_B·T)) ] = I_S · (q/(k_B·T)) · exp(...) = factor

Da eq1 das Minus-Zeichen trägt, ergibt sich insgesamt:

∂eq1/∂V_BE = -1/R_B - factor

Im Programm steht genau das:

d_eq1_dV_BE = -1/R_B - factor

4.4.2 Ableitung ∂eq1/∂V_CE

In eq1 taucht V_CE überhaupt nicht auf -- weder im Maschenterms noch im Shockley-Ausdruck. Daher ist die partielle Ableitung exakt null:

∂eq1/∂V_CE = 0

Das bedeutet: Die erste Gleichung (Basiskreis) ist vollständig unabhängig von V_CE. Im Programm:

d_eq1_dV_CE = 0.0

4.4.3 Ableitung ∂eq2/∂V_BE

eq2 enthält V_BE nur im Exponentialterm. Der Maschen-Term (V_CC - V_CE)/R_C ist konstant bezüglich V_BE. Wir leiten nur den Ebers-Moll-Ausdruck ab:

d/dV_BE [ I_S · exp(q·V_BE/(k_B·T)) · (1 + V_CE/V_A) ]

Der Faktor (1 + V_CE/V_A) ist bezüglich V_BE eine Konstante. Mit der Kettenregel:

= I_S · (q/(k_B·T)) · exp(...) · (1 + V_CE/V_A) = factor · (1 + V_CE/V_A)

Da eq2 auch hier ein Minuszeichen trägt:

∂eq2/∂V_BE = -factor · (1 + V_CE/V_A)

Im Programm:

d_eq2_dV_BE = -factor * (1 + V_CE / V_A)

4.4.4 Ableitung ∂eq2/∂V_CE

eq2 enthält V_CE an zwei Stellen: im Maschen-Term und im Early-Faktor. Wir leiten beide ab:

d/dV_CE [ (V_CC - V_CE)/R_C ] = -1/R_C

Für den Ebers-Moll-Term gilt -- exp_term ist bezüglich V_CE eine Konstante:

d/dV_CE [ I_S · exp_term · (1 + V_CE/V_A) ] = I_S · exp_term · (1/V_A) = I_S/V_A · exp_term

Da eq2 das Minuszeichen trägt, wird dieser Term positiv subtrahiert:

∂eq2/∂V_CE = -1/R_C + (I_S/V_A) · exp_term

Im Programm:

d_eq2_dV_CE = -1/R_C + (I_S / V_A) * exp_term

4.4.5 Die vollständige Jacobi-Matrix

Alle vier Ableitungen zusammengesetzt ergeben:

J = | -1/R_B - factor 0 |

| -factor·(1 + V_CE/V_A) -1/R_C + I_S/V_A·exp_term |

Diese 2×2-Matrix wird in jedem Newton-Schritt neu berechnet, weil sich exp_term und factor mit jedem neuen Schätzwert für V_BE ändern.

def J(vars): V_BE, V_CE = vars exp_term = np.exp(q V_BE / (k_B T)) # e^(q*V_BE/k_BT) factor = I_S q / (k_B T) exp_term # Ableitung Shockley d_eq1_dV_BE = -1/R_B - factor # s. 4.4.1 d_eq1_dV_CE = 0.0 # s. 4.4.2 d_eq2_dV_BE = -factor (1 + V_CE / V_A) # s. 4.4.3 d_eq2_dV_CE = -1/R_C + (I_S / V_A) exp_term # s. 4.4.4 return np.array([[d_eq1_dV_BE, d_eq1_dV_CE], [d_eq2_dV_BE, d_eq2_dV_CE]])

4.5 Das lineare Gleichungssystem lösen -- warum nicht J⁻¹ berechnen?

Die Newton-Formel lautet:

Δx = -J(xₙ)⁻¹ · F(xₙ)

Man könnte J invertieren und dann Δx berechnen. Das tut man in der Praxis jedoch nicht -- aus zwei Gründen:

• Numerische Stabilität: Die direkte Matrixinversion verstärkt Rundungsfehler. Lineare Gleichungslöser (wie LU-Zerlegung) sind stabiler.

• Rechenaufwand: Für n×n-Systeme kostet Inversion O(n³), ein Gleichungslöser ebenfalls O(n³), aber mit kleinerem Vorfaktor.

Stattdessen löst man das äquivalente lineare System:

J(xₙ) · Δx = -F(xₙ)

Das entspricht der Frage: \"Welche Korrektur Δx muss ich anwenden, damit J·Δx den Fehler -F genau ausgleicht?\" NumPy löst das mit LU-Zerlegung:

delta = np.linalg.solve(J_val, -f_val) # löst J·Δx = -F xy += delta # x_{n+1} = x_n + Δx

4.6 Schritt-für-Schritt durch eine vollständige Iteration

Hier verfolgen wir eine Newton-Iteration mit konkreten Zahlenwerten (R_B = 3000 Ω, V_CC = 15 V):

Iteration 0: Startwert

x₀ = [V_BE, V_CE] = [0.9 V, 8.0 V]

Berechne F(x₀):

I_B(Masche) = (15 - 0.9) / 3000 = 4.700e-3 A

I_B(Shockley) = 1e-13 · exp(0.9/0.02585) = 4.140e-3 A

eq1 = 4.700e-3 - 4.140e-3 = +5.60e-4 (noch nicht null!)

I_C(Masche) = (15 - 8.0) / 1000 = 7.000e-3 A

I_C(Ebers) = 4.140e-3 · (1 + 8/100) = 4.471e-3 A

eq2 = 7.000e-3 - 4.471e-3 = +2.53e-3 (noch nicht null!)

=\> Fehlervektor noch weit von null entfernt =\> weiter iterieren -----------------------------------------------------------------------

Iteration 0: Jacobi-Matrix und Korrekturschritt

Berechne J(x₀):

exp_term = exp(0.9/0.02585) = 4.140e10

factor = 1e-13 · (1/0.02585) · exp_term = 1.601e-1

J[0][0] = -1/3000 - 0.1601 = -0.1604

J[0][1] = 0.0

J[1][0] = -0.1601 · (1 + 8/100) = -0.1729

J[1][1] = -1/1000 + (1e-13/100)·exp = -0.0010

Löse J·Δx = -F:

Δx = np.linalg.solve(J, -F) =\> [ΔV_BE, ΔV_CE]

Aktualisiere:

V_BE_neu = 0.9 + ΔV_BE

V_CE_neu = 8.0 + ΔV_CE

=\> nächste Iteration beginnt mit verbessertem Schätzwert -----------------------------------------------------------------------

Nach 5--8 solcher Iterationen sind beide Fehlerkomponenten kleiner als 10⁻¹⁰ -- das Verfahren hat konvergiert.

4.7 Konvergenzverhalten und Konvergenzrate

Newton-Raphson hat unter geeigneten Bedingungen quadratische Konvergenz. Das bedeutet: Wenn der Fehler in Iteration n gleich εₙ ist, dann gilt näherungsweise:

ε_{n+1} ≈ C · εₙ² [quadratische Konvergenz]

In der Praxis sieht das so aus:

------------------ ---------------- --------------------------------------- Parameter Wert Bedeutung

Iteration 1 Fehler ≈ 10⁻¹ Erster grober Schritt

Iteration 2 Fehler ≈ 10⁻² Deutliche Verbesserung

Iteration 3 Fehler ≈ 10⁻⁴ Fehler quadriert sich

Iteration 4 Fehler ≈ 10⁻⁸ Sehr schnelle Annäherung

Iteration 5 Fehler ≈ 10⁻¹⁶ Maschinengenauigkeit erreicht ------------------ ---------------- ---------------------------------------

Warum quadratisch? Der Taylor-Entwicklung erster Ordnung bleibt ein Restterm zweiter Ordnung übrig: F(x) = F(xₙ) + J·Δx + O(Δx²). Newton eliminiert exakt den linearen Term -- was übrig bleibt, ist O(Δx²). Der nächste Fehler ist also proportional zum Quadrat des aktuellen Fehlers.

Wichtige Voraussetzung: Der Startwert muss in der Nähe der echten Lösung liegen. Weit entfernte Startwerte können zu Divergenz oder Konvergenz zu einer falschen Lösung führen. Im Programm werden deshalb physikalisch sinnvolle Startwerte [0.9 V, 8.0 V] gewählt.

4.8 Vollständiger Algorithmus im Programm (newton_method)

Alle Schritte zusammengefasst als Ablaufdiagramm:

Ablauf newton_method(initial_guess, tol=1e-10, max_iter=100)

EINGABE: Startwert [V_BE⁰, V_CE⁰], Toleranz, max. Iterationen

SCHRITT 0: x = [0.9, 8.0] (oder adaptiver Startwert)

SCHLEIFE (i = 0, 1, 2, ...):

SCHRITT 1: Fehlervektor berechnen

f_val = F(x) = [eq1(x), eq2(x)]

SCHRITT 2: Konvergenzprüfung

WENN |eq1| \< 1e-10 UND |eq2| \< 1e-10:

RÜCKGABE x, Anzahl Iterationen

SCHRITT 3: Jacobi-Matrix berechnen

J_val = J(x) [4 partielle Ableitungen, s. Kap. 4.4]

SCHRITT 4: Korrekturvektor lösen

delta = np.linalg.solve(J_val, -f_val)

[löst J·Δx = -F ohne explizite Matrixinversion]

SCHRITT 5: Schätzwert aktualisieren

x = x + delta

SCHRITT 6: Physikalische Plausibilität prüfen

WENN V_CE \< 0: FEHLER (unphysikalische Lösung)

NACH max_iter Schritten ohne Konvergenz: FEHLER -----------------------------------------------------------------------

def newton_method(initial_guess, tol=1e-10, max_iter=100): xy = np.array(initial_guess, dtype=float) # Schritt 0 for i in range(max_iter): f_val = F(xy) # Schritt 1 if np.all(np.abs(f_val) \< tol): # Schritt 2 return xy, i+1 J_val = J(xy) # Schritt 3 delta = np.linalg.solve(J_val, -f_val) # Schritt 4 xy += delta # Schritt 5 if xy[1] \< 0: # Schritt 6 raise ValueError(\'V_CE negativ!\') raise ValueError(\'Keine Konvergenz!\')

5 Das Bisektionsverfahren für R_B

5.1 Grundprinzip

Das Newton-Raphson-Verfahren löst das innere Problem für ein festes R_B. Das äußere Problem ist: Welcher Wert von R_B führt zu V_CE = V_CC/2?

Das Bisektionsverfahren nutzt aus, dass V_CE eine monotone Funktion von R_B ist:

• R_B zu groß → wenig Basisstrom → Transistor kaum leitend → V_CE ≈ V_CC (hoch)

• R_B zu klein → viel Basisstrom → Transistor stark leitend → V_CE ≈ 0 (niedrig)

Es existiert also genau ein R_B, für den V_CE = V_CC/2 gilt.

5.2 Algorithmus

R_B_try = (R_B_min + R_B_max) / 2

1. Setze Startwerte: R_B_min = 500 Ω, R_B_max = 100 kΩ

1. Berechne Mittelpunkt R_B_try = (R_B_min + R_B_max) / 2

1. Löse inneres System mit Newton-Raphson → V_CE

1. Toleranzprüfung: Falls |V_CE - V_CC/2| ≤ 5% · V_CC/2 → Fertig!

1. Aktualisierung: V_CE zu klein → R_B_max = R_B_try; V_CE zu groß → R_B_min = R_B_try

1. Zurück zu Schritt 2

Nach n Bisektionsschritten hat sich das Suchintervall auf (R_B_max - R_B_min) / 2ⁿ verkleinert. Nach 30 Schritten aus 100 kΩ Startbreite: Genauigkeit ≈ 0,1 mΩ.

6 Programmstruktur im Überblick

Modularer Aufbau von Transistor_20.py

F(vars) Fehlerfunktion: gibt [eq1, eq2] zurück

J(vars) Jacobi-Matrix: gibt 2×2-Matrix zurück

newton_method() Newton-Raphson-Solver (innere Schleife)

finde_R_B() Bisektionsoptimierer (äußere Schleife)

__main__ Hauptprogramm + Ergebnisplot -----------------------------------------------------------------------

Eine Besonderheit: R_B ist im Programm als globale Variable deklariert, damit F() und J() den aktuellen Wert der äußeren Bisektion kennen. Dies ist funktional, in modernem Python würde man R_B besser als Parameter übergeben.

7 Ergebnisplot und Arbeitspunkt

Nach Konvergenz beider Verfahren wird ein Diagramm mit drei Elementen erstellt:

• Transistorkennlinie I_C(V_CE): Für den berechneten Basisstrom I_B gilt: I_C(V_CE) = I_B · (1 + V_CE/V_A). Dies ist eine leicht ansteigende Gerade (wegen des Early-Effekts).

• Arbeitsgerade (Lastlinie): I_C = (V_CC - V_CE)/R_C. Eine fallende Gerade von (0, V_CC/R_C) bis (V_CC, 0).

• Arbeitspunkt (roter Punkt): Der Schnittpunkt beider Linien -- der einzige Betriebszustand, der alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

Optimaler Arbeitspunkt: Der Punkt sollte in der Mitte der Lastlinie liegen (V_CE = V_CC/2), um maximale unverzerrte Aussteuerung zu ermöglichen.

8 Hinweise zur Implementierung

8.1 Stärken des Programms

• Analytische Jacobi-Matrix: genauer und schneller als numerische Differentiation

• Adaptive Startwerte: Das Newton-Verfahren startet beim nächsten Bisektionsschritt mit dem letzten konvergierten Ergebnis -- verbessert Stabilität

• Physikalische Plausibilitätsprüfung: V_CE \< 0 wird als Fehler erkannt

• Klare Trennung: Gleichungssystem (F, J) ist unabhängig vom Solver (newton_method)

8.2 Verbesserungspotenzial

• Globale Variable R_B: Sollte als Parameter an F() und J() übergeben werden. Empfehlung: Closures oder Klassenstruktur verwenden.

• Fehlende Rückgabe bei Newton-Fehler: Wenn Newton nicht konvergiert, wird V_CE = -1 gesetzt, aber V_BE bleibt undefiniert -- bei Schleifenabbruch würde ein NameError auftreten.

• Plot-Funktion: Ist als innere Funktion im __main__-Block definiert; besser auf Modulebene auslagern für Wiederverwendbarkeit.

9 Übungsaufgaben

Zur Vertiefung des Verständnisses:

1. Berechnen Sie V_T = k_B·T/q bei 300 K per Hand und vergleichen Sie mit dem Wert im Programm.

1. Wie verändert sich der Arbeitspunkt, wenn R_C auf 2 kΩ verdoppelt wird? Schätzen Sie ab, welches R_B dann benötigt wird.

1. Warum konvergiert Newton-Raphson schneller mit adaptiven Startwerten? Erklären Sie anhand der Konvergenzbedingung.

1. Skizzieren Sie das Bisektionsverfahren grafisch: V_CE als Funktion von R_B, und markieren Sie den Zielbereich.

1. Ergänzen Sie das Programm so, dass R_B nicht als globale Variable, sondern als Parameter übergeben wird (Hinweis: Lambda-Funktion oder Closure).

1. Was passiert, wenn V_A → ∞ gesetzt wird? Welches Modell ergibt sich dann?

10 Zusammenfassung

Kernpunkte dieses Skripts

1. Transistorarbeitspunkt = Lösung eines nichtlinearen 2x2-Gleichungssystems

2. Shockley-Gleichung beschreibt den exponentiellen Basisstrom

3. Ebers-Moll + Early-Effekt beschreiben den Kollektorstrom

4. Newton-Raphson löst das innere Problem (festes R_B) quadratisch konvergent

5. Bisektionsverfahren optimiert R_B für den Arbeitspunkt V_CE = V_CC/2

6. Analytische Jacobi-Matrix ist essenziell für Genauigkeit und Geschwindigkeit

7. Ziel: maximale Aussteuerbarkeit =\> V_CE liegt in der Mitte der Lastlinie ----------------------------------------------------------------------------------

Ende des Skripts

Für ein einfaches statisches BJT-Modell würde ich nicht mit allen Datenblatt-Kennlinien anfangen, sondern gezielt nur die Kennfelder einlesen, aus denen sich die wesentlichen Modellparameter identifizieren lassen.

Minimaler Datensatz

1. Ausgangskennfeld

für verschiedene feste Basisströme

Das sind die klassischen Transistorkennlinien:

I_C

│ IB=80µA

│ /

│ /

│ / IB=60µA

│ /

│ / IB=40µA

└────────── V_CE

Daraus kann man bestimmen:

• Early-Spannung V_A

• Ausgangsleitwert

• Ausgangswiderstand r_o

• β-Verlauf

2. Gummel-Plot

und

bei festem

(z.B. 5 V oder 10 V).

Daraus erhält man:

• I_S

• β_F

• Idealfaktor n

Welche Parameter lassen sich bestimmen?

Sättigungsstrom I_S

Aus

folgt

Im Gummel-Plot:

• Gerade fitten

• auf V_BE = 0extrapolieren

Ergebnis:

Idealfaktor n

Steigung der Gummel-Kurve:

also

Typisch:

Stromverstärkung β_F

Aus dem Gummel-Plot:

Einfach im aktiven Bereich mitteln.

Typisch:

Early-Spannung V_A

Aus den Ausgangskennlinien.

Für jede Kennlinie:

Lineare Extrapolation.

Alle Geraden schneiden sich ungefähr bei

Beispiel:

/

/

/

/

----/---------

-100V

ergibt

Daraus erhältst du bereits dein momentanes Modell

Mit lediglich

• I_S

• n

• β_F

• V_A

hast du schon ein erstaunlich gutes statisches Modell.

Falls du etwas weiter gehen möchtest

Zusätzlich interessant:

Eingangskennlinie

für verschiedene V_CE.

Damit könntest du prüfen, ob

einen eigenen Early-Effekt zeigt.

Dann käme man zu einem erweiterten Modell:

Meine Empfehlung für dein Manuskript

Für einen Bachelor-Kurs bzw. eine Vorlesung „Numerische Methoden in der Elektronik“ würde ich genau diese vier Parameter extrahieren:

und als benötigte Messdaten nur

1. Gummel-Plot

1. Ausgangskennfeld I_C(V_CE)

verwenden.

Damit ist das Modell noch übersichtlich, aber bereits deutlich realistischer als die klassische β = const.-Näherung.

Für dein aktuelles Modell brauchst du in LTspice gar kein kompliziertes Gummel-Poon-Modell. Ein sehr einfaches und überraschend gut passendes Modell wäre:

mit

Das entspricht exakt deinem Python-Modell.

Variante 1: Einfaches LTspice-BJT-Modell

LTspice verwendet intern bereits das Gummel-Poon-Modell.

Daher genügt oft:

.model NPN_SIMPLE NPN(

+ IS=1e-13

+ BF=100

+ VAF=100

+ NF=1

)

Bedeutung:

IS   = Sättigungsstrom

BF   = Vorwärtsverstärkung βF

VAF  = Early-Spannung

NF   = Emissionskoeffizient n

Das entspricht nahezu direkt deinen Parametern:

I_S = 1e-13

beta_F = 100

V_A = 100

n = 1

Schaltung

VCC   VCC 0 25

RC    VCC C 100

RB    VCC B 209k

Q1    C B 0 NPN_SIMPLE

Arbeitspunktanalyse

.op

liefert dann ungefähr:

VBE ≈ 0.65 V

VCE ≈ 12.5 V

IC  ≈ 125 mA

IB  ≈ 1.25 mA

für deinen aktuellen Fall

VCC = 25 V

RC  = 100 Ω

Welche Kennlinien würde ich vermessen?

1. Gummel-Plot

Simulation:

.dc VBE 0.4 0.9 1m

Auswertung:

Ic(VBE)

Ib(VBE)

Daraus:

• IS

• BF

• NF

2. Ausgangskennlinien

Simulation:

.step param IB 10u 200u 20u

.dc VCE 0 25 0.1

Daraus:

• VAF

• Ausgangswiderstand

• β-Verlauf

Parameterextraktion

Mit deinen Vorlesungszielen würde ich exakt diese vier Größen bestimmen:

IS

BF

NF

VAF

also

Parameter Bedeutung ----------------------- ----------------------------------------------- IS Sättigungsstrom

BF Gleichstromverstärkung

NF Idealfaktor

VAF Early-Spannung -----------------------------------------------------------------------

Noch schöner für die Vorlesung

Dann ergibt sich ein direkter Zusammenhang zwischen Simulation und Python:

Python:

I_B = (I_S/beta_F) * exp(...)

I_C = I_S exp(...) (1 + V_CE/V_A)

LTspice:

.model NPN_SIMPLE NPN(

+ IS=1e-13

+ BF=200

+ VAF=100

+ NF=1

)

Die Studierenden sehen dann sehr schön:

Die vier Parameter I_ S, BF, NFund VAFreichen bereits aus, um aus gemessenen Kennlinien ein einfaches statisches Transistormodell abzuleiten und anschließend numerisch mit Newton-Raphson den Arbeitspunkt zu berechnen.

Das ist didaktisch sauber und stellt den direkten Bezug zwischen Kennlinienmessung, Parameteridentifikation und numerischer Simulation her.

(eingebettete Datei — siehe Verzeichnis der Programme)

(eingebettete Datei — siehe Verzeichnis der Programme)

(eingebettete Datei — siehe Verzeichnis der Programme)

Das Ergebnis sieht sehr vernünftig aus. Aus dem Plot kann man einige Dinge direkt ablesen:

Verstärkung

Eingang (grün):

Ausgang (blau):

also

Die Stufe verstärkt also.

Phasenlage

Der Ausgang ist invertiert:

• Eingang positiv → Ausgang negativ

• Eingang negativ → Ausgang positiv

also ungefähr

genau wie bei einer Emitterschaltung erwartet.

Arbeitspunkt

Der Ausgang ist über

C2 = 1 µF

ausgekoppelt.

Deshalb siehst du im Plot nur den Wechselanteil.

Wenn du den tatsächlichen Arbeitspunkt prüfen möchtest, solltest du zusätzlich ausführen:

.op

und kontrollieren:

V(B)

V(C)

V(B,E)

V(C,E)

Ic(Q1)

Ib(Q1)

\`

Was mich freut

Die gewählten Modellparameter

IS=5e-16

BF=110

NF=1

VAF=100

verhalten sich genau so, wie dein Python-Modell vorhersagt:

mit

Der nächste interessante Schritt

Ich würde jetzt tatsächlich die vier Modellparameter aus LTspice \"zurückgewinnen\".

Gummel-Plot

Simulation:

.dc VBE 0.4 0.9 1m

Dann plotten:

Ic(Q1)

Ib(Q1)

(logarithmische Achse)

Daraus:

• IS

• BF

• NF

bestimmen.

Ausgangskennlinien

Beispielsweise:

.step param IB 10u 100u 10u

.dc VCE 0 20 0.1

Daraus:

• VAF

• Early-Effekt

• Ausgangswiderstand

bestimmen.

Didaktisch besonders schön

Du hast jetzt praktisch die Kette

Messung / Kennlinien

       ↓

Parameterextraktion

       ↓

LTspice-Modell

IS

BF

NF

VAF

       ↓

Python-Modell

IS

beta_F

n

V_A

       ↓

Newton-Raphson

       ↓

Arbeitspunkt

und genau daraus lässt sich ein sehr schönes Kapitel zur modellgestützten Transistoranalyse entwickeln. Das ist deutlich näher an der Praxis als die übliche \"VBE = 0,7 V und β = 100\"-Näherung.

(eingebettete Datei — siehe Verzeichnis der Programme)

Ja. Wenn man die von mir vorgeschlagenen Erweiterungen

• Early-Effekt

• Basis-Early-Effekt

• β-Abfall bei hohen Strömen (IKF)

• interner Basiswiderstand R_B,int

alle zusammenfasst, erhält man folgendes kompaktes Gleichungssystem.

Hilfsgrößen

Temperaturspannung

Äußerer Basisstrom

Kollektorstrom aus der Lastgeraden

stromabhängige Verstärkung

effektive Basis-Emitter-Spannung

Exponentialterm

Gleichung 1

Basiskreis

mit

als Basis-Early-Spannung.

Gleichung 2

Kollektorkreis

Ausgeschrieben

Damit ergibt sich

und

wobei

in die erste Gleichung eingesetzt wird.

Parameter des Modells

Damit hätte dein statisches Modell folgende Parameter:

Sättigungsstrom

Idealfaktor

Stromverstärkung bei kleinen Strömen

Early-Spannung des Kollektorstroms

Early-Spannung des Basisstroms

Knickstrom für den β-Abfall

interner Basiswiderstand

Didaktische Empfehlung

Für dein Manuskript würde ich allerdings vermutlich bei

stehen bleiben.

Erst danach ein Kapitel

„Erweiterungen des einfachen Modells“

mit

und

einführen.

Das ergibt eine sehr schöne Hierarchie:

1. Shockley

1. Shockley + β

1. Shockley + β + Early

1. Shockley + β + Early + β-Abfall

1. Shockley + β + Early + β-Abfall + Basiswiderstand

und jede Erweiterung entspricht unmittelbar Parametern, die auch im LTspice-Gummel-Poon-Modell vorkommen.

Ja, im Wesentlichen stimmt das. Die Idee ist dieselbe:

Die ideale Shockley-Gleichung

beschreibt nur den pn-Übergang selbst. Reale Bauelemente besitzen zusätzlich ohmsche Widerstände.

Dann ersetzt man

und erhält

bzw.

Das ist exakt dieselbe mathematische Struktur wie bei deinem Modell

Allerdings wäre ich vorsichtig mit der Aussage:

„Der Serienwiderstand ist der Faktor, der blaue LEDs gut approximiert.“

Er ist ein wichtiger Faktor, aber oft nicht der einzige.

Bei blauen InGaN-LEDs beobachtet man häufig:

1. Nichtkonstanter Idealfaktor n

1. Serienwiderstand R_ S

1. Selbsterwärmung

1. Rekombinationsmechanismen, die sich mit dem Strom ändern

Deshalb passt eine einzige Shockley-Kurve oft nur über 1--2 Stromdekaden.

Wenn du beispielsweise eine blaue LED misst, sieht die Kennlinie oft so aus:

• kleine Ströme: nahezu exponentiell

• mittlere Ströme: sehr gute Shockley-Näherung

• große Ströme: Spannung steigt stärker als exponentiell erwartet

Dieser letzte Effekt wird tatsächlich sehr gut durch

beschrieben.

Für Lehrzwecke würde ich sogar sagen:

Der Serienwiderstand einer LED spielt dieselbe Rolle wie der interne Basiswiderstand im erweiterten Transistormodell.

Beide beschreiben eine zusätzliche ohmsche Spannung, die bei hohen Strömen die ideale Exponentialkennlinie verlässt.

Deshalb ist dein Ansatz mit

V_eff = V_BE - I_B*R_B_int

genau dieselbe Art von Korrektur, die man bei LEDs mit einem Serienwiderstand verwendet.

Für Lehrzwecke ist das eine sehr schöne Frage, denn praktisch alle deine Parameter lassen sich direkt aus Kennlinien extrahieren.

1. IS und NF aus der Eingangskennlinie

Man misst bei festem V_CE:

Im aktiven Bereich gilt:

Logarithmieren:

Vorgehen

Halblogarithmische Darstellung:

ergibt eine Gerade.

Steigung:

daraus

Achsenabschnitt:

also

2. BF aus den Stromverstärkungskennlinien

Bei kleinem Kollektorstrom (weit unter IKF)

Einfach messen:

im linearen Bereich.

Bei einem Kleinsignaltransistor erhält man typischerweise:

• BC547: 100...500

• 2N3904: 100...300

3. VAF aus den Ausgangskennlinien

Du misst

für konstantes I_B.

Ideale Kennlinie:

IC

│ ─────────────

│

└────────────── VCE

Reale Kennlinie:

IC

│ /

│ /

│ /

└──/────────── VCE

Der Schnittpunkt der extrapolierten Geraden liegt bei

Beispiel

Wenn die Verlängerung die Spannungsachse bei

schneidet:

Genau das macht SPICE mit

4. VAR bzw. dein VAB

Das ist dasselbe Verfahren, aber für den Basisstrom.

Du misst:

bei konstantem V_BE.

Dann:

Extrapoliert man die Geraden zurück, erhält man:

In vielen Datenblättern findet man diese Kennlinien allerdings nicht.

Deshalb wird VAR häufig geschätzt oder auf einen plausiblen Wert gesetzt.

5. IKF aus dem β-Abfall

Du hast modelliert:

Dazu misst man:

über mehrere Dekaden Strom.

Typische Form:

β

│ _____

│ /

│_____/ \\

│ \\__

└────────────────── IC

IKF liegt ungefähr dort, wo β merklich abzufallen beginnt.

Genauer:

Bei

ergibt dein Modell

Daher:

IKF = der Strom, bei dem β auf etwa 70 % seines Maximalwertes gefallen ist.

6. RB bzw. RBM

Diesen Parameter erkennt man an der Krümmung der Eingangskennlinie bei großen Strömen.

Ohne RB:

Mit RB:

Bei hohen Strömen steigt V_BEstärker an als erwartet.

Bestimmung

Miss

und berechne

im Hochstrombereich.

Für dein Python-Modell

Die Parameter lassen sich folgendermaßen aus Messungen extrahieren:

Parameter Kennlinie -------------------- -------------------------------------------------- IS ln(I_C)gegen V_BE

NF Steigung von ln(I_C)gegen V_BE

BF I_C/I_Bbei kleinen Strömen

VAF Extrapolation der I_C(V_CE)-Kennlinien

VAR (= dein VAB) Extrapolation der I_B(V_CE)-Kennlinien

IKF β-Abfall auf ca. 70 %

RBM Steigung von V_BE(I_B)im Hochstrombereich -----------------------------------------------------------------------

Für eine Vorlesung würde ich genau diese sechs Messungen zeigen, weil man damit fast dein gesamtes erweitertes Modell identifizieren kann.

#include <Arduino.h>
#include "config.h"
#include "modbus.h"
#include "ad_da.h"
void setup() {
  setup_modbus();
  setup_ad_da();
} // setup
void loop() {
  WorkModbus();
  WorkAdDa();
} // loop
// ---------------- ad_da ----------------------------------------
#include <Wire.h>
#include <SPI.h>
#include "modbus.h"
#include "ad_da.h"
SPISettings SPISettings_AD7682(400000, MSBFIRST, SPI_MODE0);
SPISettings SPISettings_DAC8565(400000, MSBFIRST, SPI_MODE2);
uint16_t getAD7682(int aCS, uint8_t aKanal, uint16_t aRange){
  uint8_t c[2];
  digitalWrite(aCS, LOW);
  delayMicroseconds(1);
  aRange |= (aKanal << 9); // << (7+2)
  c[0]=highByte(aRange);
  c[1]=lowByte(aRange);
  SPI.transfer(c, 2);
  delayMicroseconds(1);
  digitalWrite(aCS, HIGH);
  delayMicroseconds(1);
  return (c[0]<<8) | c[1];
} // getAD7682
uint16_t calc_miw(uint16_t mw, uint16_t *miws, int *imiw, int NMIW){
  miws[*imiw]=mw;
  (*imiw)++;
  if (*imiw>=NMIW) *imiw=0;
  int miw_sum=miws[0];
  for (int n=1; n<NMIW; n++) miw_sum+=miws[n];
  return miw_sum / NMIW;
} // calc_miw
void ReadADCs(){
#define AD_MODE (0x2000 | 0x1C00 | 0x0008 | 0x0001) << 2 // CFG update | Unipol to GND | low BW, int 4,096V | no SEQ, no read CFG
  SPI.beginTransaction(SPISettings_AD7682);
  static uint16_t miws0[NMIW_AD]={}, miws1[NMIW_AD]={}, miws2[NMIW_AD]={}, miws3[NMIW_AD]={};
  static int imiw0=0,imiw1=0,imiw2=0,imiw3=0;
  // bei der Abfrage wird Kanal+1 angefragt und Kanal-1 geliefert:
  reg[REG_AD0+0]=getAD7682(PIN_CS_AD,2, AD_MODE); // cs2, CH0=Urc1, sigle 0..4V
  reg[REG_ADMIW+0]=calc_miw(reg[REG_AD0+0], miws0,&imiw0, NMIW_AD);
  reg[REG_AD0+1]=getAD7682(PIN_CS_AD,3, AD_MODE); // cs2, CH1=Urc2, sigle 0..4V
  reg[REG_ADMIW+1]=calc_miw(reg[REG_AD0+1], miws1,&imiw1, NMIW_AD);
  reg[REG_AD0+2]=getAD7682(PIN_CS_AD,0, AD_MODE); // cs2, CH2=Urb1, sigle 0..4V
  reg[REG_ADMIW+2]=calc_miw(reg[REG_AD0+2], miws2,&imiw2, NMIW_AD);
  reg[REG_AD0+3]=getAD7682(PIN_CS_AD,1, AD_MODE); // cs2, CH3=Urb2, sigle 0..4V
  reg[REG_ADMIW+3]=calc_miw(reg[REG_AD0+3], miws3,&imiw3, NMIW_AD);
  SPI.endTransaction();
} // ReadADCs
void setDAC8565(int aCS, int aKanal, uint16_t aWert){ // 4x DA 0..2.5V
  uint8_t c[3];
  digitalWrite(aCS, LOW);
  delayMicroseconds(1);
  c[0]=(aKanal << 1) | 0x10;
  c[1]=highByte(aWert);
  c[2]=lowByte(aWert);
  SPI.transfer(c, 3);
  delayMicroseconds(1);
  digitalWrite(aCS, HIGH);
  delayMicroseconds(1);
} // setDAC8565
void WriteDAs(){
  SPI.beginTransaction(SPISettings_DAC8565);
  setDAC8565(PIN_CS_DA, 0,reg[REG_DA0+0]); // UC
  setDAC8565(PIN_CS_DA, 1,reg[REG_DA0+1]); // UB
  // ch2, ch3: NC
  SPI.endTransaction();
} // WriteDAs

void setup_ad_da(){
  SPI.begin();
  pinMode(PIN_CS_AD, OUTPUT);
  pinMode(PIN_CS_DA, OUTPUT);
  digitalWrite(PIN_CS_AD, HIGH);
  digitalWrite(PIN_CS_DA, HIGH);
} // setup_ad_da
void WorkAdDa(){
  ReadADCs();
  WriteDAs();
} // WorkAdDa
// ---------------- ad_da ----------------------------------------
#ifndef __AD_DA_H__
#define __AD_DA_H__
#include "config.h"
extern "C"{
void setup_ad_da();
void WorkAdDa();
} // extern "C"
#endif /* ifndef */
// ---------------- config ----------------------------------------
#ifndef __CONFIG_H__
#define __CONFIG_H__
#include <Arduino.h>
#define SerialUSB Serial
#define MODBUS_ADR 1
#define PIN_CS_DA  5
#define PIN_CS_AD 17
#define PIN_MB_LED 22
#define REG_DA0          0  // 4 Register, Uc, Ub, NC,NC
#define REG_AD0          4  // 4 Register, Urc1, Urc2, Urb1, Urb2
#define REG_ADMIW        8  // 4 Register, wie REG_AD0 als Mittelwerte
#define MAX_REG         13  // 12=letzter Register
#define NMIW_AD   10 // Anzahl für Mittelwert
#endif /* ifndef */
// ---------------- modbus ----------------------------------------
#include "modbus.h"
uint16_t reg[MAX_REG]={0};
void setup_modbus(){
  SerialUSB.begin(115200);
  pinMode(PIN_MB_LED, OUTPUT);
  digitalWrite(PIN_MB_LED, LOW);
} // setup_modbus
char* max(char *a, char*b){
if (a<b) return b; else return a;
} // min
uint32_t MBword(char *a){
  return (*a << 8) | *(a+1);
}
void wordMB(uint32_t w, char *a){
  *a=w >> 8;
  a++;
  *a=w & 0xFF;
}
bool ReadByteUSB(char* a){
  if (SerialUSB.available()){
    *a=SerialUSB.read();
    return true;
  }
  return false;
} // ReadByteUSB
bool Sz(char a){
  return (((a>=1) && (a<=6)) || (a==8) || (a==15) || (a==16));
}
// -------------- crc modbus ---------------------------------------------------
// ---------------------- Modbus Checksum --------------------------------------
uint16_t modbus_crc(char *a, int len){
  //  Table of CRC values for high-order byte:
  static const unsigned char Modbus_auchCRCHi[256] = {
  0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,
  0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,
  0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,
  0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,
  0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,
  0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,
  0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,
  0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,
  0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,
  0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,
  0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,
  0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,
  0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,
  0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,
  0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,
  0x00,0xC1,0x81,0x40,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x01,0xC0,0x80,0x41,0x00,0xC1,0x81,0x40};
  // Table of CRC values for low-order byte:
  static const unsigned char Modbus_auchCRCLo[256] = {
  0x00,0xC0,0xC1,0x01,0xC3,0x03,0x02,0xC2,0xC6,0x06,0x07,0xC7,0x05,0xC5,0xC4,0x04,
  0xCC,0x0C,0x0D,0xCD,0x0F,0xCF,0xCE,0x0E,0x0A,0xCA,0xCB,0x0B,0xC9,0x09,0x08,0xC8,
  0xD8,0x18,0x19,0xD9,0x1B,0xDB,0xDA,0x1A,0x1E,0xDE,0xDF,0x1F,0xDD,0x1D,0x1C,0xDC,
  0x14,0xD4,0xD5,0x15,0xD7,0x17,0x16,0xD6,0xD2,0x12,0x13,0xD3,0x11,0xD1,0xD0,0x10,
  0xF0,0x30,0x31,0xF1,0x33,0xF3,0xF2,0x32,0x36,0xF6,0xF7,0x37,0xF5,0x35,0x34,0xF4,
  0x3C,0xFC,0xFD,0x3D,0xFF,0x3F,0x3E,0xFE,0xFA,0x3A,0x3B,0xFB,0x39,0xF9,0xF8,0x38,
  0x28,0xE8,0xE9,0x29,0xEB,0x2B,0x2A,0xEA,0xEE,0x2E,0x2F,0xEF,0x2D,0xED,0xEC,0x2C,
  0xE4,0x24,0x25,0xE5,0x27,0xE7,0xE6,0x26,0x22,0xE2,0xE3,0x23,0xE1,0x21,0x20,0xE0,
  0xA0,0x60,0x61,0xA1,0x63,0xA3,0xA2,0x62,0x66,0xA6,0xA7,0x67,0xA5,0x65,0x64,0xA4,
  0x6C,0xAC,0xAD,0x6D,0xAF,0x6F,0x6E,0xAE,0xAA,0x6A,0x6B,0xAB,0x69,0xA9,0xA8,0x68,
  0x78,0xB8,0xB9,0x79,0xBB,0x7B,0x7A,0xBA,0xBE,0x7E,0x7F,0xBF,0x7D,0xBD,0xBC,0x7C,
  0xB4,0x74,0x75,0xB5,0x77,0xB7,0xB6,0x76,0x72,0xB2,0xB3,0x73,0xB1,0x71,0x70,0xB0,
  0x50,0x90,0x91,0x51,0x93,0x53,0x52,0x92,0x96,0x56,0x57,0x97,0x55,0x95,0x94,0x54,
  0x9C,0x5C,0x5D,0x9D,0x5F,0x9F,0x9E,0x5E,0x5A,0x9A,0x9B,0x5B,0x99,0x59,0x58,0x98,
  0x88,0x48,0x49,0x89,0x4B,0x8B,0x8A,0x4A,0x4E,0x8E,0x8F,0x4F,0x8D,0x4D,0x4C,0x8C,
  0x44,0x84,0x85,0x45,0x87,0x47,0x46,0x86,0x82,0x42,0x43,0x83,0x41,0x81,0x80,0x40};
  unsigned char uchCRCHi=0xFF, uchCRCLo=0xFF;
  int uIndex,p;
  for (p=0; p<len; p++) {
    uIndex=(uchCRCHi ^ a[p]);
    uchCRCHi=(uchCRCLo ^ Modbus_auchCRCHi[uIndex]);
    uchCRCLo=Modbus_auchCRCLo[uIndex];
  }
  return((uchCRCHi<<8)|uchCRCLo);
} // modbus_crc
bool Modbus_chkCRC(char *a, int len){
  return (MBword(&a[len-2])==modbus_crc(a, len-2));
} // Modbus_chkCRC
void delCahrs(char *a, char **pa, int anz){
  *pa=max(a, *pa-anz);
  for (char* p=a; p<*pa; p++) *p=*(p+anz);
} // delChars
void setReg(uint16_t aReg, uint16_t aWert){
  if ((aReg<REG_AD0) && (reg[aReg]!=aWert)){
    reg[aReg]=aWert;
  }
} // setReg
void WorkModbus(){
  static char a[255], *pa=a;
  static int led_timer=0;
  char c;
  uint16_t SollLen,ServerAdr,RegAdr,Nreg,Nbyte,Ikanal;
  if (ReadByteUSB(&c)){
    *pa++=c;
    while ((pa-a>=8) && !Sz(a[1])) delCahrs(a,&pa,1);
    if (pa-a>=8){
      if ((a[1]==15) || (a[1]==16)) SollLen=a[6]+9; else SollLen=8;
      if (pa-a>=SollLen){
        if (Modbus_chkCRC(a, SollLen)) {
          digitalWrite(PIN_MB_LED, HIGH);
          led_timer=100;
          ServerAdr=a[0];
          if ((ServerAdr==0) || (ServerAdr==MODBUS_ADR)){
            char r[255], *pr=r;
            RegAdr=MBword(&a[2]);
            Nreg=MBword(&a[4]);
            switch (a[1]){
              case 1:
              case 2: // DI
                Nbyte=(Nreg+7) / 8;
                *pr++=a[0];
                *pr++=a[1];
                *pr++=Nbyte;
                for (int n=0; n<Nbyte; n++) *pr++=0;
                break;
              case 3:
              case 4: // WI
                Nreg=min(Nreg,(uint16_t)124);
                Nbyte=Nreg*2;
                Ikanal=RegAdr;
                *pr++=a[0];
                *pr++=a[1];
                *pr++=Nbyte;
                for (int n=0; n<Nreg; n++){
                  if (Ikanal<MAX_REG) wordMB(reg[Ikanal], pr); else wordMB(0, pr);
                  Ikanal++;
                  pr+=2;
                }
                break;
              case 5: // DO single
                // RegAdr, Bitwert in Nreg
                for (int n=0; n<6; n++) *pr++=a[n];
                break;
              case 6: // WO single
                setReg(RegAdr, Nreg); // Nr, Wert
                for (int n=0; n<6; n++) *pr++=a[n];
                break;
              case 8:
                for (int n=0; n<6; n++) *pr++=a[n];
                break;
              case 15: // DO multiple
                for (int n=0; n<6; n++) *pr++=a[n];
                break;
              case 16: // WO multiple
                Nreg=min(Nreg, (uint16_t)(a[6] / 2));
                Ikanal=RegAdr;
                pa=&a[7];
                for (int n=0; n<Nreg; n++){
                  setReg(Ikanal, MBword(pa)); // Nr, Wert
                  Ikanal++;
                  pa+=2;
                }
                for (int n=0; n<6; n++) *pr++=a[n];
                break;
            }
            if ((ServerAdr>0) && (pr>r)){ // 0=Broadcast: bearbeiten und nicht antworten
              wordMB(modbus_crc(r, pr-r), pr);
              pr+=2;
              SerialUSB.write(r, pr-r);
            }
          } // if ServerAdr ...
          delCahrs(a,&pa,SollLen);
        } else delCahrs(a,&pa,1);
      } // if pa-a>=SollLen
    } // if pa-a>=8
  } // if ReadByteUSB(&c)
  if (led_timer){
    led_timer--;
    if (!led_timer) digitalWrite(PIN_MB_LED, LOW);
  }
} // WorkModbus
// ---------------- modbus ----------------------------------------
#ifndef __MODBUS_H__
#define __MODBUS_H__
#include "config.h"
extern "C"{
extern uint16_t reg[MAX_REG];
void setup_modbus();
void WorkModbus();
} // extern "C"
#endif /* ifndef */

6 Das Gummel-Poon-Modell und seine SPICE-Parameter

6.1 Wo wir stehen — und wohin dieses Kapitel führt

In Teil I haben wir den Transistor vermessen: Der Kennlinienschreiber lieferte die Eingangs-, Übertragungs- und Ausgangskennlinien als Zahlenkolonnen, und das Vierquadranten-Kennlinienfeld hat diese Daten geordnet. In Teil II haben wir das numerische Handwerkszeug erarbeitet: Wir können nichtlineare Gleichungen mit Newton-Raphson lösen und ganze Netzwerke über das Knotenpotentialverfahren aufstellen — geübt an der Diode, deren Exponentialkennlinie uns dort zum ersten Mal begegnet ist.

Jetzt fügen sich beide Stränge zusammen. Die Messdaten beschreiben den Transistor — aber sie erklären ihn nicht, und sie lassen sich nicht in einen Schaltungssimulator stecken. Dazu braucht es ein Modell: einen Satz von Gleichungen mit wenigen Parametern, der die gemessenen Kennlinien reproduziert. Das Standardmodell der Schaltungssimulation ist das Gummel-Poon-Modell (1970), das jedem SPICE-Simulator — von LTspice bis ngspice — zugrunde liegt.

Dieses Kapitel baut das Modell Effekt für Effekt auf. Wir beginnen mit der idealen Exponentialkennlinie und ergänzen nacheinander genau die Abweichungen, die in unseren Messungen sichtbar werden:

1. die endliche Steigung der Ausgangskennlinien → Early-Effekt (V_A, SPICE VAF),
2. dieselbe Erscheinung im Basisstrom → Basis-Early-Effekt (V_AB, SPICE VAR),
3. der Abfall der Stromverstärkung bei großen Strömen → Hochinjektion (I_KF, SPICE IKF),
4. der Spannungsabfall im Basisbahngebiet → innerer Basiswiderstand (R_B,int, SPICE RBM).

Am Ende steht ein geschlossenes Gleichungssystem mit benannten Parametern und benannten Grenzen. Die beiden Anschlussfragen sind dann zwingend: Woher bekommen wir die Zahlenwerte der Parameter? — aus der Messung, Kapitel 7. Und wie löst man das nichtlineare System in einer konkreten Schaltung? — mit Newton-Raphson, Kapitel 8.

Grundannahmen dieses Kapitels (sofern nicht anders vermerkt): npn-Transistor im Vorwärts-Aktivbetrieb (V_BE gt;0, V_BC lt;0); Temperatur T=300 K; Quasistatik (keine Kapazitäten — das Frequenzverhalten folgt in Kapitel 13); Niedriginjektion außer der in Abschnitt 6.6 behandelten Hochstromkorrektur. Alle Gleichungen sind in den Klemmenspannungen V_BE und V_CE formuliert.

6.2 Ausgangspunkt: der Transistor als gesteuerte Quelle

Ein npn-Transistor besteht aus zwei gegeneinander geschalteten pn-Übergängen — Emitter–Basis und Kollektor–Basis — mit einer sehr dünnen Basis dazwischen. Im Aktivbetrieb ist die BE-Diode in Flussrichtung gepolt, die BC-Diode in Sperrrichtung. Die über die BE-Diode in die Basis injizierten Elektronen diffundieren durch die dünne Basis und werden vom Feld der gesperrten BC-Diode zum Kollektor „abgesaugt". Der Kollektorstrom wird also von der Spannung V_BE gesteuert — der Transistor ist eine spannungsgesteuerte Stromquelle.

Das klassische Ebers-Moll-Modell beschreibt beide Übergänge durch ihre Diodengleichungen. Im Vorwärts-Aktivbetrieb dominiert der Vorwärts-Transportstrom

mit dem Transport-Sättigungsstrom I_S. Idealerweise ist I_C ≈ I_CC und I_B = I_CC/β_F. Was Ebers-Moll nicht erfasst — Early-Effekt, Hochinjektion, Bahnwiderstände — ergänzt das Gummel-Poon-Modell. Genau diese Lücken schließen wir jetzt Schritt für Schritt.

6.3 Die ideale Kennlinie und die Thermospannung

Der Kollektorstrom im Aktivbetrieb folgt der Shockley-Gleichung (für V_BE≫ V_T ist die -1 vernachlässigbar):

Darin ist n der Emissionskoeffizient (SPICE NF, ideal n≈ 1) und V_T die Thermospannung. Sie ist keine Materialeigenschaft, sondern eine Naturkonstanten-Kombination — und damit der Anker, an dem später die Steigung des Gummel-Plots hängt:

Zwei Eigenschaften dieser Kennlinie tragen das ganze Kapitel:

• Sie ist steil: pro n V_Tln 10 ≈ 60 mV Spannungserhöhung wächst I_C um den Faktor 10. Deshalb erscheint die Kennlinie im halblogarithmischen Gummel-Plot als Gerade (Abbildung 6.1) — das nutzen wir in Kapitel 7 zur Bestimmung von I_S und n.
• Sie ist nichtlinear: Jede Schaltungsrechnung mit ihr führt auf transzendente Gleichungen — deshalb brauchten wir Teil II.

Rechenbeispiel 6.1 — die Steilheit greifbar gemacht. Der BC337-25 (I_S=4,1·10^-14A, n=1) soll I_C = 5 mA führen. Auflösen der Kennlinie nach V_BE: $V_BE = n V_T ln(I_C)/(I_S) = 25,85 mV·ln(5·10^-3)/(4,1·10^-14) = 25,85 mV· 25,52 = 660 mV.Für den doppelten Strom (10\,mA) braucht es nur25{,}85\,\text{mV}\cdot\ln 2 = 17{,}9\,\text{mV}mehr — die gesamte Nutzstromspanne eines Kleinsignaltransistors spielt sich in wenigen zehn MillivoltV_{BE}ab. Das erklärt, warum Arbeitspunkte nie überV_{BE}$ „eingestellt", sondern immer über Widerstände stabilisiert werden (Kapitel 8).

Der Basisstrom folgt im idealen Modell mit konstanter Stromverstärkung β_F (SPICE BF):

In der Praxis ist β jedoch strom- und spannungsabhängig — die Messung in Kapitel 3 hat das bereits gezeigt. Die folgenden Abschnitte bauen diese Abhängigkeiten einzeln ins Modell ein.

6.4 Erste Erweiterung: der Early-Effekt (V_A, SPICE VAF)

(1) Beobachtung in der Messung. Die gemessenen Ausgangskennlinien I_C(V_CE) sind im aktiven Bereich nicht exakt waagerecht — sie steigen leicht mit V_CE an. Das ideale Modell aus 6.3 kennt aber gar keine V_CE-Abhängigkeit. Hier fehlt also ein Effekt.

(2) Physikalische Ursache. Steigt V_CE, weitet sich die Raumladungszone des gesperrten Kollektor-Basis-Übergangs in die Basis hinein aus. Die effektive Basisweite sinkt (Basisweitenmodulation), der Diffusionsgradient der Elektronen in der Basis wird steiler — und mit ihm steigt der Kollektorstrom. Dieser Effekt heißt nach James Early (1952) Early-Effekt.

(3) Modellterm. Die Kennlinie erhält einen linearen Korrekturfaktor:

mit der Early-Spannung V_A (SPICE VAF, typisch 50–200 V).

(4) Geometrische Deutung — zugleich Messvorschrift. Extrapoliert man die flachen Äste aller Ausgangskennlinien nach links, schneiden sie die V_CE-Achse (näherungsweise) in einem gemeinsamen Punkt V_CE=-V_A (Abbildung 6.2). Je größer V_A, desto flacher die Kennlinien, desto idealer der Transistor. Genau diese Konstruktion wird in Kapitel 7 zur Bestimmung von V_A verwendet — der Modellterm liefert seine Messvorschrift also gleich mit.

Rechenbeispiel 6.2 — wie groß ist der Effekt? Arbeitspunkt I_C = 5 mA bei V_CE=5 V, V_A=146V. Steigt V_CE um 5 V auf 10 V, wächst der Kollektorstrom um den Faktor $(1+10/146)/(1+5/146) = (1,0685)/(1,0342) = 1,033,also um 3,3 % auf5{,}17\,\text{mA}. Klein — aber genau diese 3 % sind die endliche Steigung, die der Kurventracer sichtbar macht, und ihr Kehrwert bestimmt den Ausgangswiderstand:r_{CE}\approx V_A/I_C = 146\,\text{V}/5\,\text{mA} = 29\,\text{k}\Omega$.

(5) Konsequenz für das Kleinsignalverhalten. Ableiten der Early-Gleichung nach V_CE ergibt den differentiellen Ausgangsleitwert

denn der Ausdruck vor 1/V_A ist gerade der Arbeitspunkt-Kollektorstrom. Der Early-Effekt ist damit der physikalische Ursprung des endlichen Ausgangswiderstands r_CE≈ V_A/I_C — diesen Faden nehmen wir in Kapitel 11 (h_22e) wieder auf.

(6) Zahlenbeispiel BC337-25. Aus den Messungen (Kapitel 7) folgt V_A ≈ 146 V; das Datenblatt-SPICE-Modell nennt 145,7 V — eine erste Bestätigung, dass Modellterm und Wirklichkeit zusammenpassen.

6.5 Zweite Erweiterung: der Basis-Early-Effekt (V_AB, SPICE VAR)

Die Basisweitenmodulation verändert nicht nur den Kollektorstrom, sondern auch den Basisstrom — dieselbe Ursache, ein zweiter Wirkungsort. SPICE modelliert dies analog mit der Basis-Early-Spannung V_AB (SPICE VAR, typisch 100–500 V):

(Die Größen β_eff und V_BE,eff werden in den nächsten beiden Abschnitten eingeführt; für den Moment gilt β_eff=β_F und V_BE,eff=V_BE.)

Für V_AB→∞ verschwindet der Effekt. In der Praxis ist V_AB meist deutlich größer als V_A — der Basis-Early-Effekt ist also schwächer als sein Kollektor-Gegenstück. Er wirkt unscheinbar, trägt aber eine wichtige Konsequenz: Er ist die physikalische Quelle der Spannungsrückwirkung h_12e im Vierpolmodell (Kapitel 11). Ein Modell ohne VAR hat zwingend h_12e=0 — das werden wir dort als benannte Modellgrenze wiederfinden.

6.6 Dritte Erweiterung: Hochinjektion (I_KF, SPICE IKF)

(1) Beobachtung. Trägt man die gemessene Stromverstärkung h_FE=I_C/I_B über I_C auf, fällt sie bei großen Strömen ab (Abbildung 6.3). Das ideale Modell mit konstantem β_F kann das nicht erklären.

(2) Physikalische Ursache. Bei großen Kollektorströmen wird die injizierte Ladungsträgerdichte in der Basis mit der Basisdotierung vergleichbar — man spricht von Hochinjektion. Zwei Mechanismen drücken dann die Verstärkung:

• Webster-Effekt: Die Rekombination in der Basis wächst überproportional, das Verhältnis I_C/I_B sinkt.
• Kirk-Effekt: Bei sehr hohen Stromdichten verlagert sich die Kollektor-Raumladungszone in die Epitaxieschicht — die Basis „weitet sich aus".

(3) Herleitung des Modellterms. Das Gummel-Poon-Modell fasst beide Mechanismen über die normierte Basisladung q_B = Q_B/Q_B0 zusammen. Näherungsweise gilt

mit den beiden Grenzfällen

Da der Transportstrom umgekehrt proportional zur Basisladung ist (I_C propto 1/q_B), wird die wirksame Verstärkung durch q_B geteilt:

Der Vorwärts-Kniestrom I_KF (SPICE IKF, typisch 10 mA–1 A) markiert die Grenze: Bei I_C=I_KF ist β um den Faktor √(2) gefallen; weit darüber sinkt β mit 1/√(I_C).

(4) Zahlenbeispiel — und eine wichtige Vorwegnahme. Für den BC337-25 gilt I_KF≈ 0,9 A. Unsere Kennlinien wurden bis I_C ≤ 11 mA gemessen, also I_C/I_KF ≲ 0,01:

— ein Abfall um 0,6 %, unterhalb jeder Messauflösung. Erst bei I_C = I_KF = 0,9A fiele β auf 292/√2 = 206. Der Abfall liegt also außerhalb des Messfensters (grüner Bereich in Abbildung 6.3). Das hat eine Konsequenz, die in Kapitel 7 zum Prinzip erhoben wird: Ein Parameter, dessen Effekt im Messbereich nicht sichtbar ist, kann aus diesen Messungen auch nicht bestimmt werden.

6.7 Vierte Erweiterung: der innere Basiswiderstand (R_B,int, SPICE RBM)

(1) Physikalische Ursache. Das Basisgebiet ist dünn und lateral ausgedehnt; der Basisstrom muss durch dessen Bahnwiderstand fließen. Dieser innere Basiswiderstand R_B,int (SPICE RBM, typisch 1–50 Ω) verursacht einen ohmschen Spannungsabfall — die am Übergang wirksame Basis-Emitter-Spannung ist kleiner als die Klemmenspannung:

Nur V_BE,eff treibt den Übergang; in allen Exponentialtermen des Basisstroms ist fortan V_BE durch V_BE,eff zu ersetzen.

Rechenbeispiel 6.3 — Millivolt, die zählen. BC337-25 im Arbeitspunkt I_C=5mA: I_B ≈ 5 mA/290 = 17,2 µA. Mit R_B,int = 60 Ω folgt $Δ V = I_B R_B,int = 17,2 µA· 60 Ω = 1,03 mV.Ein einziges Millivolt — aber die Exponentialkennlinie übersetzt es ine^{1{,}03/25{,}85}-1 \approx 4\,\%$ Stromänderung. Bei zehnfachem Strom sind es bereits 10 mV und über 40 %: Der innere Basiswiderstand wird zum dominanten Effekt des Hochstrombereichs — dort krümmt er den Gummel-Plot sichtbar nach unten (Kapitel 7 nutzt genau diese Signatur, um seine Bestimmbarkeit zu beurteilen).

(2) Die implizite Kopplung — eine strukturelle Eigenschaft. Hier entsteht eine Besonderheit, die uns durch die Kapitel 8 und 9 begleiten wird: I_B hängt von V_BE,eff ab, und V_BE,eff über den Spannungsabfall wiederum von I_B. Die Gleichung ist implizit — es gibt keine geschlossene Auflösung. In einem Simulationsmodell (Simulink, Kapitel 9) äußert sich das als algebraische Schleife. Sauber löst man sie

• physikalisch, indem man eine kleine Basis-Kapazität einführt (Knotengleichung C dot V_BE,eff = (V_BE-V_BE,eff)/R_B,int - I_B; im stationären Zustand exakt), oder
• numerisch durch einen Fixpunkt- oder Newton-Löser — genau das Verfahren aus Teil II, und genau so macht es SPICE intern.

Ein bloßes Verzögerungsglied (z^-1) bricht die Schleife zwar auf, ist wegen der steilen Exponentialfunktion aber instabilitätsgefährdet. Wenn schon, dann bricht man die Schleife an der Spannung V_BE,eff auf, nicht am Strom — die Spannung ändert sich zwischen zwei Iterationen um Millivolt, der Strom um Größenordnungen.

6.8 Das vollständige Modell

Alle vier Erweiterungen zusammengenommen — jede einzeln hergeleitet, jede mit benannter Ursache — ergeben das Gleichungssystem dieses Buches:

Gültigkeitsbereich: Vorwärts-Aktivbetrieb (keine Sättigung, kein Inversbetrieb), T=300 K, Quasistatik, Niedriginjektion bis auf die über I_KF erfasste Hochstromkorrektur.

Benannte Modellgrenze. Reale Kleinsignaltransistoren zeigen bei kleinen Strömen einen leichten h_FE-Anstieg (Rekombination in der BE-Sperrschicht; im vollen Gummel-Poon-Modell über den Leckterm ISE/NE beschrieben). Unser Modell enthält diesen Effekt bewusst nicht — er bleibt in Kapitel 7 als kleine, ausgewiesene Restabweichung zwischen Modell und Messung sichtbar. Ein Modell, dessen Grenzen benannt sind, ist mehr wert als ein scheinbar vollständiges, dessen Terme man nicht bestimmen kann.

6.9 Das Modell zum Anfassen: die Python-Implementierung

Ein Modell versteht man erst, wenn man es rechnen lässt. Das komplette Gleichungssystem aus 6.8 passt in wenige Zeilen Python — genau diese Funktionen bilden den Kern aller Werkzeuge dieses Buches (von der Parameterextraktion in Kapitel 7 bis zur Arbeitspunktsuche in Kapitel 8):

import numpy as np

# ---- Modellparameter BC337-25 (aus Kapitel 7 bzw. Datenblatt) ----
IS   = 4.1e-14   # A   Transport-Saettigungsstrom      (SPICE IS)
NF   = 1.0       # -   Emissionskoeffizient            (SPICE NF)
BETA = 292.0     # -   ideale Stromverstaerkung        (SPICE BF)
VA   = 146.0     # V   Early-Spannung                  (SPICE VAF)
VAB  = 200.0     # V   Basis-Early-Spannung            (SPICE VAR)
IKF  = 0.9       # A   Kniestrom Hochinjektion         (SPICE IKF)
RBI  = 60.0      # Ohm innerer Basiswiderstand         (SPICE RBM)
VT   = 0.02585   # V   Thermospannung bei 300 K

def beta_eff(ic):
    """Webster-Formel: stromabhaengige Verstaerkung (Abschn. 6.6)."""
    return BETA / np.sqrt(1.0 + ic / IKF)

def v_be_eff(v_be, i_b):
    """wirksame BE-Spannung nach Abfall an R_B,int (Abschn. 6.7)."""
    return v_be - i_b * RBI

def i_c_modell(v_be, v_ce):
    """Kollektorstrom mit Early-Effekt (Abschn. 6.4)."""
    return IS * np.exp(v_be / (NF * VT)) * (1.0 + v_ce / VA)

def i_b_modell(v_be_wirksam, v_ce, ic):
    """Basisstrom mit Basis-Early und beta_eff (Abschn. 6.5/6.6)."""
    return (IS / beta_eff(ic)) * np.exp(v_be_wirksam / (NF * VT)) \
           * (1.0 + v_ce / VAB)

Man beachte, wie die implizite Kopplung aus Abschnitt 6.7 hier sichtbar wird: i_b_modell braucht die wirksame Spannung v_be_eff(v_be, i_b) — die aber den Basisstrom i_b bereits enthält. Wer die Funktionen naiv nacheinander aufruft, rechnet mit dem Basisstrom der vorigen Iteration; die konsistente Lösung liefert erst der Newton-Löser in Kapitel 8. Für den Aktivbetrieb bei moderaten Strömen konvergiert alternativ eine einfache Fixpunktiteration (I_B⁽⁰⁾=0, dann wenige Male I_B^(k+1) aus V_BE-I_B^(k)R_B,int berechnen) — die Korrektur ist ja nur millivoltklein (Rechenbeispiel 6.3).

Ein kurzer Testlauf im Arbeitspunkt aus den Rechenbeispielen (V_BE=660mV, V_CE=5V) verankert die Zahlen:

vbe, vce = 0.660, 5.0
ic = i_c_modell(vbe, vce)                 # -> 5.20 mA (5 mA ideal + 3.4 % Early)
ib = ic / beta_eff(ic)                    # -> 17.9 uA  (Startwert)
ib = i_b_modell(v_be_eff(vbe, ib), vce, ic)   # eine Fixpunkt-Korrektur
print(ic, ib, ic/ib)                      # 5.20 mA, 17.0 uA, beta ~ 305

Schon dieser Dreizeiler zeigt das Zusammenspiel der Effekte: Der Early-Faktor hebt den idealen 5-mA-Punkt um 3,4 % an (Rechenbeispiel 6.2), der innere Basiswiderstand drückt den Basisstrom um gut 4 % (Rechenbeispiel 6.3), und β_eff bleibt bei diesen Strömen praktisch β_F (Rechenbeispiel in 6.6).

Sämtliche Abbildungen dieses Kapitels sind mit genau diesen Funktionen erzeugt (kap06_plots.py im Begleitmaterial) — es gibt keine „Illustrationen", nur gerechnetes Modell. Das ist das Reproduzierbarkeits-Prinzip des Buches: Jede Kurve lässt sich aus Code und Parametern nachvollziehen.

6.10 Die SPICE-Parameter im Überblick

Damit ist jeder Parameter des Modells eingeführt, physikalisch begründet und einem SPICE-Namen zugeordnet:

Die weiteren Gummel-Poon-Parameter (BR, ISC, NC, IKR, RC, RE für Invers- und Sperrbetrieb; CJE, CJC, TF, TR für die Dynamik) werden erst gebraucht, wenn Inversbetrieb oder Frequenzverhalten ins Spiel kommen — Letzteres in Kapitel 13. Für den Vorwärts-Aktivbetrieb bei Gleichstrom ist der obige Satz vollständig.

6.11 Ideal gegen erweitert — was das Modell leistet

Der Preis der Genauigkeit steht in der vorletzten Zeile: Das erweiterte Modell ist analytisch nicht mehr auflösbar. Was im idealen Modell eine Zeile Rechnung war, wird zum nichtlinearen Gleichungssystem — und damit zur Aufgabe für das Handwerkszeug aus Teil II.

6.12 Zusammenfassung und Ausblick

1. Das Gummel-Poon-Modell erweitert die ideale Exponentialkennlinie um vier messbare Effekte: Early (V_A), Basis-Early (V_AB), Hochinjektion (I_KF) und inneren Basiswiderstand (R_B,int) — durchgehend formuliert in den Klemmenspannungen V_BE, V_CE.
2. Jeder Modellterm bringt seine Messvorschrift mit: die Gummel-Plot-Gerade für I_S und n, den gemeinsamen Achsenschnittpunkt für V_A, das h_FE-Plateau für β_F, den Hochstromabfall für I_KF.
3. Zwei strukturelle Eigenschaften prägen alles Weitere: die Nichtlinearität (kein geschlossener Arbeitspunkt) und die implizite Kopplung über V_BE,eff (algebraische Schleife).

Damit ist das Modell vollständig — aber es ist noch eine Hülle: Seine Parameter sind Buchstaben. Kapitel 7 füllt sie mit Zahlen: aus den selbst gemessenen Kennlinien, Schritt für Schritt, mit jeder Annahme und jeder Grenze der Bestimmbarkeit. Danach löst Kapitel 8 das Modell in einer realen Schaltung, und Kapitel 9 lässt es in LTspice und Simulink gegen die Messung antreten.

7 Parameterextraktion: vom Messwert zum Zahlenwert

7.1 Sinn und Ziel dieses Kapitels

Warum dieses Kapitel das Scharnier des Buches ist: Kapitel 6 hat das Modell aufgebaut — aber seine Parameter sind Buchstaben. Wer sie aus dem Datenblatt oder einer heruntergeladenen .model-Karte übernimmt, simuliert einen Katalog-Transistor, nicht das Bauteil auf seinem Tisch: h_FE streut in der Serie um den Faktor 4, und ob die Katalogwerte je an einem Exemplar gemessen wurden, weiß niemand. Dieses Kapitel schließt die Lücke zwischen Theorie und Praxis: Es macht aus den selbst gemessenen Kennlinien (Teil I) den Parametersatz des eigenen, konkreten Transistors — nachvollziehbar bis in jede Formel und jeden Ablesewert. Erst damit werden die Simulationen der Kapitel 8 und 9 zu überprüfbaren Aussagen über dieses Bauteil.

Nach diesem Kapitel können Sie: aus dem Gummel-Plot den Sättigungsstrom I_S und den Idealfaktor n extrahieren — grafisch per Geradenfit und von Hand über zwei Messpunkte, die Stromverstärkung β_F aus dem I_C/I_B-Plateau bestimmen, die Early-Spannung V_A durch Extrapolation des Ausgangskennfelds ermitteln, den Knickstrom I_KF über das 70,7-%-Kriterium ablesen — und erkennen, wann er nicht ablesbar ist, den inneren Basiswiderstand R_B,int aus der Kompression der Eingangskennlinie berechnen, mit globalem Fit und Identifizierbarkeitsanalyse beurteilen, welche Parameter wirklich „aus den Daten" kommen — und welche nur gesetzt sind.

Der Fahrplan. Die Extraktion folgt einer festen Reihenfolge, denn spätere Parameter bauen auf früheren auf:

Die Extraktion folgt einer festen Reihenfolge, denn spätere Parameter bauen auf früheren auf:

Und wir gehen den Weg zweimal, mit Absicht:

• Durchlauf 1 — BC337-25 am Kurventracer: Hier entwickeln wir die

Methode Schritt für Schritt und erweitern sie am Ende um zwei Werkzeuge, die über das übliche Vorgehen hinausgehen: den globalen Fit über alle Kennlinienfelder und die Identifizierbarkeitsanalyse.

• Durchlauf 2 — BC547 am eigenen Kennlinienschreiber (Kapitel 2):

Derselbe Weg, eigenständig durchgerechnet mit Zwei-Punkt-Auswertungen, die sich vollständig von Hand nachvollziehen lassen — der Beleg, dass die Methode nicht am Gerät hängt.

Dass beide Durchläufe teils unterschiedliche Antworten auf dieselbe Frage geben (beim einen ist I_KF bestimmbar, beim anderen nicht), ist kein Makel, sondern die zentrale Lektion dieses Kapitels — sie wird in Abschnitt 7.11 auf den Punkt gebracht.

7.2 Die Messdatenbasis

Messprinzip. Ein Kennlinienschreiber legt definierte Spannungs- bzw. Stromrampen an den Prüfling und zeichnet die Ströme auf. Für die vollständige Extraktion braucht es drei Messreihen:

Die Basis-Early-Spannung V_AB (VAR) ist messtechnisch deutlich aufwendiger (sie verlangt die V_CE-Abhängigkeit von I_B bei sehr hoher Stromauflösung); in der Praxis übernimmt man sie aus dem Datenblatt oder schätzt sie mit der Faustregel V_AB≈ 2 V_A — ihr Einfluss auf die Schaltungsanalyse ist klein (Kapitel 6.5).

Zwei Fallstricke schon bei der Messung:

• Thermische Drift: I_S verdoppelt sich näherungsweise alle

8–10 K. Der Kennlinienschreiber muss die Selbsterwärmung klein halten (Pulsmessung, Strombegrenzung), sonst verschieben sich alle abgeleiteten Parameter mit der Messzeit.

• Serienstreuung: h_FE streut beim BC547 herstellerseitig um

den Faktor 4 (Klassengrenzen 110–800). Jede Extraktion gilt nur für das konkrete Exemplar — genau deshalb misst man selbst, statt Katalogwerte zu übernehmen.

Für Durchlauf 1 liegen fünf Kennlinienfelder des BC337-25 als Kurventracer-Dateien vor (Ic_Vbe, Ic_Vce, Ic_Ib, hFE_Ic, hFE_Vce); Durchlauf 2 nutzt die Messreihen des eigenen Kennlinienschreibers aus Kapitel 2.

7.3 Schritt 1: I_S und n aus dem Gummel-Plot

Prinzip. Im halblogarithmischen Gummel-Plot wird die Exponentialkennlinie zur Geraden (Abbildung 6.1):

Steigung und Achsenabschnitt sind die beiden Messgrößen:

Praktische Auswertung über zwei Punkte. Für die Handauswertung genügen zwei Punkte (V_BE1,I_C1), (V_BE2,I_C2) aus dem linearen Bereich:

Rechenbeispiel 7.1 — BC547, von Hand. Zwei Punkte aus dem linearen Ast (V_CE=5V, Raumtemperatur): V_BE1=0,600V → I_C1=0,5mA und V_BE2=0,660V → I_C2=5,0mA. $n=(0,060)/(0,02586·ln 10) =(0,060)/(0,05954)=1,008≈ 1,0,I_S=(0,5 mA)/(e^{0,600/(1,008· 0,02586)}) =(5·10^-4)/(9,9·10⁹)=5,0·10^-14 A.Zum Vergleich Durchlauf 1 (BC337-25, Geradenfit statt zwei Punkte):n=1{,}004,I_S=4{,}8\cdot10^{-14}\,A — zwei Bauteile, zwei Messgeräte, dieselbe Größenordnung undn\approx 1$: der Diffusionsstrom dominiert, wie es die Theorie für Silizium verlangt.

Die Fensterwahl ist die halbe Auswertung. Ausgewertet werden darf nur der rein exponentielle Ast:

• Nach unten begrenzen Leckströme und der Rausch-/Quantisierungsboden

des Messgeräts die Gerade (beim Kurventracer ≈ 5 µA) — darunter krümmt sie sich nach oben.

• Nach oben krümmen Hochinjektion und R_B,int die Gerade

nach unten.

Wie empfindlich das ist, zeigte Durchlauf 1 drastisch: Ein zu weit gewähltes Fenster lieferte zunächst n≈ 3,5 — ein unphysikalischer Wert (Silizium: n≈1,0; n gt;1,05 deutet auf Sperrschicht-Rekombination hin, n=3,5 auf nichts als ein falsches Fenster). Plausibilitätskontrolle gegen die Physik gehört zu jedem Extraktionsschritt.

7.4 Schritt 2: β_F aus dem Verstärkungs-Plateau

Da der Gummel-Plot I_C und I_B über V_BE enthält, liefert er die Stromverstärkung gleich mit:

Weil β stromabhängig ist (Kapitel 6.6), nimmt man als SPICE-Wert BF das Plateau der β(I_C)-Kurve im mittleren Strombereich — dort, wo weder Kleinstrom-Rekombination noch Hochinjektion stören.

Rechenbeispiel 7.2 — BC547. Im Plateaubereich (typisch I_C=1…10mA): I_C=2,0mA, I_B=6,9 µA → $β_F = (2,0 mA)/(6,9 µA) ≈ 290.Das liegt in derh_{FE}-Klasse B (200–450) des BC547. Durchlauf 1 (BC337-25): Plateau\beta_F\approx 250\ldots275$.

7.5 Schritt 3: V_A aus dem Ausgangskennfeld

Prinzip. Im aktiven Bereich ist jede Ausgangskennlinie näherungsweise eine Gerade I_C = I_C0 (1+V_CE/V_A); rückwärts verlängert schneiden alle die V_CE-Achse bei -V_A (Abbildung 6.2). Aus zwei Punkten derselben Kennlinie (gleiches I_B) folgt V_A geschlossen — man setzt beide Punkte in die Geradengleichung ein und eliminiert I_C0:

Vorgehen: zwei möglichst weit auseinanderliegende Punkte im aktiven Bereich wählen (kleiner Ablesefehler!), für 2–3 weitere I_B-Stufen wiederholen, Ergebnisse mitteln.

Rechenbeispiel 7.3 — BC547. Kennlinie I_B=20 µA: (5 V, 5,80 mA) und (20 V, 6,67 mA): $V_A=(20·5,80-5·6,67)/(6,67-5,80) V =(82,65)/(0,87) V≈ 95 V.Literaturbereich BC547: 70…100 V — passt. Durchlauf 1 (BC337-25) ergabV_A\approx110\ldots150\,V mit deutlicher Streuung über dieI_B-Stufen:V_A$ ist prinzipbedingt nur schwach bestimmt, weil eine kleine Steigung gemessen und weit extrapoliert wird — das quantifiziert die Identifizierbarkeitsanalyse in 7.11.

7.6 Schritt 4: I_KF aus dem Verstärkungsabfall

Prinzip. Die Webster-Formel (Kapitel 6.6) macht aus der Definition eine Messvorschrift: Bei I_C=I_KF ist

Vorgehen: β=I_C/I_B halblogarithmisch über I_C auftragen, Plateauwert β_F ablesen, dann den Strom suchen, bei dem β auf 70,7 % des Plateaus gefallen ist — das ist I_KF.

Rechenbeispiel 7.4 — BC547. Plateau β_F=290 → 0,707·290 = 205. Abgelesen: β=205 bei $I_KF≈ 80 mA.Das passt zur DatenblattgrenzeI_{C,\max}=100\,$mA — der Hochstromabfall setzt beim BC547 also schon innerhalb des zulässigen Strombereichs spürbar ein.

Der Kontrast, auf den es ankommt: In Durchlauf 1 endet die Messung bei I_C=11mA — der BC337-25 hat sein Knie aber erst bei ≈0,9A. Der Abfall liegt zwei Dekaden außerhalb des Messfensters (Abbildung 7.4): I_KF ist dort nicht bestimmbar, nur eine untere Schranke lässt sich angeben; der Wert kommt aus dem Datenblatt. Derselbe Parameter, dieselbe Methode — einmal messbar, einmal nicht. Was ihn bestimmbar macht, ist allein das Verhältnis von Messfenster zu Kniestrom.

7.7 Schritt 5: R_B,int aus der Eingangskennlinie

Prinzip. Der innere Basiswiderstand „verbiegt" die Eingangskennlinie bei hohen Strömen zu größeren V_BE-Werten — wie ein Vorwiderstand an einer LED:

Dabei wird der ideale Verlauf aus den bereits bestimmten Parametern berechnet: V_BE,ideal(I_B)=n V_Tln(β_F I_B/I_S) — deshalb steht dieser Schritt zwingend am Ende der Reihenfolge.

Rechenbeispiel 7.5 — BC547. Bei I_B=1mA: $V_BE,ideal = 1,01·25,86 mV· ln(290·10^-3)/(5,0·10^-14) ≈ 0,768 V, V_BE,gemessen = 0,783 VR_B,int = (0,783-0,768)/(1 mA) = 15 Ω.Typisch für Kleinsignal-npn sind 5…30 Ω — plausibel. Messtechnische Warnung: Kontaktwiderstände der Messspitzen gehen ununterscheidbar in dieselbe Differenz ein und lassenR_{B,\text{int}}systematisch zu groß erscheinen — Vierleitermessung oder Kalibrierung ist hier Pflicht. In Durchlauf 1 (Messung nur bis 11 mA) blieb der Hochstrom-Knick des Gummel-Plots unsichtbar:R_B$ dort nicht bestimmbar → Datenblattwert.

7.8 Die Parametersätze beider Durchläufe

BC547 (eigener Kennlinienschreiber, Zwei-Punkt-Auswertungen):

Auffälligster Realitätsabgleich: Der echte Kniestrom (80 mA) liegt sechsmal niedriger als der Demo-Wert — bei Arbeitspunkten oberhalb einiger zehn Milliampere ist der β-Abfall beim BC547 also nicht vernachlässigbar. Kapitel 8 rechnet mit genau diesem gemessenen Satz.

BC337-25 (Kurventracer, Geradenfits): I_S=4,8·10^-14A, n=1,004, β_F≈274, V_A≈146V (Mittel); I_KF und R_B nicht bestimmbar → Datenblatt (0,9 A; 60 Ω).

7.9 Über die Handauswertung hinaus: der globale Fit

Die Feature-für-Feature-Extraktion (Gerade hier, Plateau dort) nutzt jeweils nur einen Ausschnitt der Daten. Man kann stattdessen alle fünf Kennlinienfelder gleichzeitig an das komplette Modell aus Kapitel 6.8 anpassen. In Durchlauf 1 geschieht das mit dem Nelder-Mead-Verfahren (ableitungsfrei — es braucht nur Funktionswerte, keine Gradienten). Die Kostenfunktion ist das mittlere quadratische Residuum, datensatzweise gewichtet: der Gummel-Plot im logarithmischen Maß (sonst dominieren die großen Ströme alles), die übrigen Felder im relativen Maß.

Der globale Fit hat zwei Vorzüge — und eine Falle:

• Er nutzt die gesamte Information und mittelt Ablesefehler heraus.
• Er liefert ein konsistentes Parameterset statt einzeln

bestimmter, potenziell widersprüchlicher Werte.

• Aber: Er konvergiert immer — auch auf Parameter, die die Daten

gar nicht hergeben. Ob ein Wert dem Datensatz entstammt oder nur dem Startwert, sieht man dem Fit nicht an. Genau dafür braucht es den nächsten Abschnitt.

7.10 Der Transparenzschritt: Identifizierbarkeit

Ein Parameter ist nur dann aus den Daten bestimmbar, wenn die Kostenfunktion empfindlich auf ihn reagiert. Der Test ist denkbar einfach: jeden Parameter einzeln um +20 % stören und messen, um welchen Faktor die Kosten steigen. Für Durchlauf 1 (BC337-25):

Die Tabelle bestätigt quantitativ, was die Einzelschritte qualitativ zeigten: n ist über die Gummel-Steigung exzellent verankert, I_S und β_F solide; V_A hängt an einer kleinen Steigung, R_B an einem kaum erreichten Hochstrombereich — und I_KF hinterlässt im Messfenster keinerlei Signatur. Man kann ihn nicht „aus dem Fehler herausziehen"; jeder vom Fit gelieferte Wert wäre Scheingenauigkeit.

Die Konsequenz als Regel: Nicht bestimmbare Parameter werden offen als gesetzt deklariert (Datenblatt/Default) — und wer sie messen will, braucht gezielte Zusatzmessungen (Hochstrom-β für I_KF, Hochstrom-Gummel für R_B — Durchlauf 2 hat für den BC547 genau das getan und I_KF damit bestimmt).

7.11 Validierung: Modell gegen Messung

Der bestimmte Parametersatz muss sich an den Daten beweisen — an allen, nicht nur an denen, aus denen er gewonnen wurde. In Durchlauf 1 trifft das Modell alle fünf Kennlinienfelder mit 1–2 % RMS-Abweichung; die sichtbare Restabweichung bei kleinen Strömen ist der in Kapitel 6.8 bewusst weggelassene Leckterm — sie ist benannt statt versteckt. Der unabhängigste Test ist der Abgleich mit dem Hersteller-SPICE-Modell: I_S, V_A und β_F des BC337-25 treffen die Datenblattwerte auf wenige Prozent.

7.12 Unsicherheiten — und wie weit sie tragen

Wie genau müssen die Parameter überhaupt sein? Die Antwort fällt je nach Blickrichtung verschieden aus — der Grund ist wieder die steile Exponentialfunktion:

• V_BE ist robust gegen I_S-Fehler. Aus

I_C=I_S e^V_BE/(nV_T) folgt für ±10 % Unsicherheit in I_S: $Δ V_BE = n V_T ln(1,1) ≈ 1,01·25,86 mV·0,0953 ≈ 2,5 mV.$ Zehn Prozent Stromfehler kosten also nur zweieinhalb Millivolt.

• I_C ist empfindlich in Gegenrichtung: Bei festgehaltenem

V_BE geht ein I_S-Fehler proportional in I_C ein. In einer realen Schaltung mit Basisvorwiderstand kompensiert die Rückkopplung über R_B einen Teil davon — quantitativ zeigt das die Arbeitspunktrechnung in Kapitel 8.

• Dazu kommen Ablesefehler (±2–5 % am analogen Gerät, weniger bei

digitaler Erfassung), thermische Drift (7.2) und die Serienstreuung, die jede Übertragung auf ein anderes Exemplar verbietet.

7.13 Zusammenfassung

1. Alle Parameter des Vorwärtsmodells folgen aus drei Messreihen

in fester Reihenfolge: I_S, n (Gummel-Gerade) → β_F (Plateau) → V_A (Extrapolation) → I_KF (70,7-%-Kriterium) → R_B,int (Kennlinien-Kompression).

1. Jeder Schritt hat ein Gültigkeitsfenster; wer es verfehlt,

erhält unphysikalische Werte (n=3,5!). Plausibilitätskontrolle gegen die Physik ist Teil der Methode.

1. Der globale Fit liefert konsistente Sätze, die

Identifizierbarkeitsanalyse entscheidet, welche Werte den Daten entstammen — und welche nur gesetzt sind. Beide zusammen machen die Extraktion ehrlich.

1. Zwei Bauteile, zwei Messgeräte, eine Methode: BC337-25 und BC547

liefern konsistente I_S, n, β_F, V_A — und demonstrieren am I_KF, dass das Messfenster über Bestimmbarkeit entscheidet, nicht die Formel.

Damit hat das Modell aus Kapitel 6 Zahlen — belegte, mit benannten Grenzen. Kapitel 8 setzt diesen Parametersatz in eine reale Schaltung ein und berechnet ihren Arbeitspunkt mit Newton-Raphson; Kapitel 9 lässt anschließend LTspice und Simulink mit denselben Zahlen gegen die Messung antreten.

Übungsaufgaben zu Kapitel 7

1. Gummel-Auswertung: Aus V_BE1=0,580V, I_C1=0,1mA

und V_BE2=0,640V, I_C2=1,0mA bestimme man n und I_S.

1. Early-Spannung: Bei I_B=40 µA wurden

(3 V, 11,5 mA) und (15 V, 12,4 mA) gemessen. Man berechne V_A.

1. Knickstrom: Im Plateau wurde β_F=320 gemessen. Bei

welchem β-Wert liest man I_KF ab, und wie grenzt man ihn messtechnisch in drei Schritten ein?

1. Vollständige Rechnung: Man übernehme den gemessenen

BC547-Parametersatz (Abschnitt 7.8) in das Arbeitspunktprogramm aus Kapitel 8, führe die Bisektion durch und vergleiche mit der idealen Abschätzung.

1. Sensitivität/Serienstreuung: Man variiere β_F über die

Datenblatt-Klassengrenzen des BC547 (110…800) und berechne jeweils das erforderliche R_B der Fixed-Bias-Schaltung. Welche Konsequenz hat die Spannweite für die Serienfertigung?

8 Der Arbeitspunkt: von der blauen LED zum vollständigen Transistormodell

8.1 Sinn und Ziel dieses Kapitels

Modell (Kapitel 6) und gemessene Parameter (Kapitel 7) sind da — jetzt muss beides eine Schaltung rechnen. Die Aufgabe klingt bescheiden: Man bestimme den Gleichstrom-Arbeitspunkt einer Transistorstufe. Aber am erweiterten Modell ist sie analytisch unlösbar (Kapitel 6.11): Exponentialkennlinie, Early-Faktoren, stromabhängiges β und die implizite V_BE,eff-Kopplung verweben die Gleichungen zu einem nichtlinearen System.

Damit die Verfahren nicht im Zweidimensionalen „vom Himmel fallen", beginnt das Kapitel eine Etage tiefer: an der blauen Leuchtdiode am Vorwiderstand — ein Bauteil, eine Unbekannte, und doch das komplette Programm dieses Buches im Kleinformat: eine echte Messung, ein ideales Modell, das an ihr scheitert, eine physikalisch begründete Erweiterung um den Bahnwiderstand, die Approximation der Messpunkte durch Kurvenanpassung — und schließlich das Newton-Raphson-Verfahren, das den Arbeitspunkt der impliziten Gleichung findet. Erst dann steigen wir zum Transistor auf, wo dieselben Verfahren im mathbbR² arbeiten — mit vollständiger, analytisch hergeleiteter Jacobi-Matrix, wie es SPICE intern ebenfalls tut.

Nach diesem Kapitel können Sie: die ideale Shockley-Diodenkennlinie hinschreiben und ihre Gültigkeitsgrenzen benennen, begründen, warum LEDs — insbesondere blaue GaN-LEDs — eine Erweiterung um Idealitätsfaktor und Serienwiderstand benötigen, Messdaten mit dem erweiterten Modell fitten (Approximation) und erklären, warum in der Form V(I) gefittet wird, das Newton-Raphson-Verfahren auf die implizite Schaltungsgleichung anwenden — mit analytischer Ableitung, sinnvollem Startwert und numerischen Schutzmaßnahmen, das nichtlineare System F(V_BE,V_CE)=0 der Fixed-Bias-Schaltung aufstellen und die Jacobi-Matrix vollständig herleiten, einen Schaltungsparameter (R_B) per Bisektion auf einen Ziel-Arbeitspunkt einstellen.

8.2 Das Verfahren im Eindimensionalen: die blaue LED

Dieser Abschnitt folgt dem Vorlesungsmanuskript „LED-Kennlinien-Approximation" und den Begleitprogrammen Aproximation_AP_LED_normale_Shockly.py und Aproximation_AP_LED_5.py; alle Zahlenwerte sind aus der Messdatei LED_blau.txt reproduziert.

8.2.1 Die Messung

Gemessen wurde die Durchlasskennlinie einer blauen LED mit dem Kennlinienschreiber (Export LED_blau.txt, PN-Junction-I/V-Modus): 46 Messpunkte (V_f, I_f) von 0 bis knapp 2,9 V bzw. 12 mA. Für die Modellanpassung werden nur Punkte mit I_f gt; 0,05mA verwendet (35 Punkte) — unterhalb dieser Schwelle dominieren Leckströme und Messrauschen, und das Modell gilt streng nur im Durchlassbereich.

8.2.2 Die ideale Shockley-Gleichung

William Shockley leitete 1949 die Strom-Spannungs-Kennlinie des idealen p-n-Übergangs aus dem Drift-Diffusions-Modell ab:

Für V_D≫ V_T bleibt die reine Exponentialfunktion; im halblogarithmischen Diagramm eine Gerade mit 1 Dekade je n·59,5 mV — dieselbe 60-mV-Regel, die in Kapitel 7 den Gummel-Plot trug. Die Gleichung gilt allerdings nur unter Idealannahmen: keine Rekombination in der Raumladungszone, keine ohmschen Bahnwiderstände, Niedriginjektion. Alle diese Annahmen verletzt eine reale LED.

8.2.3 Das Scheitern an der blauen LED — und seine physikalischen Gründe

Passt man die reine Shockley-Gleichung an die Messpunkte an (Programm …_normale_Shockly.py), erhält man:

Der Fit „konvergiert" — aber auf einen unphysikalischen Idealitätsfaktor: Für GaN-LEDs liegt n zwischen 1,8 und 3,5; n=5,8 ist keine Physik mehr, sondern der verzweifelte Versuch der Exponentialfunktion, einer Kurve zu folgen, die gar keine reine Exponentialfunktion ist. Abbildung 8.1 zeigt es: Die rote Kurve hebt zu früh ab, verfehlt das Knie und schneidet die Messpunkte nur noch.

Drei physikalische Effekte sind verantwortlich — jeder verletzt eine Idealannahme, jeder erzwingt eine Modellerweiterung:

Die Bandlücke erklärt zugleich die hohe Flussspannung: Die Photonenenergie E_Photon=h c/λ≈ e V_F koppelt Farbe und Flussspannung — rote LEDs liegen bei 1,6–2,0 V, blaue InGaN/GaN-LEDs bei 2,8–3,5 V. Blaue LEDs haben damit die höchste Flussspannung aller sichtbaren LEDs — und den stärksten R_S-Einfluss, denn dessen Abfall I_D R_S wächst linear mit dem Strom.

8.2.4 Die erweiterte Shockley-Gleichung — in der Form V(I)

Das erweiterte Modell ist die ideale Shockley-Diode in Reihe mit dem parasitären Serienwiderstand R_S. Aufgeschrieben wird es bewusst als Spannung in Abhängigkeit vom Strom:

Warum V(I) statt I(V)? Der Strom variiert bei einer LED über etwa fünf Größenordnungen, die Spannung nur zwischen ca. 2,5 und 3,5 V. Ein Fehler von 1 % in V_D entspricht wegen der Exponentialfunktion bis zu einem Faktor 10 in I_D. Die Methode der kleinsten Quadrate minimiert den Fehler der abhängigen Variablen — wählt man V als abhängige Größe, sind die Residuen gleichmäßig verteilt und der Fit gut konditioniert. Aus demselben Grund wird nicht I_S direkt gefittet, sondern log₁₀I_S: Werte um 10^-20 A wären als direkte Parameter numerisch miserabel konditioniert, ihr Logarithmus (−20 …) ist es nicht.

8.2.5 Die Approximation: Fit an die Messpunkte

scipy.optimize.curve_fit bestimmt die drei Parameter θ=(log₁₀I_S, n, R_S) durch Minimieren der Residuenquadratsumme sum_ibig[V_gemessen,i-V_Modell(I_i,θ)big]², mit den Startwerten und physikalisch begründeten Grenzen des Originalprogramms (log₁₀I_Sin[-35,-10], nin[1,5], R_Sin[0,200] Ω). Ergebnis für die vermessene blaue LED (Unsicherheiten aus der Kovarianzmatrix):

Die blaue Kurve in Abbildung 8.1 ist dieses Modell: Sie liegt über den gesamten Messbereich auf den Punkten. Der Kontrast zum reinen Modell ist die Kernbotschaft des Abschnitts: Erst der Bahnwiderstand macht die LED approximierbar — mit Parametern, die dann auch physikalisch deutbar sind.

8.2.6 Newton-Raphson: der Arbeitspunkt der impliziten Gleichung

Nun die Schaltung: Spannungsquelle U_ges, Vorwiderstand R, LED. Die Maschenregel mit eingesetztem Modell lautet

Diese Gleichung ist implizit in I_D — der Strom steht linear und im Logarithmus; eine geschlossene Auflösung existiert nur über die unpraktische Lambert-W-Funktion. Also numerisch: Als Fehlerfunktion (Residuum) dient die Abweichung von der Maschenregel,

mit der analytisch berechneten Ableitung

(analytisch statt numerisch: exakt, schnell, keine Schrittweitenprobleme). Die Newton-Raphson-Iteration — Tangente an f, Schnitt mit der Nullachse, quadratische Konvergenz —

braucht noch einen Startwert. Das Originalprogramm verwendet den gedämpften Kurzschlussstrom I_D⁽⁰⁾ = U_ges/(R+R_S+1) — als läge statt der LED ein 1-Ω-Widerstand in der Masche; das liegt für typische LED-Schaltungen nahe genug an der Lösung. Der Kern in Python (wortgetreu aus Aproximation_AP_LED_5.py):

def solve_for_Id(Uges, R, log10_Is, n, Rs, Vt):
    Is = 10**log10_Is
    Id = Uges / (R + Rs + 1.0)      # Startwert: gedaempfter Kurzschlussstrom
    for _ in range(1000):
        if Id <= 0:
            Id = 1e-12              # Schutz: ln fuer Id <= 0 nicht definiert
        f = n*Vt*np.log(Id/Is + 1) + Id*Rs + Id*R - Uges
        df = (n*Vt)/(Id + Is) + Rs + R
        Id_new = Id - f / df
        if abs(Id_new - Id) < 1e-7:       # Toleranz 0,1 uA
            return Id_new if Id_new > 0 else None
        Id = Id_new
    return None                     # keine Konvergenz -> Warnung im Programm

Numerische Sicherheitsmaßnahmen (aus dem Originalprogramm — so arbeitet robuste Numerik): I_Dle0 wird auf 10^-12 A zurückgesetzt (Logarithmus-Schutz); |f'|≈0 wird abgefangen; nach 1000 Iterationen ohne Konvergenz gibt es eine Warnung statt eines stillen Fehlers; ein Ergebnis I_Dle0 wird als physikalisch ungültig verworfen; und V_D ≥ U_ges löst eine Plausibilitätswarnung aus.

Der echte Lauf mit den gefitteten Parametern, U_ges=5V, R=100 Ω:

Drei Iterationen; von Schritt 1 auf 2 gewinnt das Verfahren vier gültige Stellen, von 2 auf 3 die restlichen — die quadratische Konvergenz in Aktion.

8.2.7 Arbeitspunkt und Lastgerade

Grafisch ist die Lösung der Schnittpunkt der LED-Kennlinie mit der Lastgeraden V_D = U_ges - I_D R (Achsenschnittpunkte: Leerlauf U_ges auf der Spannungs-, Kurzschluss U_ges/R auf der Stromachse):

Dimensionierungsregel (aus dem Vorlesungsmanuskript): Für die schnelle Vorwiderstands-Wahl genügt R = (U_ges-V_F)/I_D,soll. Beispiel: U_ges=5V, V_F=3,2V (blaue LED bei 20 mA), I_D,soll=20mA → R = 90 Ω → Normwert 100 Ω. Die exakte Rechnung oben bestätigt die Auslegung: Mit dem Normwert fließen 19,6 mA.

8.2.8 Was der Transistor davon erbt

Der Aufstieg ins Zweidimensionale ändert die Struktur nicht:

• Residuum → Ableitung → Iteration bleibt die Dreiteilung; aus

f und f' werden der Vektor F und die Jacobi-Matrix J, aus der Division f/f' das lineare Gleichungssystem J Δ x=-F.

• Der Serienwiderstand kehrt wieder: Was bei der LED R_S ist,

ist beim Transistor der innere Basiswiderstand R_B,int — beide machen die Gleichungen implizit.

• Die Formulierungswahl ist jeweils bewusst: Bei der LED löst

V(I) das Fit-Konditionierungsproblem; beim Transistor arbeiten wir in den Klemmenspannungen (V_BE,V_CE), weil Maschenregeln und Modell dort am natürlichsten zusammentreffen.

8.3 Aufstieg zum Transistor: die Fixed-Bias-Schaltung

Als Beispielschaltung dient die einfachste Arbeitspunkteinstellung — die Fixed-Bias-Schaltung (Basisvorwiderstand, Abbildung 8.3): Versorgung V_CC=25V, Kollektorwiderstand R_C=100 Ω, Basisspannung V_BB=V_CC, Basisvorwiderstand R_B (gesucht).

Zwei unabhängige Maschen liefern zwei Gleichungen — und damit genau die Zahl, die wir für die zwei Unbekannten V_BE und V_CE brauchen:

Basiskreis:

Kollektorkreis (Lastgerade):

Die Lastgerade verbindet die Punkte (0, V_CC/R_C)=(0, 250mA) und (V_CC, 0)=(25V, 0). Der Arbeitspunkt ist ihr Schnittpunkt mit der Transistorkennlinie — wie bei der LED, nur dass die „Kennlinie" jetzt das volle Modell aus Kapitel 6.8 ist.

8.4 Das nichtlineare System F(V_BE,V_CE)=0

Gesucht ist das Paar (V_BE,V_CE), das gleichzeitig die Schaltungsgleichungen und das Transistormodell erfüllt. Wie bei der LED schreibt man Residuen — jetzt zwei:

Gleichung 1 — Basiskreis trifft Basisstrom-Modell:

Gleichung 2 — Lastgerade trifft Kollektorstrom-Modell:

mit den inneren Größen (alle aus den Kapiteln 6 und 8.3):

Warum keine Gleichung allein lösbar ist: f₁ enthält über β_eff den Kollektorstrom (also V_CE), f₂ über V_BE,eff den Basisstrom (also V_BE) — die Gleichungen sind wechselseitig verkoppelt. Ein geschlossener Ausdruck existiert nicht; das ist keine mathematische Schwäche, sondern die direkte Folge der in Kapitel 6 eingebauten Physik.

8.5 Newton-Raphson im Mehrdimensionalen

Das Verfahren aus 8.2.6 überträgt sich wörtlich; nur wird aus der Ableitung die Jacobi-Matrix:

Praktisch invertiert man J nie, sondern löst das lineare System

(im Programm numpy.linalg.solve; Abbruch bei ∥F(x_k)∥ lt;10^-10). Für den BJT-Arbeitspunkt ist [V_BE,V_CE]₀=[0,65 V, V_CC/2] praktisch immer ausreichend: Die Diodenspannung eines leitenden Silizium-Übergangs ist nie weit von 0,65 V entfernt — der Startwert steckt, wie bei der LED der gedämpfte Kurzschlussstrom, schon im physikalischen Vorwissen.

8.6 Die Jacobi-Matrix — vollständig hergeleitet

Die vier Elemente sind Schulableitungen — wenn man eine innere Ableitung nicht vergisst. Mit I_B=(V_BB-V_BE)/R_B gilt

— größer als 1, weil ein steigendes V_BE zugleich I_B senkt und damit den Abzugsterm verkleinert: beide Effekte ziehen V_BE,eff nach oben. Damit die vier Elemente (Abkürzung E equiv e^{V_BE,eff/(nV_T)}, bequivβ_eff):

(Die schwache V_CE-Abhängigkeit von b über I_C wird hier, wie in der SPICE-Praxis üblich, in der Jacobi-Matrix vernachlässigt — sie beschleunigt nur die Konvergenz, ändert aber die Lösung nicht, denn die Lösung wird allein von F=0 bestimmt, nicht von J. Eine ungenaue Jacobi-Matrix kostet Iterationen, nie Richtigkeit.)

8.7 Das Programm

Der Kern in unmittelbarer Übersetzung der Formeln — Modellfunktionen aus Kapitel 6.9 vorausgesetzt:

def F(x, RB):
    """Residuenvektor [f1, f2] des nichtlinearen Systems."""
    vbe, vce = x
    ib   = (VBB - vbe) / RB              # Basiskreis-Masche
    ic   = (VCC - vce) / RC              # Lastgerade
    veff = vbe - ib * RBI                # innerer Basiswiderstand
    ex   = np.exp(veff / (NF * VT))
    b    = beta_eff(ic)                  # Webster-Formel
    f1 = ib - (IS / b) * ex * (1 + vce / VAR)
    f2 = ic - IS * ex * (1 + vce / VAF)
    return np.array([f1, f2])

def J(x, RB):
    """Jacobi-Matrix, analytisch (Abschnitt 8.6)."""
    vbe, vce = x
    ib   = (VBB - vbe) / RB
    ic   = (VCC - vce) / RC
    ex   = np.exp((vbe - ib * RBI) / (NF * VT))
    b    = beta_eff(ic)
    dveff = 1 + RBI / RB                 # innere Ableitung!
    j11 = -1/RB - (IS/b) * ex * dveff / (NF*VT) * (1 + vce/VAR)
    j12 = -(IS/b) * ex / VAR
    j21 = -IS * ex * dveff / (NF*VT) * (1 + vce/VAF)
    j22 = -1/RC - IS * ex / VAF
    return np.array([[j11, j12], [j21, j22]])

def newton(RB, x0=(0.65, VCC/2), tol=1e-10):
    x = np.array(x0, float)
    for k in range(100):
        r = F(x, RB)
        if np.linalg.norm(r) < tol:
            return x, k
        x = x + np.linalg.solve(J(x, RB), -r)
    return x, 99

Rechenbeispiel 8.1 — der Startpunkt, von Hand nachgeprüft. Am Startwert [0,65 V, 12,5 V] mit R_B=37,3kΩ (gemessene BC547-Parameter): I_B=(25-0,65)/37,3k=652,9 µA, I_C=125mA, V_BE,eff=650-9,8=640,2mV, β_eff=290/√(1+0,125/0,08)=181. Damit f₁ = 6,4·10^-4 und f₂ = 0,122 — beide Residuen weit von Null: Der Startpunkt liegt daneben, wie erwartet. Nach 48 Newton-Raphson-Schritten ist ∥F∥ lt;10^-10 (Abbildung 8.5 links) — jede Iteration in Millisekunden.

8.8 Die Bisektion stellt R_B ein

Bisher war R_B gegeben. Die Entwurfsaufgabe lautet umgekehrt: Finde R_B so, dass V_CE=V_CC/2 — die Mitte der Lastgeraden, maximaler symmetrischer Aussteuerbereich für den späteren Verstärker (Kapitel 12).

Dafür verwendet das Vorlesungsprogramm (Erweitere_Spice_Parameter_1.py) das Bisektionsverfahren (Intervallschachtelung). Es setzt nur zweierlei voraus: Stetigkeit und einen Vorzeichenwechsel der Zielabweichung g(R_B)=V_CE(R_B)-V_CC/2 über dem Suchintervall. Den garantiert hier die Physik als Monotoniekette:

R_Buparrow ⟹ I_Bdownarrow ⟹ I_Cdownarrow ⟹ V_RC=I_C R_Cdownarrow ⟹ V_CE=V_CC-V_RCuparrow

Algorithmus: Intervallmitte R_B^ast probieren → innen löst Newton-Raphson die Schaltung → je nach Vorzeichen von V_CE-V_CC/2 die untere oder obere Intervallgrenze nachziehen → wiederholen. Nach k Schritten ist R_B auf (b-a)/2^k eingegrenzt — ein Bit Genauigkeit je Schritt, garantiert, aber eben nur linear konvergent. So sieht der tatsächliche Suchlauf aus (gemessene BC547-Parameter, Startintervall 10…500 kΩ):

Das Intervall halbiert sich stur — nach zehn Schritten von 490 kΩ auf unter 1 kΩ (490/2¹⁰≈0,5). Hier verschachteln sich die beiden Verfahren des Kapitels: außen die garantierte, aber langsame Bisektion über den Entwurfsparameter; innen der schnelle Newton-Raphson über die Schaltungsgrößen. Diese Arbeitsteilung „außen robust, innen schnell" kehrt in Optimierung und Simulation ständig wieder.

Programmstruktur im Überblick (vollständiges Programm kap08_rechnung.py im Begleitmaterial; Original der Vorlesung: Erweitere_Spice_Parameter_1.py):

8.9 Ergebnis mit den gemessenen BC547-Parametern

Mit dem Parametersatz aus Kapitel 7.8 (I_S=5,0·10^-14A, n=1,01, β_F=290, V_A=95V, V_AB=190V, I_KF=80mA, R_B,int=15 Ω) liefert die Bisektion:

Vergleich mit der idealen Handabschätzung. Ohne Early, R_B,int und Webster rechnet man in einer Minute: I_C^Ziel=V_CC/(2R_C)=125mA, V_BE≈ nV_Tln(I_C/I_S)=746mV, I_B=I_C/β_F=431 µA,

Das vollständige Modell sagt aber 37,3 kΩ — die Abschätzung liegt um 34 % daneben. Der Grund steht in der Ergebnistabelle: Bei 125 mA ist I_C/I_KF=1,56 — der BC547 arbeitet weit oberhalb seines gemessenen Kniestroms, β bricht von 290 auf 181 ein, und der Basisstrom muss um eben diesen Faktor größer sein als ideal gedacht. Ob die Faustformel trägt, entscheidet also nicht die Formel, sondern der in Kapitel 7 gemessene Wert von I_KF — mit dem Demo-Wert 0,5 A wäre der Fehler unter 10 % geblieben. Messung, Modell und Numerik: erst die ganze Kette macht die Aussage richtig.

(Praktische Randnotiz: I_C=125mA überschreitet die Dauergrenze I_C,max=100mA des BC547 und liegt oberhalb des in Kapitel 7 vermessenen Strombereichs — das Modell wird hier bewusst extrapoliert, um den I_KF-Effekt drastisch zu zeigen. Ein realer Entwurf würde R_C größer wählen; Aufgabe 5 rechnet genau diesen Fall.)

8.10 Zusammenfassung

1. Die blaue LED zeigt das ganze Programm im Kleinen: Die ideale

Shockley-Gleichung scheitert an der realen Kennlinie (Fit flieht in ein unphysikalisches n=5,8); erst die Erweiterung um den Serienwiderstand R_S macht die Messpunkte approximierbar — mit physikalisch deutbaren Parametern (n=1,90, R_S=16 Ω).

1. Der Fit erfolgt in der Form V(I) (Konditionierung!), der

Arbeitspunkt folgt aus der impliziten Maschengleichung per Newton-Raphson — analytische Ableitung, physikalisch motivierter Startwert, Schutzmaßnahmen; Konvergenz in drei Iterationen.

1. Beim Transistor wird daraus das System F(V_BE,V_CE)=0 mit analytischer Jacobi-Matrix (innere Ableitung

1+R_B,int/R_B!); außen stellt die Bisektion den Entwurfsparameter R_B ein — „außen robust, innen schnell".

1. Mit den gemessenen Parametern verfehlt die ideale

Handabschätzung das Ergebnis um 34 % — die Hochinjektion (I_C≈1,6 I_KF) ist im Arbeitspunkt real wirksam. Faustformeln bleiben wertvoll als Startwert und Plausibilitätstest, nicht als Ergebnis.

Kapitel 9 schließt den Kreis: Dieselben gemessenen Parameter wandern als .model-Karte in LTspice und als Blockschaltbild nach Simulink — und beide Simulatoren müssen denselben Arbeitspunkt liefern wie unser eigener Newton-Raphson-Löser.

Übungsaufgaben zu Kapitel 8

(Aufgaben 1–3 aus dem LED-Vorlesungsmanuskript)

1. Idealitätsfaktor: Eine blaue LED zeigt im halblogarithmischen

I-V-Diagramm eine Steigung von 1 Dekade pro 120 mV. Man berechne den Idealitätsfaktor n bei T=25 ^circC. (Hinweis: Δ V = n V_Tln 10 = n·59,5 mV.)

1. Vorwiderstand dimensionieren: U_ges=3,3V, blaue LED mit V_F=3,05V bei I_F=10mA. Man berechne den benötigten

Vorwiderstand, die an ihm entstehende Verlustleistung und den passenden E12-Normwert.

1. Newton-Raphson per Hand: Mit n=2, I_S=10^-20A,

R_S=20 Ω, R=100 Ω, U_ges=5V, V_T=25,85mV führe man drei Iterationen per Taschenrechner durch (Startwert I_D⁽⁰⁾=U_ges/(R+R_S+1)=41,3mA).

1. Jacobi-Element: Man leite J₁₂ selbst her und begründe,

warum dort — anders als in J₁₁ — keine innere Ableitung auftritt.

1. Realistischer Entwurf: Man wiederhole die Bisektion mit R_C=1 kΩ (also I_C^Ziel=12,5mA).

Wie groß ist jetzt I_C/I_KF, wie nahe rückt β_eff an β_F, und auf wie viel Prozent verbessert sich die ideale R_B-Abschätzung?

1. Serienstreuung (aus Kapitel 7 übernommen): β_F variiere

über die BC547-Klassengrenzen 110…800. Man berechne R_B je Fall und erkläre, warum die Fixed-Bias-Schaltung für die Serienfertigung ungeeignet ist — und welche Schaltungsmaßnahme hilft (Vorgriff auf Kapitel 12: Emitterwiderstand).

9 Simulation mit den ermittelten Parametern

9.1 Warum dieser Dreifachvergleich?

Die vorangegangenen Kapitel haben eine geschlossene Kette aufgebaut: Kapitel 6 hat das Gummel-Poon-Modell mit seinen SPICE-Parametern eingeführt, Kapitel 7 hat diese Parameter aus echten Messungen am BC547 extrahiert, und Kapitel 8 hat gezeigt, wie das Newton-Raphson-Verfahren aus Modell und Beschaltung den Arbeitspunkt berechnet. Damit ist im Prinzip alles vorhanden, was ein Schaltungssimulator braucht — denn nichts anderes tut ein Simulator: Er löst die Modellgleichungen zusammen mit den Netzwerkgleichungen der Schaltung, und zwar mit genau dem Verfahren, das wir in Kapitel 8 von Hand implementiert haben.

Dieses Kapitel schließt den Kreis mit einem Dreifachvergleich. Ein und dieselbe Aufgabe — die Arbeitspunkt-Einstellung eines Transistors in Emitterschaltung — wird auf drei Wegen gelöst:

1. mit unserem eigenen Python-Löser (Newton-Raphson und

Bisektion, wie in Kapitel 8 entwickelt),

1. mit LTspice, dem Industriestandard-Schaltungssimulator,
2. mit einem selbst aufgebauten Simulink-Modell, das die

Gummel-Poon-Gleichungen als Blockschaltbild nachbildet.

Wenn drei unabhängige Implementierungen — eigener Code, kommerzieller Simulator, grafische Modellierung — auf dieselben Zahlen führen, haben wir zweierlei gewonnen: Vertrauen in unsere eigene Rechnung und ein tiefes Verständnis dafür, was der Simulator „unter der Haube" tatsächlich tut. Der Simulator verliert seinen Black-Box-Charakter.

9.2 Die Testschaltung und die Aufgabe

Als Testschaltung dient die Emitterschaltung mit Basisvorwiderstand (Fixed Bias) aus Kapitel 8:

• Versorgungsspannung V_CC = 25 V, wobei die Basis über

R_B ebenfalls aus V_CC versorgt wird (V_BB = V_CC),

• Kollektorwiderstand R_C = 100 Ω,
• Basiswiderstand R_B: gesucht.

Die Entwurfsaufgabe lautet: R_B ist so zu bestimmen, dass der Arbeitspunkt in der Mitte der Lastgeraden liegt,

denn dort ist die symmetrische Aussteuerbarkeit des späteren Verstärkers am größten. Als Toleranz sind ± 5 % zugelassen.

Der Transistor wird durch die Gummel-Poon-Gleichungen beschrieben, in zwei Ausbaustufen, die wir aus Kapitel 6 kennen:

Einfaches Modell (Shockley-Kern mit Early-Effekt):

Erweitertes Modell (zusätzlich Hochstrom-Abfall, Basis-Early-Effekt und interner Basiswiderstand):

Die Zahlenwerte sind die didaktischen Modellwerte aus dem Vorlesungsmanuskript — bewusst runde Werte, damit die Rechnung nachvollziehbar bleibt:

Die Thermospannung beträgt V_T = k_B T / q = 25,86 mV bei T = 300 K — gerechnet, wie in den Python-Programmen, mit den gerundeten Konstanten k_B = 1,381· 10^-23J/K und q = 1,602· 10^-19C.

9.3 Weg 1: Der eigene Löser — Newton innen, Bisektion außen

9.3.1 Aufbau des Verfahrens

Die Struktur des Lösers folgt unmittelbar aus Kapitel 8. Für ein gegebenes R_B liefern Maschengleichungen und Modellgleichungen das nichtlineare Gleichungssystem

das mit dem zweidimensionalen Newton-Raphson-Verfahren und der Jacobi-Matrix aus Kapitel 8 gelöst wird; Startwert ist wie dort [V_BE, V_CE] = [0,65 V, V_CC/2].

Das gesuchte R_B liegt aber noch nicht fest. Hier übernimmt — wie in Kapitel 8 begründet — die Bisektion die äußere Schleife: Sie ist nicht das Rechenverfahren des Buches (das ist Newton-Raphson), sondern die robuste Absicherung der Suche über einen weiten Wertebereich. Der Zusammenhang ist streng monoton und physikalisch anschaulich:

Damit funktioniert die Intervallhalbierung zuverlässig:

1. Startintervall R_B in [10 kΩ, 500 kΩ]
2. Intervallmitte R_B,try bilden
3. Newton-Raphson löst den Arbeitspunkt für R_B,try
4. V_CE lt; V_CC/2: Intervall-Untergrenze anheben;

V_CE gt; V_CC/2: Obergrenze absenken

1. wiederholen, bis V_CE im Toleranzband liegt

Ein Detail macht das Verfahren besonders effizient: Die Newton-Lösung eines Bisektionsschritts dient als Startwert des nächsten — die Arbeitspunkte benachbarter R_B-Werte liegen nahe beieinander, und Newton konvergiert dann in immer weniger Schritten.

9.3.2 Das Protokoll der Rechnung

Der Lauf mit dem einfachen Modell ergibt:

und mit dem erweiterten Modell:

Ein Wort zu den auffälligen Nachkommastellen der Endwerte, denn sie erklären, was diese Zahlen eigentlich sind: Die Bisektion kennt nur Intervallmittelpunkte. Das Startintervall [10 kΩ, 500 kΩ] hat die Breite 490 kΩ; nach k Halbierungen liegen alle erreichbaren Werte auf einem Raster der Schrittweite 490 000/2^k Ω. Im siebten Schritt beträgt dieses Raster 490 000/2⁷ = 3 828,125 Ω, und die exakten Endwerte sind

(in den Protokollen auf zwei Nachkommastellen gerundet angezeigt). Die Bruchteile eines Ohms sind also reine Halbierungsarithmetik und keine physikalische Genauigkeit: Das Toleranzband von ± 5 % um V_CC/2 lässt ohnehin ± 625 mV Spielraum, und ein realer Widerstand würde als nächstliegender Normwert der E-Reihe mit eigener Fertigungstoleranz gewählt. Für den Vergleich mit LTspice wurden trotzdem bewusst die Rechenwerte übernommen (auf ganze Ohm abgeschnitten) — denn nur wenn beide Werkzeuge dasselbe R_B verwenden, ist die Übereinstimmung der Arbeitspunkte ein echter Test der Löser.

Abbildung 9.1 zeigt beide Läufe grafisch: Der R_B-Wert (blau) halbiert sich Schritt für Schritt in das Ziel hinein, die zugehörige Kollektor-Emitter-Spannung (rot) pendelt sich in das grau hinterlegte Toleranzband um V_CC/2 ein. Nach sieben Schritten ist das Ziel jeweils erreicht.

9.3.3 Die Endergebnisse des eigenen Lösers

Abbildung 9.2 zeigt beide Arbeitspunkte im Kennlinienfeld: Die Modellkennlinie I_C(V_CE) beim jeweiligen Basis-Emitter-Wert des Arbeitspunktes schneidet die Lastgerade I_C = (V_CC - V_CE)/R_C — der Schnittpunkt ist der Arbeitspunkt, und er liegt in beiden Fällen wie gefordert nahe der Mitte der Lastgeraden.

Der Unterschied der beiden R_B-Werte ist kein Rechenfehler, sondern Physik — und er ist erheblich: 17 Prozent. Die Ursache liegt fast vollständig beim Hochstrom-Parameter I_KF. Am Arbeitspunkt fließen rund 125 mA; mit I_KF = 0,5 A ist die Stromverstärkung dort bereits auf

abgesunken (Abbildung 9.3). Für denselben Kollektorstrom wird also mehr Basisstrom gebraucht — der Basiswiderstand muss entsprechend kleiner ausfallen. Der interne Basiswiderstand wirkt in dieselbe Richtung: Am Arbeitspunkt fallen an ihm I_B · R_B,int = 0,66 mA · 10 Ω ≈ 6,6 mV ab, sodass die wirksame Basis-Emitter-Spannung um genau diesen Betrag unter der äußeren liegt. Wer den Arbeitspunkt mit dem einfachen Modell entwirft und die Schaltung dann mit einem realen Transistor aufbaut, verfehlt das Ziel entsprechend — dieselbe Lehre, die uns in Kapitel 8 die 34-Prozent-Abweichung der idealen Schätzung eingebracht hat.

9.4 Weg 2: LTspice

9.4.1 Von unseren Parametern zur .MODEL-Karte

In LTspice wird der Transistor durch eine Modellkarte beschrieben. Unsere beiden Modellstufen lauten als SPICE-Karten — wörtlich so, wie sie in den Simulationsschaltungen des Begleitmaterials stehen:

.MODEL simple_npn NPN(IS=1e-13 BF=200 NF=1 VAF=100)

.MODEL simple_npn NPN(IS=1e-13 BF=200 NF=1 VAF=100
+                     VAR=200 IKF=0.5 RB=10)

Das ist der entscheidende Punkt dieses Kapitels: Die Parameter, die wir in Kapitel 7 aus Messungen extrahiert und in Kapitel 6 verstanden haben, sind exakt die Größen, die ein Simulator als Eingabe erwartet. Zwischen unserer Handrechnung und dem professionellen Werkzeug liegt nur noch die Schreibweise.

9.4.2 Die Simulationsschaltungen

Das Begleitmaterial enthält vier LTspice-Schaltungen, die genau die Kette dieses Buches abbilden:

Die Arbeitspunktschaltungen 1d und 1e bestehen aus der Versorgung V₁ = 25 V, dem Kollektorwiderstand R₁ = 100 Ω, dem Transistor mit der jeweiligen Modellkarte — und dem Basiswiderstand R₂. Und hier zeigt sich der rote Faden dieses Buches in seiner schönsten Form: In Eigen_RW_1d steht

in Eigen_RW_1e steht

Das sind die Ergebnisse unserer Bisektionsläufe aus Abschnitt 9.3 (44 453,12 Ω und 36 796,88 Ω), übernommen mit abgeschnittenen Nachkommastellen — die Abweichung liegt also unter einem Ohm. Die Werte im Schaltplan wurden nicht geschätzt und nicht aus einer Faustformel übernommen, sondern vom eigenen Python-Löser berechnet und dann in LTspice eingetragen. Der Simulator dient anschließend als unabhängige Kontrolle: Sein eingebauter Newton-Löser (LTspice meldet im Protokoll wörtlich „Direct Newton iteration for .op point succeeded") muss auf denselben Arbeitspunkt kommen.

Abbildung 9.4 zeigt die Arbeitspunktschaltung, wie sie in der Simulationsdatei steht:

9.4.3 Der direkte Abgleich: zwei Löser, dieselbe Modellkarte

Die Modellkarte ist lesbar, die Schaltung ist bekannt — also lässt sich der Abgleich vollständig durchrechnen. LTspice wertet die Gummel-Poon-Gleichungen allerdings in der SPICE-Konvention aus, die sich in drei Punkten von der anschaulichen Form unserer Kapitel unterscheidet: Der Early-Effekt wird über die Basis-Kollektor-Spannung geschrieben (1 - V_BC/V_AF statt 1 + V_CE/V_A), der Hochstromeffekt I_KF wirkt über die normierte Basisladung q_b direkt im Kollektorstrom (statt als β_eff im Basisstrom), und gerechnet wird bei 27 ^circC mit exakten Naturkonstanten. Löst man die Fixed-Bias-Schaltung mit den Widerständen aus den Schaltplänen einmal mit den Buchgleichungen und einmal in der SPICE-Konvention (Rechnung: kap09_spice_abgleich.py), ergibt sich:

Einfaches Modell (Eigen_RW_1d, R_B = 44 453 Ω):

Erweitertes Modell (Eigen_RW_1e, R_B = 36 796 Ω):

Das Ergebnis bestätigt den Abgleich — und es lehrt Maßhalten:

• **Beim einfachen Modell stimmen beide Löser auf ein halbes Prozent

überein.** Die verbleibenden -0,57 % in I_C sind fast vollständig der Early-Konvention zuzuschreiben (Abschnitt 9.4.4, Punkt 4: erwartet waren ≈ V_BE/V_A = 0,7 %, leicht gemildert durch den Thermospannungs-Effekt). Der Arbeitspunkt der Handrechnung ist damit durch den unabhängigen Simulator bestätigt.

• Beim erweiterten Modell beträgt der Unterschied 3 % — nicht

wegen anderer Parameter (die Karte enthält exakt die Werte des Python-Programms), sondern wegen der Gleichungsform: Die Vorlesungsform setzt den I_KF-Abfall als β_eff = β_F/√(1 + I_C/I_KF) im Basisstrom an, SPICE dividiert stattdessen den Kollektorstrom durch die Basisladung q_b, in die I_KF, V_AF und V_AR gemeinsam eingehen. Bei I_C ≈ 125 mA = 0,25 I_KF macht diese Formulierungsfrage rund 3 % aus. Beide Formen beschreiben dieselbe Physik; die Vorlesungsform ist die anschauliche Näherung der SPICE-Ladungsformulierung.

Für die Praxis heißt das: Wer seinen eigenen Löser gegen einen Simulator stellt, muss Parameter und Gleichungsform abgleichen — gleiche Parameter allein garantieren erst Übereinstimmung im Prozentbereich, gleiche Gleichungen dann Übereinstimmung bis auf Rundung und Toleranzen.

9.4.4 Woher kommen die Abweichungen?

Ein Vergleich ist nur so viel wert wie das Verständnis seiner Abweichungen. Deshalb gehen wir die Fehlerquellen einzeln durch und geben jeweils die Größenordnung an — jede lässt sich aus den Zahlen dieses Kapitels nachrechnen.

1. Die Bisektionstoleranz (die größte gewollte Abweichung). Das Verfahren stoppt, sobald V_CE im Toleranzband V_CC/2 ± 5 % liegt — also irgendwo zwischen 11,875 V und 13,125 V. Beim einfachen Modell endet der Lauf bei V_CE = 12,69 V, das sind 1,5 % über dem Idealwert; beim erweiterten Modell landet der siebte Schritt zufällig fast exakt auf dem Ziel (12,504 V). Diese Abweichung ist kein Fehler, sondern die vereinbarte Genauigkeit: Wer sie verkleinern will, verschärft die Toleranz und erhält weitere Bisektionsschritte.

2. Das Abschneiden beim Übertrag nach LTspice (vernachlässigbar). Im Schaltplan stehen 44 453 statt 44 453,12 Ω und 36 796 statt 36 796,88 Ω. Die Empfindlichkeit lässt sich direkt aus den Protokolltabellen ablesen: Zwischen den letzten Bisektionsschritten ändert sich V_CE um rund 0,9 V je 3,8 kΩ, also etwa 0,25 mV pro Ohm. Ein abgeschnittenes Ohm verschiebt den Arbeitspunkt demnach um weniger als eine Millivolt-Viertel — drei Größenordnungen unter der Bisektionstoleranz.

3. Die Modellstufe (die größte physikalische Abweichung). Einfaches und erweitertes Modell unterscheiden sich im Ergebnis um 17 % in R_B. Die Ursachen — Hochstrom-Abfall der Stromverstärkung (I_KF), interner Basiswiderstand (R_B,int) und Basis-Early-Effekt (V_AB) — hat Abschnitt 9.3.3 quantifiziert. Diese Abweichung ist die Kernaussage des Kapitels: Sie zeigt, welche Parameter man nicht weglassen darf.

4. Die SPICE-interne Early-Formulierung (Prozentbereich). SPICE schreibt den Early-Faktor über die Basis-Kollektor-Spannung, (1 - V_BC/V_AF), unsere Gleichungen über (1 + V_CE/V_A). Wegen V_BC = V_BE - V_CE unterscheiden sich beide Faktoren am Arbeitspunkt um

im Kollektorstrom; über die Lastgerade übersetzt sich das in Verschiebungen von V_CE in der Größenordnung von einem Zehntel Volt. Deshalb erwarten wir von LTspice Übereinstimmung im Prozentbereich, nicht auf die letzte Stelle.

5. Die q_b-Formulierung des Hochstromeffekts (3 % beim erweiterten Modell). Wie der direkte Abgleich in Abschnitt 9.4.3 gezeigt hat, setzen Vorlesungsform (β_eff im Basisstrom) und SPICE (Basisladung q_b im Kollektorstrom) den Parameter I_KF an unterschiedlicher Stelle an. Bei I_C ≈ 0,25 I_KF macht das rund 3 % im Kollektorstrom aus — die größte Konventionsabweichung des Vergleichs. Sie betrifft nur das erweiterte Modell; im einfachen Modell existiert der Effekt nicht.

6. Thermospannungs-Konventionen (überraschend wichtig). Unser Löser und LTspice verwenden nicht exakt dieselbe Thermospannung, aus zwei kleinen Gründen: Erstens rechnen die Python-Programme mit T = 300 K, LTspice standardmäßig mit 27 ^circC = 300,15 K (+0,05 %). Zweitens verwenden die Programme gerundete Naturkonstanten (k_B = 1,381· 10^-23, q = 1,602· 10^-19), deren Quotient um -0,035 % vom exakten Wert abweicht. Netto: V_T = 25,861 mV (unser Löser) gegenüber V_T = 25,865 mV (LTspice) — ein Unterschied von nur 0,016 %. Aber er steht im Exponenten: Bei festem V_BE ändert sich der Kollektorstrom um

Die Exponentialfunktion verstärkt winzige Konventionsunterschiede um den Faktor V_BE/V_T ≈ 28 — dieselbe Empfindlichkeit, die uns in Kapitel 7 bei der I_S-Extraktion begegnet ist. Wer Simulator und Handrechnung bis in die Nachkommastellen vergleichen will, muss deshalb zuerst Temperatur und Konstanten abgleichen.

7. Numerik (bedeutungslos). Die Newton-Toleranz von 10^-10 und die Maschinengenauigkeit liegen viele Größenordnungen unter allen obigen Effekten.

Die Rangfolge ist damit klar: Modellstufe (17 %) ≫ Bisektionstoleranz (bis 5 %) gt; q_b-Formulierung (≈ 3 %, nur erweitertes Modell) gt; Early-Formulierung (≈ 0,7 %) gt; Thermospannungs-Konventionen (≈ 0,4 % in I_C) ≫ Übertrags-Rundung und Numerik. Wer diese Rangfolge kennt, weiß bei jedem Vergleich zwischen Handrechnung und Simulator, welche Abweichung normal ist — und welche auf einen echten Fehler deutet.

9.4.5 Ausblick: die Verstärkerschaltungen 1c und 1f

Die Schaltungen 1c und 1f erweitern die Arbeitspunktschaltung zum vollständigen Verstärker: eine Sinusquelle (100 mV Amplitude, 50 Hz) speist über einen Koppelkondensator C₁ = 0,5 µF in die Basis, ein zweiter Koppelkondensator C₂ = 1 µF führt das verstärkte Signal auf den Lastwiderstand R₅ = 1 MΩ; simuliert wird das Zeitverhalten (.tran 0.1). Damit verlassen wir die reine Gleichstromrechnung — die Frage, welche Spannungsverstärkung sich am so eingestellten Arbeitspunkt ergibt und welche Rolle die Koppelkondensatoren spielen, ist die Leitfrage der Kleinsignalanalyse in Teil IV dieses Buches. Die beiden Schaltungen stehen dort als Simulationsreferenz bereit.

9.5 Weg 3: Das Simulink-Modell

Der dritte Weg verzichtet auf jeden fertigen Schaltungssimulator und baut die Modellgleichungen selbst auf — als Blockschaltbild in Simulink (Abbildung 9.5). Das Modell implementiert exakt die Gleichungen des erweiterten Modells aus Abschnitt 9.2; jede Formel findet sich als Blockgruppe wieder:

• Kollektorstrom-Pfad: Die Klemmenspannung V_CE läuft durch

einen Verstärkungsblock 1/V_A, ein Summierer bildet 1 + V_CE/V_A; parallel dazu entsteht aus V_BE,eff über den Block 1/(n V_T) und den Exponentialblock e^u der Shockley-Kern. Ein Multiplizierer und die Verstärkung I_S ergeben I_C nach der Early-Gleichung.

• Stromverstärkungs-Pfad: Der berechnete Kollektorstrom wird über

1/I_KF zurückgeführt, ein Summierer bildet 1 + I_C/I_KF, der Wurzelblock √(u) und die Konstante β_F liefern β_eff — die Rückkopplungsschleife im Diagramm ist wörtlich die implizite Kopplung, die wir in Kapitel 8 mit der Fixpunkt- bzw. Newton-Iteration aufgelöst haben.

• Basisstrom-Pfad: Aus V_BE wird über den Block R_B der

Spannungsabfall I_B · R_B,int abgezogen (V_BE,eff-Definition), der Basis-Early-Faktor 1 + V_CE/V_AB entsteht über den Block 1/V_AB, und zusammen mit I_S/β_eff ergibt sich I_B.

• Anschluss an die Außenwelt: Zwei gesteuerte Stromquellen

prägen die berechneten Ströme I_C und I_B an den Klemmen ein — der Block verhält sich nach außen wie ein Transistor mit den Anschlüssen Kollektor, Basis und Emitter und kann in einer Simulink-Physical-Modeling-Schaltung genau wie das LTspice-Modell in die Fixed-Bias-Beschaltung eingebaut werden.

Was bei Simulink von außen zu sehen ist, macht sichtbar, was LTspice im Inneren verbirgt: Ein „Transistormodell" ist nichts weiter als die konsequente Verdrahtung einer Handvoll Gleichungen. Wer das Blockschaltbild lesen kann, hat das Gummel-Poon-Modell verstanden — und umgekehrt.

9.6 Zusammenfassung

• Ein Schaltungssimulator tut nichts Geheimnisvolles: Er löst die

Gummel-Poon-Gleichungen zusammen mit den Netzwerkgleichungen — mit dem Newton-Raphson-Verfahren, das wir seit Kapitel 8 selbst beherrschen.

• Der eigene Löser bestimmt per Bisektion (äußere Schleife) und

Newton-Raphson (innere Schleife) den Basiswiderstand für den Arbeitspunkt V_CE = V_CC/2: 44 453,12 Ω mit dem einfachen, 36 796,88 Ω mit dem erweiterten Modell. Diese Werte stehen — mit abgeschnittenen Nachkommastellen — in den LTspice-Vergleichsschaltungen des Begleitmaterials.

• Der Unterschied von 17 % zwischen beiden Modellstufen entsteht

fast vollständig durch den Hochstrom-Abfall der Stromverstärkung (β_eff = 178,9 statt 200 bei 125 mA) — wer die erweiterten Parameter ignoriert, verfehlt den Arbeitspunkt.

• Der direkte Abgleich mit denselben Modellkarten bestätigt die

Handrechnung: Beim einfachen Modell stimmen Buchgleichungen und SPICE-Konvention auf ein halbes Prozent überein (V_CE 12,688 V gegenüber 12,759 V); beim erweiterten Modell bleibt eine erklärbare 3-%-Differenz, weil SPICE den I_KF-Effekt über die Basisladung q_b im Kollektorstrom ansetzt, die Vorlesungsform als β_eff im Basisstrom.

• Die Rangfolge der Abweichungsquellen — Modellstufe,

Bisektionstoleranz, Gleichungskonventionen, Thermospannung — macht jeden Vergleich zwischen Handrechnung und Simulator bewertbar.

• Das Simulink-Blockschaltbild macht die Modellgleichungen sichtbar:

Exponentialblock, Early-Faktoren, β-Rückkopplung und zwei gesteuerte Stromquellen — mehr ist ein Transistormodell nicht.

Damit ist der Bogen von Teil III geschlossen: von der Messung (Kapitel 7) über das Modell (Kapitel 6) und die eigene numerische Lösung (Kapitel 8) bis zur professionellen Simulation (dieses Kapitel). Teil IV wechselt nun die Perspektive: vom Großsignal- zum Kleinsignalverhalten — was passiert, wenn wir den sorgfältig eingestellten Arbeitspunkt mit einem kleinen Signal auslenken?

Die Schaltung als Netzliste — gerechnet vom eigenen Löser

Was hier anders ist als in allen Reitern davor

In den Reitern „Arbeitspunkt von Hand“, „Arbeitspunkt Newton“ und „Simulation und SPICE“ wird jedesmal dieselbe Schaltung von Hand in Gleichungen gebracht: zwei Maschen aufschreiben, den Residuenvektor F(V_BE, V_CE) hinschreiben, die Jacobi-Matrix dazu ableiten, Newton laufen lassen. Das geht, solange die Schaltung zwei Unbekannte hat. Bei drei Widerständen, zwei Kondensatoren und einer Signalquelle geht es nicht mehr — und vor allem: für jede neue Schaltung müsste man von vorn anfangen.

Hier wird statt dessen nichts von Hand aufgestellt. Die Schaltung wird als Netzliste hingeschrieben, eine Zeile je Bauteil, und ein Löser baut daraus selbst die Knotenleitwertmatrix: jedes Bauteil trägt nur seinen festen Stempel ein, der Transistor eben vier Leitwerte und zwei Ersatzstromquellen statt eines Leitwerts und einer Ersatzquelle. Newton-Raphson erneuert diese Tangenten in jedem Durchgang, Euler schreibt danach die Kondensatorspannungen fort. Das ist genau das, was ein SPICE-Programm tut — nur ist hier jeder Schritt sichtbar und von Hand nachrechenbar.

Alle sechs Bauteilklassen seines Lösers sind übertragen, nicht eine Auswahl: Widerstand, Spannungsquelle (Gleich- und Sinusquelle), Diode mit ihren Modellkarten, Kondensator, Induktivität und Transistor. Eine Netzlistenzeile, die bei ihm läuft, läuft deshalb auch hier.

Als Probe darauf, dass hier wirklich sein allgemeines Verfahren steht und kein Transistor-Sonderfall, rechnet der dritte Fall unten seine B4-Brücke — vier Dioden, ein RC-Glied mit Last, eine Sinusquelle —, und zwar mit demselben Quelltext: geändert wird die Netzliste, nicht das Programm.

Die Parameter sind die selbst ermittelten

Gerechnet wird mit dem Satz, den sein Gesamtausgleich aus seinen Messungen gewonnen hat — bjt_fit.py, Nelder-Mead über alle fünf gemessenen Kennlinienfelder gleichzeitig, Prüfling BC337 —, nicht mit einem Datenblattsatz. So sieht die Karte aus, wenn man sie als .MODEL-Zeile schreibt:

.MODEL BC337_eigen NPN(IS=4.765E-14 NF=1.004 BF=253.2 VAF=126.6 VAR=1.39E3 IKF=4.05 RB=18.8)

Diese sieben Zahlen sind nicht gleichwertig. Der Lauf von bjt_fit.py prüft selbst nach, welcher Parameter durch die Messdaten überhaupt festgelegt ist: er verstellt jeden um 20 % und sieht nach, um welchen Faktor die Gesamtabweichung steigt. Steigt sie kaum, dann sagen die Daten über diesen Parameter nichts. Die Spalte Empfindlichkeitsprobe unten trägt genau diese Faktoren, die Spalte Herkunft die Einordnung in drei Klassen.

Autor: Prof. Dr.-Ing. Ralph Wystup M.Sc. · Vorlesungsmanuskript zur Transistortechnik Version 2 — Kapitel 2 verwendet ausschließlich das vereinfachte Modell mit den Klemmenspannungen V_BE, V_CE (keine V_BC-Formulierung, kein Leckterm); ergänzt um Kap. 5.7 „Das messungsbasierte Vierquadranten-Kennlinienfeld".

Vorbemerkung — Ziel und Anspruch dieses Skripts

Dieses Skript verfolgt ein Ziel: vollständige Transparenz der Methode. Es zeigt lückenlos,

1. welches physikalische Modell dem Bipolartransistor zugrunde liegt (Gummel-Poon),
2. welche Parameter (SPICE) darin vorkommen und was sie bedeuten,
3. wie man diese Parameter aus Messungen bestimmt — mit jeder Annahme, jeder Näherung und den Grenzen der Bestimmbarkeit,
4. wie man daraus das Kleinsignalverhalten (h-Parameter) ableitet — analytisch und grafisch.

Als durchgehendes Rechenbeispiel dient ein realer NPN-Transistor BC337-25, dessen Kennlinien mit einem Kurventracer aufgenommen und ausgewertet wurden.

Grundannahmen des gesamten Skripts (sofern nicht anders vermerkt): - Temperatur T = 300 K, damit Thermospannung V_T = k_B T/q = 25,85 mV. - NPN-Transistor im Vorwärts-Aktivbetrieb (V_BE gt;0, V_BC lt;0). - Quasistatik (keine Kapazitäten) für DC- und h-Parameter-Betrachtung. - Ein-Dimensionalität, homogene Dotierung je Zone, Niedriginjektion außer wo ausdrücklich Hochinjektion behandelt wird.

1. Physikalische Grundlagen

1.1 Der Transistor als gesteuerte Quelle

Ein NPN-Transistor besteht aus zwei gegeneinander geschalteten pn-Übergängen (Emitter-Basis, Kollektor-Basis) mit einer sehr dünnen Basis. Im Aktivbetrieb ist die BE-Diode in Fluss, die BC-Diode in Sperr. Über der BE-Diode injizierte Elektronen diffundieren durch die dünne Basis und werden vom Kollektor „abgesaugt".

1.2 Ebers-Moll als Ausgangspunkt

Das Ebers-Moll-Modell beschreibt beide Dioden mit ihren Transportströmen. Im Vorwärts-Aktivbetrieb dominiert der Vorwärts-Transportstrom

mit dem Transport-Sättigungsstrom I_S. Der Kollektorstrom ist im Idealfall I_C ≈ I_CC, der Basisstrom I_B = I_CC/β_F. Ebers-Moll erfasst aber nicht: Early-Effekt, Hochinjektion, Leckströme, Bahnwiderstände. Genau diese Effekte ergänzt das Gummel-Poon-Modell.

2. Das verwendete Transistormodell

Diesem Skript liegt ein vereinfachtes Transistormodell für den Aktivbetrieb zugrunde — genau die Gleichungen des begleitenden Simulink-Modells. Ausgangspunkt ist die Early-Gleichung des Kollektorstroms. Alle Ströme sind Funktionen der Klemmenspannungen V_BE und V_CE.

2.1 Der Kollektorstrom (Early-Gleichung)

• I_S — Sättigungsstrom, n — Emissionskoeffizient (ideal ≈ 1), V_A — Early-Spannung.
• Der Exponentialterm beschreibt die in Fluss betriebene BE-Diode; der Faktor big(1+V_CE/V_Abig) die Basisweitenmodulation (Early-Effekt) — direkt über die Klemmenspannung V_CE.

2.2 Der Early-Effekt und V_A

(1) Anschauung. Steigt V_CE, verbreitert sich die Kollektor-Basis-Sperrschicht in die Basis hinein; die effektive Basisweite sinkt, der Diffusionsgradient steigt, also steigt I_C leicht mit V_CE — die Ausgangskennlinien sind nicht exakt waagerecht.

(2) Messvorschrift. Extrapoliert man die flachen Äste der Ausgangskennlinien rückwärts, schneiden sie die V_CE-Achse gemeinsam im Punkt V_CE=-V_A. Daraus wird V_A bestimmt (Kap. 4).

(3) Beispiel (BC337-25). V_A≈ 146 V (Datenblatt 145,7 V).

2.3 Die effektive Stromverstärkung (Hochinjektion, I_KF)

(1) Anschauung. Bei großem I_C wird die injizierte Ladungsträgerdichte vergleichbar mit der Basisdotierung; die Verstärkung bricht ein, β fällt bei hohen Strömen ab.

(2) Mathematik. Über die normierte Basisladung q_B ergibt sich

mit der idealen Stromverstärkung β_F und dem Vorwärts-Kniestrom I_KF: bei I_C=I_KF ist β um den Faktor √2 gefallen.

(3) Beispiel. BC337-25: I_KF≈ 0,9 A — bei den gemessenen ≤ 11 mA ist I_C/I_KF≲ 0,01, der Abfall also nicht sichtbar (wichtig für Kap. 4/5).

2.4 Der Basisstrom und die innere Basis-Emitter-Spannung

Der innere Basiswiderstand R_B,int reduziert die innere Basis-Emitter-Spannung um den Spannungsabfall am Widerstand:

Nur diese innere Spannung treibt den Übergang. Damit lautet der Basisstrom

Der Faktor big(1+V_CE/V_ABbig) modelliert die (schwache) V_CE-Abhängigkeit des Basisstroms und ist für die spätere Rückwirkung h_12e verantwortlich.

Anmerkung (Modellgrenze). Der reale BC337 zeigt bei kleinem Strom einen leichten h_FE-Anstieg (Rekombination in der BE-Sperrschicht). Dieses vereinfachte Modell enthält diesen Effekt bewusst nicht — er bleibt als kleine, benannte Restabweichung sichtbar (Kap. 4). Vollständige Modelle beschreiben ihn über einen zusätzlichen Leckterm; hier wird er nicht verwendet.

2.5 Das vollständige Gleichungssystem

Annahmen: Aktivbetrieb (keine Sättigung, kein Inversbetrieb), T=300 K, Niedriginjektion außer der über I_KF erfassten Hochstromkorrektur.

Zwei Formulierungen nebeneinander. Im Exponenten des *Kollektor*stroms steht hier die Klemmenspannung V_BE; das Vorlesungsmanuskript BJT-SPICE setzt an derselben Stelle die innere Spannung V_BE,eff ein, weil der Übergang für beide Ströme dieselbe innere Spannung sieht. Beide Rechnungen sind in sich richtig — I_S nimmt den Unterschied auf —, aber die Parameter der einen Form dürfen nicht in das Programm der anderen eingesetzt werden. Der Unterschied ist der Faktor expbig(I_B R_B,int/(n V_T)big): beim BC337-25 mit I_C=5mA, V_CE=5V (I_B=18,58 µA, R_B,int=60 Ω) sind das 1,115 mV und damit +4,4 % in I_C; beim BC547 im Fixed-Bias-Arbeitspunkt (I_C=125mA, I_B=650,5 µA, R_B,int=15 Ω) sind es 9,758 mV und +45,3 %.

2.6 Die implizite Gleichung und die algebraische Schleife

V_BE,eff=V_BE-I_B R_B,int und I_B hängen wechselseitig voneinander ab → im Simulationsfluss entsteht eine algebraische Schleife. Sauber löst man sie

• physikalisch durch eine kleine Basis-Kapazität C (Knotengleichung C dot V_BE,eff = (V_BE-V_BE,eff)/R_B,int - I_B; im stationären Zustand exakt), oder
• numerisch durch einen Fixpunkt-/Newton-Solver.

Ein z^{-1}/Delay bricht die Schleife zwar auf, ist wegen der steilen e-Funktion aber instabilitätsgefährdet — die Schleife wird am besten an der Spannung V_BE,eff aufgebrochen, nicht am Strom.

3. SPICE-Parameter im Überblick

Weitere GP-Parameter (BR, ISC, NC, IKR, RC, RE, Kapazitäten CJE, CJC, TF, TR …) betreffen Invers-, Sperr- und Dynamikverhalten und werden hier nicht benötigt.

4. Parameterbestimmung aus Messungen — die Methode

Wir bestimmen die Parameter aus fünf Kennlinienfeldern eines Kurventracers. Jeder Schritt nennt Messgröße, Formel, Annahme und Grenze.

4.1 I_S und n aus dem Gummel-Plot

Messung: I_C über V_BE (halblogarithmisch), bei konstantem V_CE. Modell: ln I_C = lnbig[I_S(1+V_CE/V_A)big] + (V_BE)/(n V_T). Die Gerade im halblog. Plot hat Steigung 1/(n V_T) und Achsenabschnitt ln I_S':

Annahmen/Grenzen: Auswertung nur im rein exponentiellen Ast. Nach unten begrenzt durch den Rausch-/Quantisierungsboden des Tracers (hier ≈ 5 µA), nach oben durch Hochinjektion/R_B. Wird dieser Bereich nicht sauber gewählt, ergeben sich unphysikalische Werte (im Beispiel lieferte ein zu weites Fenster zunächst n≈ 3,5 statt 1,0). Beispiel: n = 1,004, I_S = 4,8·10^-14A.

4.2 V_A aus der Ausgangskennlinie

Messung: I_C über V_CE bei konstantem I_B. Formel: flachen Ast linear fitten, I_C = a + b V_CE; der V_CE-Achsenschnitt liegt bei -V_A:

Grenze: die V_A-Werte streuen leicht mit I_B; V_A ist nur schwach bestimmt. Beispiel: V_A≈ 110…150V.

4.3 β_F und I_KF aus h_FE

Messung: h_FE=I_C/I_B über I_C bzw. Steigung von I_C-I_B. β_F ist das Plateau/Maximum von h_FE; I_KF folgt aus dem Hochstromabfall β=β_F/√(1+I_C/I_KF). Grenze: ist der Abfall im Messbereich nicht erreicht, ist I_KF nicht bestimmbar (nur untere Schranke). Beispiel: β_F≈ 250…275; I_KF nicht bestimmbar (≫ 11mA) → Datenblatt 0,9A.

4.4 R_B und die Grenze des Modells

• Der reale h_FE-Anstieg bei kleinem I_C (BE-Rekombination) ist im verwendeten Modell nicht enthalten (Kap. 2.4) und bleibt eine kleine, benannte Restabweichung.
• R_B zeigt sich erst im Hochstrom-Knick des Gummel-Plots; bei kleinen Strömen unsichtbar → nicht bestimmbar → Datenblatt.

4.5 Globaler Fit und Identifizierbarkeit

Statt Feature-für-Feature kann man alle Kennlinien gleichzeitig fitten (hier: Nelder-Mead, ableitungsfrei). Kostenfunktion = mittleres quadratisches, datensatzweise gewichtetes Residuum (Gummel im Log-, die übrigen im Relativmaß).

Der entscheidende Transparenzschritt — Identifizierbarkeit. Ein Parameter ist nur dann aus den Daten bestimmbar, wenn die Kostenfunktion empfindlich auf ihn reagiert. Test: jeden Parameter um +20 % stören und den Kostenanstieg messen.

Konsequenz (und ehrliche Aussage der Methode): I_KF und R_B hinterlassen im gemessenen Bereich keine bzw. kaum Signatur — man kann sie nicht „aus dem Fehler herausziehen"; sie werden aus dem Datenblatt bzw. als Default gesetzt. Ihre Bestimmung erfordert gezielte Zusatzmessungen (Hochstrom für I_KF, Hochstrom-Gummel für R_B).

4.6 Validierung

Das Modell mit dem bestimmten Satz trifft alle fünf Kennlinienfelder auf ≈ 1–2 % RMS. Der Abgleich mit dem BC337-25-Datenblatt (I_S, V_A, β_F) ist die stärkste unabhängige Bestätigung.

5. Kleinsignalverhalten und h-Parameter

5.1 Arbeitspunkt und Linearisierung

Um einen Gleich-Arbeitspunkt Q=(V_BE^Q,V_CE^Q) werden I_C und I_B linearisiert. Mit den vier Leitwerten (partielle Ableitungen des Modells)

gilt für die Kleinsignalgrößen (v_be, v_ce, i_b, i_c):

5.2 Definition der h-Parameter (Emitterschaltung)

Die Hybrid-(h-)Parameter wählen i_b und v_ce als unabhängige Größen:

5.3 Herleitung der h-Parameter aus den Leitwerten

Aus der zweiten Gleichung (i_b = g_π v_be+g_µ v_ce) nach v_be auflösen:

In die i_c-Gleichung einsetzen:

5.4 Physikalische Ausdrücke (mit dem Modell aus Kap. 2)

Setzt man die Ableitungen ein (idealer Basisstrom, I_B≈ I_C/β):

Damit die kompakten, in der Vorlesung zentralen Beziehungen:

Interpretation. h_11e ist der differentielle BE-Widerstand (fällt mit I_C); h_21e ist die (Kleinsignal-)Stromverstärkung; h_22e ist der Early-Ausgangsleitwert; h_12e die (sehr kleine) Rückwirkung. Grenze: ist V_AB im Modell nicht gesetzt (V_AB→∞), folgt h_12e→ 0 — die vereinfachte Form bildet die Rückwirkung praktisch nicht ab (real h_12esim10^-4).

5.5 Bezug zum Kleinsignal-Ersatzbild

Mit r_π=h_11e, β=h_21e, r_o=1/h_22e und g_m=β/r_π ergibt sich unmittelbar das Hybrid-π-Ersatzbild.

5.6 Grafische Bestimmung im Vierquadranten-Kennlinienfeld

(1) Anschauung. Jeder h-Parameter ist die Tangentensteigung einer Kennlinie im Arbeitspunkt. Klassisch ordnet man die vier Kennlinien im Vierquadranten-Kennlinienfeld an; der Arbeitspunkt verbindet alle vier:

• Eingangskennlinie I_B(V_BE)|_VCE → Steigung g_π, also h_11e=1/g_π.
• Übertragungskennlinie I_C(I_B)|_VCE → Steigung =h_21e.
• Ausgangskennlinie I_C(V_CE)|_IB → Steigung =h_22e.
• Rückwirkungskennlinie V_BE(V_CE)|_IB → Steigung =h_12e.

(3) Rechenbeispiel BC337-25 bei I_C=5 mA, V_CE=5 V (⟹ V_BE=658 mV, I_B=19,1 µA):

Warum das Programm 1,45 kΩ ausgibt. Die kompakte Formel h_11e=β nV_T/I_C enthält den Basisbahnwiderstand nicht. bjt_hparam.py leitet dieselbe Größe aus dem gefitteten Modell ab, in dem R_B,int=60 Ω steckt, und kommt deshalb auf h_11e=1452,7 Ω und h_21e=279,8 — rund 2 % über dem Wert der kompakten Formel. Von Hand nachgerechnet: nV_T/I_B + R_B,int = 1396,7 Ω + 60 Ω = 1456,7 Ω.

5.7 Vom Messwert zum h-Parameter — das messungsbasierte Vierquadranten-Kennlinienfeld

Die vier Kennfelder lassen sich zum klassischen Vierquadranten-Kennlinienfeld zusammenfügen, in dem ein Arbeitspunkt über alle vier Quadranten „durchgezogen" wird (Anordnung: Q2 Übertragung | Q1 Ausgang oben, Q3 Eingang | Q4 Rückwirkung unten; die Achsen I_C, V_CE, I_B, V_BE sind jeweils quadrantenübergreifend geteilt). Entscheidend für die Lehre ist die lückenlose Verankerung in den Messdaten — hier der Weg Messung → Fit → Tangente → h-Parameter in einem Bild.

Datengrundlage je Quadrant (volle Transparenz):

• Q1 (Ausgang, I_C–V_CE) und Q2 (Übertragung, I_C–I_B) sind direkt gemessen (Kurventracer-Dateien Ic_Vce, Ic_Ib).
• Q3 (Eingang, V_BE–I_B) und Q4 (Rückwirkung, V_BE–V_CE) wurden nicht direkt aufgenommen, lassen sich aber aus den vorhandenen Messdatensätzen rekonstruieren — sie ruhen damit ebenfalls auf der Messung:
• Q3: Bei gemeinsamem V_CE werden I_C–V_BE und I_C–I_B über den gemeinsamen Kollektorstrom verknüpft. Für jeden Stützwert I_C liefert die eine Messung V_BE(I_C), die andere I_B(I_C) — das ergibt das gesuchte Wertepaar (I_B, V_BE).
• Q4: Für festes I_B liefert I_C–V_CE den Verlauf I_C(V_CE); die Messung I_C–V_BE liefert dazu V_BE(I_C). Zusammengesetzt ergibt sich (V_CE, V_BE).